Материал: 5856
16
сти мощности. Если реализацию белого шума подать на вход идеально-
го полосового фильтра, обладающего единичным коэффициентом передачи в полосе частот
(1.23)
то на выходе фильтра будем иметь реализацию также стационарного гауссовского случайного процесса V t с нулевым математическим ожиданием,
называемого ограниченным по полосе белым шумом.
При любых fâ |
fí |
0 его дисперсия (средняя мощность шума) равна |
|
|
|
ø2 Pø N0 f , |
(1.24) |
а n отсчетов v1,..., vn , |
взятых с шагом t 1 (2 f ) , определяемым теоремой от- |
||
счетов Найквиста-Котельникова, являются независимыми случайными величинами и описываются n-мерной совместной плотностью вероятностей
W (v1,..., vn ) W (v1 ) W (vn )
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
n |
. |
(1.25) |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
v j |
|
|
(2 ) |
n 2 |
|
n |
2 |
2 |
|
|||||
|
|
ø |
|
|
ø |
j 1 |
|
|
|||
Величина N0 – это спектральная плотность мощности белого шума и в соот-
ветствии с (1.24) она имеет размерность энергии Вт·с.
Мультипликативная помеха (от английского multiply-умножать) обычно является следствием многолучевости при радиосвязи в условиях, когда электрические свойства атмосферы или рельеф подстилающей поверхности случайным образом изменяются в пространстве и во времени (распространение радиоволн в городе или в неоднородной атмосфере).
Общий подход к описанию мультипликативной помехи заключается в том, что линия с многолучевостью представляется как линейный фильтр со случайно изменяющимися параметрами
|
1 |
|
|
|
|
y t |
H t, Sx |
exp i t d , |
(1.26) |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
где Sx – спектр сигнала x t ,
– передаточная функция этого фильтра, которая является комплексной случайной функцией двух переменных (для обычного фильтра с постоянными параметрами она зависит лишь от ).
Наиболее важные числовые характеристики статистически однородной передаточной функции – это ширина tн её временной ковариационной
функции
|
|
|
|
R t M H t, H |
|
t t, |
(1.27) |
|
|||
и ширина н её частотной ковариационной функции |
|
||
|
|
|
|
R M H t, H |
|
t, . |
(1.28) |
|
|||
Практически для всех реальных каналов H t, |
медленно изменяется |
||
17
по t и ( tн имеет порядок долей секунды, |
fн н |
2 имеет порядок де- |
|
сятков килогерц и даже более), и в итоге |
|
|
|
tí fí |
1. |
|
(1.29) |
Благодаря последнему свойству удается наблюдать почти в чистом виде мультипликативные помехи двух типов.
Если входной сигнал узкополосный в том смысле, что его спектр сосредоточен в узкой полосе частот н , можно приближенно считать,
что передаточная функция канала практически постоянна в полосе частот, то есть H t, H t, 0 , где 0 – центральная частота спектра. Тогда из
(1.26) имеем
поскольку x t 1
2
y t H t, 0 x t , |
(1.30) |
Sx exp i t d .
Отсюда видно, что помеха проявляется как случайные изменения во времени коэффициента передачи, и это приводит к случайным медленным флуктуациям амплитуды и фазы сигнала. Если при этом длительность элементов (импульсов, например), из которых состоит сигнал, меньше чем tн ,
то форма импульсов практически не меняется. Тем не менее, форма спектра выходного сигнала случайным образом отличается от , при этом
спектр в среднем несколько расширяется (величина расширения спектра имеет порядок 1 tí ).
Такой тип помехи классифицируется как временные селективные замирания (фединг). Флуктуации уровня сигнала приводят к тому, что качество связи случайно изменяется во времени, а в отдельные периоды, при наиболее глубоких замираниях, связь может нарушаться полностью.
Наличие помехи второго типа можно обнаружить, если одновременно передавать два узкополосных сигнала, имеющие центральные частоты 1 и2 . Их замирания будут дружными (почти синхронными во времени), если
|
1 |
2 |
|
|
н . В противном случае, при большом разнесении по частоте |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
н , замирания сигналов практически независимы. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Помеха второго типа преобладает в случае, когда длительность сигнала |
|||
t tн , и поэтому можно приближенно считать H t, H t0 , , где t0 – мо-
мент времени, соответствующий центру этого сигнала (импульса). Тогда из (1.26) получаем
(1.31)
т.е. многолучевой канал воздействует на передаваемый сигнал как фильтр с постоянной во времени, но случайной частотной характеристикой.
Сравнив выражения (1.30) и (1.31), мы можем считать помеху второго типа как частотные селективные замирания. Более того, приведенную выше
18
характеристику помехи первого типа можно перенести на помеху второго типа, поменяв местами переменные t и , т.е. сам сигнал и его спектр
S y . Случайные искажения спектра сигнала приводят к тому, что импульсы
в процессе передачи случайным образом искажаются, растягиваются (рассеиваются) во времени тем больше, чем больше отношение 
н , при этом
средняя величина рассеяния во времени имеет порядок 
.
Понятно, что помехоустойчивость приема сигнала, форма которого случайна, ниже по сравнению с ситуацией, когда форма ожидаемого сигнала известна заранее. Более того, рассеяние во времени приводит к наложению соседних импульсов друг на друга и к их дополнительным искажениям. Та-
кое явление известно как межымпульсная или межсимвольная интерференция.
Если t tн и н , то форма сигнала не искажается
y t H t 0 , 0 x t , |
(1.32) |
хотя при этом модуль и аргумент постоянного коэффициента |
передачи |
H t0, 0 являются случайными величинами. В итоге это определяет случайность амплитуды и фазы принимаемого сигнала y t . Если же t tн ин , то существенно совместное влияние мультипликативной помехи
обоих типов.
Более того, многолучевость приводит ещё и к появлению пространственных селективных замираний, т.е. к случайным искажениям в пространстве амплитуд и фаз волн в пункте приема. В итоге флуктуации сигналов, принимаемых двумя разнесенными в пространстве антеннами, становятся всё менее зависимыми при увеличении разнесения. Для большинства каналов при разнесении антенн на расстояние в (10…100) эти флуктуации становятся практически независимыми.
Наличие любой помехи (аддитивной или мультипликативной) приводит к тому, что принимаемый сигнал y t практически всегда отличается по форме от переданного сигнала x t .
1.6 Методы аналитического и геометрического представления сигналов и помех
Вероятностные модели сигналов и помех, описанные в разд. 1.1–1.5, вполне пригодны в качестве исходного материала для решения большинства задач теории электрической связи. Поэтому разработка новых моделей не является целью данного раздела. Здесь мы напомним те известные образы функций, задающих форму сигналов и помех, которые позволят в дальнейшем упростить и сделать более наглядным описание операций (не меняя их сути), которые мы будем проводить над сигналами.
19
Как было отмечено, любой сигнал (с помехой или без нее) – это функция времени U t , характеризующая изменение напряжения или тока в некоторой точке тракта передачи.
Узкополосный сигнал, у которого ширина спектра намного мень-
ше несущей частоты 0 , более удобно представить в виде |
|
U t A t cos t A t cos 0t t , |
(1.33) |
где функции A t 0 и t в явном виде задают законы амплитудной и фазовой модуляции соответственно. Зачастую ещё более удобна запись такого сигнала в виде суммы двух колебаний
|
U t C t cos 0t S t sin 0t, |
(1.34) |
где C t A t cos t и |
S t A t sin t – квадратурные |
составляющие |
сигнала.
И, наконец, для действительного узкополосного сигнала широко используется представление в виде “аналитического сигнала”
u t A t exp i |
t i t U (t) exp i |
t , |
(1.35) |
|||
|
0 |
|
0 |
|
||
т.е. комплексной функции, у которой реальная часть совпадает с (1.33) |
|
|||||
U t Re u(t) . |
|
|
(1.36) |
|||
Функция U(t) может быть названа комплексной огибающей высокоча- |
||||||
стотного сигнала U t и определяется следующим образом |
|
|||||
U (t) A t exp i |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.37) |
|
A t cos t iA t sin t C t iS t . |
||||||
|
||||||
Основное достоинство приведенных способов описания узкополосного |
||||||
сигнала U t проистекает из того, |
что функции |
A t , t , C t , S t ,U (t) - это |
||||
медленноменяющиеся функции, т.е. каждая из них относительно мало изменяется на интервале времени T 2 
0 , равном периоду несущей частоты.
Легко убедиться в этом преимуществе, если воспользоваться векторным представлением сигнала U t , т.е. отображать его в виде вектора на
плоскости в декартовой системе координат xOy так, что в любой момент времени длина вектора равна A t , а угол с осью Ox равен t . Поскольку полная фаза сигнала t растет довольно быстро, вектор будет совершать в среднем f0 оборотов в секунду. Использование понятия аналитического сиг-
нала (или квадратурных составляющих) позволяет применить то же представление к комплексной величине . В итоге скорость вращения вектора окажется значительно меньше, позволяя более детально проследить динамику развития колебаний. В этой ситуации направления двух осей координат символизируют колебания одной и той же частоты f0 , но сдвинутые по фазе на 90о.
20
Другая возможность для создания довольно наглядного образа сигнала
– это использование геометрического представления сигнала. Такая воз-
можность вытекает из естественной или искусственно созданной дискретности сигнала U t во времени и может применяться к сигналам с любой шириной спектра. Например, цифровой сигнал (последовательность символов-
цифр) S1 , S2 ,..., Sn можно формально считать элементами вектора |
|
S S1, S2 ,..., Sn |
(1.38) |
или координатами точки в n-мерном пространстве. |
|
После квантования по времени непрерывного сигнала U t |
с шагом t |
на интервале |
0 t T также получаем последовательность |
чисел-отсчётов |
||
u1,u2 ,...,un |
|
|
|
|
|
U t U U1,U2 ,...,Un (u1,u2 ,...,un ) |
|
, |
|
|
t |
(1.39) |
||
которую аналогично можно считать элементами вектора U. Переход к преде- |
||||
лу при t 0 , |
n позволяет не учитывать ошибки квантования по време- |
|||
ни (ввиду возможности использования такого перехода каждый элемент вектора u сразу умножили на постоянную величину 
Итак, каждому сигналу соответствует своя точка (вектор) в n-мерном пространстве (не путать с описанным выше векторным представлением колебаний). Поэтому посмотрим, какие свойства сигналов отображают основные геометрические понятия.
1) Норма (длина) вектора U в евклидовом пространстве равна
|
n |
|
U |
U 2j . |
(1.40) |
j 1
Если исходный сигнал U t был непрерывным, то перейдем к пределу и получим
|
|
|
|
n |
|
T |
|
||
U |
|
lim |
u2j t |
U t dt |
Eu |
, |
(1.41) |
||
|
|||||||||
|
|
|
t 0 |
j 1 |
0 |
|
|
|
|
где Eu – энергия сигнала (по умолчанию принимается, что входное сопротивление цепи Rвх 1Ом). Возможные значения 0 U . Обратим внимание на
этот факт: длина вектора, соответствующего сигналу, зависит не от напряжения, тока или мощности, а от энергии этого сигнала. Это обстоятельство определяет для цифровых сигналов способ введения такого важного понятия, как отношение сигнал/шум.
Если сигнал (1.38) – это последовательность двоичных символов (нулей и единиц), то удобнее использовать n-мерное пространство Хэмминга. В нем длина вектора численно равна его весу S W S , т.е. определяется как
количество единиц в этом векторе. Возможные значения S 0;1; 2;...; n – это целые числа.