Материал: 47 бозоны и фермионы

Мы пришли к выводу, что теплоёмкость твёрдых тел хорошо объясняется через формальное сведение энергии тепловых колебаний кристаллической решётки к энергии газа бозонов. Другой пример из физики твёрдого тела будет касаться уже газа фермионов, или, как говорят физики, электронного ферми-газа.

Электронная теплоёмкость металлов. Говоря о теплоёмкости твёрдых тел, мы должны разрешить ещё один парадокс. Все атомы состоят не только из ядер, но и из электронов. При отличной от нуля температуре последние, наряду с ядрами, должны участвовать в тепловом движении со средней энергией ~(3/2)k_BT на один электрон. Это увеличит внутреннюю энергию (а значит, и теплоёмкость) кристалла в несколько раз. Но ничего подобного не наблюдается, молярная теплоёмкость всех твёрдых тел не превышает 3R! Даже если предположить, что в изоляторах из-за локализации на атомах электроны не могут участвовать в хаотическом тепловом движении, то как быть с металлами, в которых электроны проводимости коллективизированы? Разгадать эту загадку позволяет учёт того факта, что, в отличие от фононов, электроны являются фермионами.

Вспомним принцип Паули. Электроны заполняют все уровни энергии, начиная с самого нижнего. Самый верхний уровень энергии, заполненный при T→0 называется энергией Ферми (или уровнем Ферми) и обозначается E_F.

Рассмотрим электроны проводимости металла, они занимают часть уровней энергии, находящейся, внутри интервала энергии, называемым зоной проводимости (уровни энергии внутри зоны проводимости расположены настолько тесно, что спектр энергий свободных электронов можно считать почти непрерывным). Если отсчитывать энергию Ферми от нижней границы («дна») зоны проводимости, то типичная для металлов величина E_F~1 эВ. Легко прикинуть непосредственно, что энергия 1 эВ≈k_B·11000 К. Это очень высокая температура! При гораздо более низких температурах металлы существуют только в газообразном состоянии. Таким образом, во всех практически значимых случаях мы имеем приближение k_BT<<E_F.

Для того, чтобы участвовать в тепловом движении при T>0 электрону проводимости необходимо увеличить свою энергию на величину ~k_BT и перейти в новое незанятое состояние c энергией больше E_F (все состояния с энергией меньшей E_F заняты; переход на них запрещён принципом Паули). Но таких электронов очень мало, всего доли процента от общего числа электронов проводимости; все они занимают тонкую полосу энергий толщиной ~k_BT прямо под уровнем Ферми. Поэтому вклад электронов проводимости в теплоёмкость твёрдого тела пренебрежимо мал.

На основании сказанного попробуем определить вид температурной зависимости электронной теплоёмкости. Во-первых, количество электронов, участвующих в тепловом движении должно быть пропорционально k_BT. Во-вторых, каждый такой электрон сам имеет среднюю энергию теплового движения ~(3/2)k_BT. Перемножение этих двух факторов даёт для внутренней энергии электронного газа величину U_e~T². Отсюда обычным способом получаем для электронной теплоёмкости:

Таким образом, электронная теплоёмкость металла линейно зависит от температуры, обращаясь в ноль, как и фононная, при абсолютном нуле. Вклад электронной теплоёмкости в общую теплоёмкость настолько мал, что его можно экспериментально наблюдать только вблизи абсолютного нуля температур, где фононная теплоёмкость спадает по более «сильному» закону ~T³ и становится ниже электронной.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте принцип тождественности квантовых частиц.

2. Чем отличаются друг от друга волновые функции бозонов и фермионов?

3. Чем квантовый способ подсчёта вероятностей отличается от классического?

4. С чем связано явление бозе-конденсации?

5. Сформулируйте принцип Паули.

6. В чём сходство и в чём различие между фотонами и фононами?

7. Сформулируйте закон Дебая и закон Дюлонга и Пти.

8. Почему электроны не дают существенного вклада в теплоёмкость твёрдого тела?

9. Какой вид имеет температурная зависимость электронной теплоёмкости металла?

9