Материал: 4789
дополнить членами, содержащими произведения факторов, но в любом случае при построении регрессионной модели по результатам полного факторного плана 2k предполагается линейная зависимость выходной величины от каждого из варьируемых факторов.
Условия проведения эксперимента записывают в виде таблиц, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называют матрицами планов. Так, для двух варьируемых факторов полный факторный план (ПФП) должен содержать четыре опыта (n = 22 = 4). Матрицы ПФП строят в нормализованных обозначениях, где предусматривают столбцы для значений выходного параметра (откликов). Матрица полного факторного плана для двух факторов (план 22) в нормализованных обозначениях приведена в табл. 8.1.
Таблица 8.1 – Матрица полнофакторного плана для двух факторов
|
Значения факторов |
|
Значения отклика |
Кодовое |
||||
№ опыта |
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|
обозначение |
x1 |
x2 |
|
y |
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
строк |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y1 |
y1 |
(1) |
||
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
y2 |
y 2 |
(a) |
||
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
y3 |
(b) |
||
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
y4 |
(c) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первом и втором столбцах приведены значения факторов x1 и x2. Эти два столбца образуют основу плана. В третьем столбце записано произведение факторов x1x2, которое необходимо в дальнейшем для расчета коэффициента регрессии b12. В четвертый столбец заносят результаты опытов (отклики) y1 , … , y 4 . Каждый из откликов y1 , y2 , y3 , y 4 – это средние арифметические из п-параллельных опытов. Число параллельных опытов (повторность) для каждой строки матрицы должно быть одинаково. В пятом столбце записываются после окончательной обработки результатов значения отклика, рассчитанные по уравнению
|
b1x1 b2x2 |
b12x1x2 . |
|
y b0 |
(8.1) |
Число столбцов в матрице планирования, представленной в табл. 8.1, может быть увеличено для значений отклика в параллельных опытах, а также для записи необходимых в дальнейшем вычислений.
36
Запись условий проведения эксперимента в виде таблицы является алгебраической формой записи. Но условия проведения эксперимента можно изобразить геометрически. Для этого в области определения находится точка, соответствующая основному (нулевому) уровню варьирования факторов (рис. 8.1).
Рисунок 8.1. Геометрическое представление ПФП 22
Через нее проводят новые оси координат, параллельные осям ~1 и ~2 x x
натуральных значений факторов. Выбирают масштаб по новым осям так, чтобы интервал варьирования каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опыта будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень, а каждая сторона будет параллельна осям координат x1 и x2.
В основе расчета коэффициентов регрессии математической модели, полученной по результатам ПФП, лежит метод наименьших квадратов. Свойства матриц ПФП значительно облегчают расчет коэффициентов регрессии по результатам соответствующего эксперимента, сводя его к простейшим вычислениям. Сначала нужно найти коэффициенты регрессии линейной математической модели, записанной для нормализованных факторов:
y b0 |
b1 x1 b2 x2 |
... bk xk |
. |
(8.2)
Формула для отыскания линейных коэффициентов регрессии b1, b2,…bk имеет вид:
37
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
b |
0 |
|
i 1 |
; |
|
|
(8.3) |
||
|
N |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
yi xij |
|
|
|||
b |
j |
|
i 1 |
|
; |
|
(8.4) |
||
|
N |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yixijxuj |
|
|
||
bij |
i 1 |
|
|
. |
(8.5) |
||||
|
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для подсчета коэффициента b1 используют столбец x1, для подсчета b2
— столбец x2, а для b12 — столбец x1x2, т.е. значение отклика в каждой строке умножают на соответствующий знак в матрице, суммируют и делят на число строк матрицы ПФП, например, для табл. 8.1
b1 |
y1( 1) y2 ( 1) y3( 1) y4 |
( 1) |
; |
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
y1( 1) y2 ( 1) y3( 1) y4 ( 1) |
; |
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
y1( 1) y2 |
( 1) y3( 1) y4 |
( 1) |
. |
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент b0 = y , |
т.е. b0 есть |
|
среднеарифметическое отклика |
|||||
(выходной величины) в силу симметрии матрицы x1 x2 0.
После определения коэффициентов уравнение регрессии будет иметь
вид
|
b1x1 b2x2 |
b12x1x2 |
|
y b0 |
(8.6) |
Задание
1.Найти коэффициент регрессии линейной математической модели (8.2).
2.Составит математическую модель.
Варианты заданий
Опыт 1. Проведено экспериментальное исследование зависимости предела прочности древесины σ, МПа (выходная величина), от изменения температуры, t, град, и влажности W, %.
Таблица 8.2 – Результаты опытов
№ |
W, % |
t, град. |
σ, МПа |
|
|
|
|
1 |
6 |
40 |
9,0 |
|
|
|
|
2 |
18 |
40 |
5,5 |
|
|
|
|
|
|
38 |
|
3 |
30 |
40 |
3,0 |
|
|
|
|
4 |
6 |
80 |
7,5 |
|
|
|
|
5 |
18 |
80 |
4,2 |
|
|
|
|
6 |
30 |
80 |
2,0 |
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Что называется полными факторными планами?
2.Особенности матриц планов ПФП 2k.
3.Что такое симметричность, нормированность, ортогональность?
39
Библиографический список
Основная литература
1. Бартенев И. М. Научные исследования в области перспективных технологий и механизации работ в лесном комплексе [Электронный ресурс] : тексты лекций для студентов по направлению подготовки 15.03.02 – Технологические машины и оборудование / И. М. Бартенев; ВГЛТУ. - Воронеж, 2018. - 123 с. - ЭБС ВГЛТУ.
Дополнительная литература
1.Гончаров П. Э., Бартенев И.М., Драпалюк М.В. Машины и механизмы лесного и лесопаркового хозяйства [Текст] : учеб. пособие / П. Э. Гончаров, И. М. Бартенев, М. В. Драпалюк; ВГЛТУ. - Воронеж, 2016. - 196 с.
-Электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.
2.Бартенев И.М., Драпалюк М.В., Казаков В.И., Попиков П.И. Перспективные направления технологии и механизации лесозаготовительных и лесохозяйственных работ [Текст] : доп. УМО вузов России по образованию в обл. лесн. дела в качестве учеб. пособия для студентов высш. учеб. заведений / И. М. Бартенев, М. В. Драпалюк, В. И. Казаков, П. И. Попиков; ВГЛТА. - Воронеж, 2014. - 132 с. - Электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.
40