Материал: 5 — пак

Оптимальная смешанная стратегия игрока 1:

p1 = *0 = 0

p2 = * =

p3 = *0 = 0

p4 = * =

p5 = *0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока 2:

q2 = * =

q3 = * =

Ответ:

Цена игры: g = , векторы стратегии игроков: Q(0, , 0, , 0), P(0, , )

Проверка в Excel:

Рисунок 4 – Параметры поиска решений

Рисунок 5 – Результат поиска решения

Рисунок 6 – Параметры поиска решений

Рисунок 7 – Результат поиска решения

4. Метод Брауна-Робинсона

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	1	1	0	0
A2	0	-1	2	-1
A3	-1	2	-4	-4
b = max(Bj)	1	2	2

Пусть на первом этапе выбрана стратегия А1. Минимальный элемент для нее равен 0 и находится под номером j=3. Следовательно, игрок 2 выбирает стратегию В3. Максимальный элемент для стратегии В3 равен 2 и находится под номером i=2. Следовательно, игрок 1 выбирает стратегию А2.

Дальнейшие расчёты представлены в таблице.

i - номер стратегии, выбираемой игроком A

j - номер стратегии, выбираемой игроком В

Ni - сколько раз выбирается Аi стратегия

Nj - сколько раз выбирается Bj стратегия

N_A1 = 12

P(A₁) =

N_A2 = 3

P(A₂) =

N_A3 =

P(A₃) = 0

N_B1 = 0

P(B₄) = 0

N_B2 = 7

P(B₄) =

N_B3 = 8

P(B₄) =

Стратегия игрока I: p = ( , ,0)

Стратегия игрока II: q = (0, , )

5. Метод Крамера

А = А^т =

B = (1,1,1)

Определим оптимальную стратегию x = (x₁, x₂, x₃) игрока А и цену игры ν.

∆а = = 1·(-1)·(-4) + (-1)·1·2 - 1·2·2 = 4 - 2 - 4 = -2

Заменим 1-й столбец транспонированной матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆а₁ = = 1·(-1)(-4)+(-1)·1·2 - (-1)(-1)1 - 1·2·2 = 4 - 2 - 1 - 4 = -3

Заменим 2-й столбец транспонированной матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆а₂ = = 1·1·(-4) + (-1)·1·1 - 1·2·1 - 1·1·(-4) = -4 - 1 - 2 + 4 = -3

Заменим 3-й столбец транспонированной матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆a₃ = = 1·(-1)·1 + 1·1·2 - 1·1·2 = -1 + 2 - 2 = -1

Следовательно:

ν = = =

x₁ = = =

x₂ = = =

x₃ = = =

Определим оптимальную стратегию y = (y₁, y₂, y₃) игрока B.

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₁ = = 1·(-1)·(-4) + 1·2·1 - 1·2·2 - 1·1·(-4) = 4 + 2 - 4 + 4 = 6

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₂ = = 1·1·(-4) + 1·2·(-1) - 1·2·1 = -4 - 2 - 2 = -8

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₃ = = 1·(-1)·1+1·1·(-1) - 1·(-1)(-1) - 1·1·2 = -1 - 1 - 1 - 2 = -5

Следовательно:

y₁ = = =

y₂ = = =

y₃ = = =

Ответ: Оптимальная стратегия игрока А x = ( ), оптимальная стратегия игрока В = ( ), y цена игры -2.

2. Биматричные игры

C = a₁₁ – a₁₂ – a₂₁ + a₂₂

α = a₂₂ – a₁₂

D = b₁₁ – b₁₂ – b₂₁ + b₂₂

β = b₂₂ – b₂₁

C = 6 – 2 – 8 + 1 = -3

α = 1 – 2 = -1

D = 4 – 1 – 0 + 7 = 10

β = 7 – 0 = 7

(p–1)(-3q-1) ≥ 0

p(-3q+1) ≥ 0

(q-1)(10p-7) ≥ 0

q(10p-7) ≥ 0

получаем:

1) p = 1,q ≤

p = 0, q ≥

0 ≤ p ≤ 1, q =

2) q = 1,p ≥

q = 0, p ≤

0 ≤ q ≤ 1, p =

Игра имеет единственную ситуацию равновесия (P*,Q*), где оптимальными стратегиями являются: P* = ( ; ); Q* = ( ; ).

Рисунок 8 - График

Игрок 1 должен использовать стратегии 1 и 2 с частотами и , а игрок 2 – стратегии 1 и 2 с частотами и .

Цена игры для первого игрока: