Документ: 3830, страницы 11-15 | База учебных материалов

11

Y Y/

C

O X

B/ А B	X/

C/

Рис.3

Тема 2. Векторная алгебра. Элементы линейной алгебры

1 гл.1, 2,

2гл.8, 9, 10.

3гл. 4 № 592, 593, 616, 620.

Задача 3. Затраты трёх видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции заданы векторами – d1(a1b1c1), d2(a2b2c2), d3(азbз сз). Запасы каждого вида сырья заданы вектором Q(qАqВqС). Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить

математическую модель задачи, решить задачу	матричным методом.
Пусть предприятие выпустит x1 единиц продукции I, х2					единиц
продукции II, хз единиц продукции III.
Расход сырья А на все виды продукции	а х		а2 х2	а3 х3 . По условию
	1	1
задачи расход сырья А должен равняться запасу qА, т.е.			а х а2 х2		а3 х3 = qА,
			1	1

приравнивая расходы и запасы сырья В и С, получаем систему уравнений:

а1х1	а2 х2	а3 х3
b1x1	b2 x2	b3 x3
c1x1	c2 x2	c3 x3

qА ; qВ ; qC .

Рассмотрим задачу на конкретном примере. Пусть затраты трёх видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции

12

заданы векторами d1(7,2,5), d2(0,3,1), d3(5,2,1). Запасы каждого вида сырья заданы вектором Q(220,140,100). Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить математическую модель задачи и решить систему матричным методом.

Решение. Система уравнений имеет вид:

7х1 5х3 220;

2х1	3х2	2х3	140; .
5х1	х2	х3	100.
			х1

Обозначим X =			х2 –матрица объёмов выпуска I, II, III типов продукции.
			х3
7	0	5		220
				220
А = 2	3	2	– матрица затрат ресурсов; А0 =	140	–	матрица запасов
5	1	1		100
ресурсов.
Систему уравнений можно представить в матричном виде
		А ∙ X = А0; Х = А-1 ∙ А0,					(7)
				а11	а12	а13
где А-1– обратная матрица к квадратной матрице А =				а21	а22	а23
				а31	а32	а33	.
							.

Формула для вычисления обратной матрицы

А--1= 1А

А11 А21 А31

А12 А22 А32	(8)

А13 А23 А33 ,

А – определитель матрицы А, который вычисляется по формуле

|А| = а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 – а13а22а31 – а12а21а33 – а23а32а11; (9)

		7	0	5
А	=	2	3	2	= 21 + 10 + 0 – 75 – 14 – 0 = –58 0.
		5	1	1

Т.к определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная и для неё существует обратная матрица A-1.

Аij называется алгебраическим дополнением к элементу aij и равно

Aij = (–1)1+jМ ij .

(10)

Минор M ij элемента aij – это определитель, полученный из данного определителя вычёркиванием i-й строки и j-гo столбца.

13

A ( 1)				2		3	2		3 1 2 1 1					A ( 1)				3			2		2	(2 1 2 5) 8
A ( 1)									3 1 2 1 1					A ( 1)										(2 1 2 5) 8
11						1	1							12							5		1
						1	1														5		1
A ( 1)			4			2	3		2 1 3 5					13 A	( 1)		3			0			5	(0 1 5 1) 5
			4			2	3										3			0			5

13						5	1							21						1			1
						5	1													1			1
A	(	1)		4		7	5		7		25	18		A	(	1)			5				0	(7	0)	7
				4		7	5												5			7	0

22						5	1							23								5	1
						5	1															5	1
A	(	1)	4				5		0		15	15		A	(	1)			5			7	5	(14	10) 4
			4			0	5												5			7	5

31						3	2							32								2	2
						3	2															2	2
A	(	1)	6				0		21		0	21
			6			7	0

33						2	3
						2	3
							1		1			5		15
Отсюда А-1 = –							1			8		18		4 . Согласно формуле (7) Х = А-1A0
Отсюда А-1 = –							58			8		18		4 . Согласно формуле (7) Х = А-1A0
							58		13			7	21
									13			7	21
	x1				1		1				5	15		220		1				1 220				5 140		15 100
Х	x2				1		8				18	4		140		1				8 220				18 140		4 100

					58										58
	x3				58			13			7	21		100	58					13 220				7 140		21 100
	x3							13			7	21		100						13 220				7 140		21 100
1		580							10
1		1160							20

58
58		1740							30
		1740							30

получили x1 = 10; х2 = 20; х3 = 30.

Задача 4

Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А,В,С для каждого из 3 видов услуг:

1– технического обслуживания;

2– транспортные услуги;

3 – капитальный ремонт – заданы векторами: d1(a1,b1,c1); d2(a2,b2,c2); d3(a3,b3,c3). Полные затраты на выполнение каждого из 3 видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3). Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги.

Составить математическую модель задачи. Решить а) матричным методом;

б) методом Крамера.

х – число часов использования оборудования А; у – число часов использования оборудования В; z – число часов использования оборудования С.

a1x b1 y c1z g1; a2 x b2 y c2 z g2 ; a3 x b3 y c3 z g3.

Решение системы уравнений матричным способом приведено в задаче 3.

14

Решим систему уравнений методом Крамера. Обозначим

a1

b1

c1

x

g1

a1

b1

c1

g2 ,

А a

b c

,

X

y

,

А0

a b c

,

2

g3

2

a3

d3

c3

z

a3

b3

c3

g1

b1

c1

a1

g1

c1

a1

b1

g1

x

g 2

b2

c2

,

y

a2

g 2

c2

,

z

a2

b2

g 2

.

g3

b3

c3

a3

g3

c3

a3

b3

g3

x

,

y

,

z

.

Задача 5. Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой у = 120+30х, а на железнодорожном – у = 160 + 20х, где х – расстояние в километрах; у – транспортные расходы на 1 км. (в усл.ден.ед.).

Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при х = 200 км.

1. Построим прямые у = 120 + 30х (I) и у = 160 + 20х (II) (рис. 4).

У

(I)

							(II)
	240
	160
	160
	120


			1		2 3 4		X
						Рис.4
Найдём точку пересечения двух прямых
у	120	30х;		х0	= 4 у0 = 240.
у	160	20х;		х0	= 4 у0 = 240.
у	160	20х;

Если х = 4, оба вида транспорта эквивалентны по затратам.

Если х<4, автомобильные перевозки выгоднее, а при х>4 выгоднее становятся железнодорожные перевозки.

Рассчитаем транспортные расходы при х = 200 км.

15

у= 120+30∙200 = 6 120 (усл.ден.ед.) – затраты на автомобильном транспорте;

у= 160+4000 = 4 150 (усл.ден.ед.) – затраты на железнодорожном транспорте.

Задача 6. Зависимость уровня потребления у некоторого вида товаров от уровня дохода семьи Х выражается формулой у = 6– x1449 . Построить график

этой зависимости, произвести экономический анализ, вычислить уровень потребления при х = 158.

Построим график у = 6–			144	;	у –6=–		144		.
Построим график у = 6–				;	у –6=–				.
			x 9				x	9
Преобразуем данное уравнение к виду Y =						m		(12)
Преобразуем данное уравнение к виду Y =						Х		(12)
						Х
Введём новые переменные.
X	x	9
		– эти формулы определяют параллельный перенос осей координат.
Y	y	6

В “новой” системе координат X/O/Y/, начало которой есть точка O/(–9;6), построим равнобочную гиперболу (12). Её асимптотами служат оси О/X/ и O/Y/. Т.к. m = –144<0, ветви гиперболы расположены во 2 и 4 квадрантах.

Вершинами гиперболы в “новой” системе координат будут точки A(– m; m)

A/( m;m) .

A(– 144; 144)

A(–12;12).

A/(

A/(12; –12) .

144;

144)

Если m

0 , то ветви гиперболы будут расположены в 1 и 3 квадрантах, а их

вершинами

будут точки (

m;

m ) и

(– m; m) в “новой” системе

координат.

При построении гиперболы полезно знать точки пересечения с осями ОХ и ОУ. Найдём их: х = 0, у = –10; х = 15, у = 0. Следовательно, искомая линия пересекает старые оси координат в точках В(0; –10), С(15; 0).

Уровень потребления обращается в 0 при некотором критическом уровне

дохода: у = 0 6–	144	0 , х = 15. Если х<15, то у<0, формула не имеет
	х 9

экономического смысла, следовательно, анализировать будем ту часть графика, которая удовлетворяет условию х>15.

По графику (рис. 5) видим, что при росте дохода предельное потребление будет стремиться к значению у = 6, т.е. с ростом дохода уровень потребления стабилизируется.

Найдём уровень потребления при х=158, у≈5,13.

Материал: 3830

Смотрите также: