Материал: Analitgeom_i_linal_ekzamen

29.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола (определения и их канонические уравнения)

Эллипс - множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, большая расстояния между этими точками.

F1 и F2 - фокусы.

Гипербола - множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

F1 и F2 - фокусы.

Парабола - множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F- фокус параболы, f - директриса параболы.

30.Поверхности второго порядка (канонические уравнения)

31. Матрица, ее элементы, обозначение, равенство матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или

размерами матрицы.

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: An×m.

В матрице (1) числа называются её элементами

32. Матрица-строка - матрица, состоящая из одной строки

Матрица-столбец - матрица, состоящая из одного столбца

Нулевая - матрица, все элементы которой равны нулю

Квадратная - матрица, у которой совпадает количество строк и столбцов

Треугольная - матрица, все элементы которой расположены под или над главной

диагональю (верх.треуг. матрица) (ниж.треуг.матрица)

Диагональная - матрица, у которой равны нулю все элементы матрицы,

расположенные вне главной диагонали

Единичная - матрица, у которой на главной диагонали стоят только единицы, а вне главной диагонали только нули

33. Операции над матрицами

34. Определитель квадратной матрицы

треугольной матрицы

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали,

единичной матрицы

единичной матрицы

Определитель единичной матрицы EE равен единице:

=detE=1

произведения матриц

Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B).

35.Обратная матрица: определение, условие существования, формула для вычисления

36.Система линейных уравнений, однородная и неоднородная система, решение системы, совместная и несовместная система,

Если среди правых частей bi системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется

неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется

решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

37. Элементарные преобразования матриц.

1.умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;

2.перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;

3.прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент;

4.прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент.

Эквивалентные системы

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений эквивалентна системе , где — невырожденная матрица.

В частности, если сама матрица — невырожденная, и для неё существует обратная матрица , то решение системы уравнений можно формально записать в виде

38. Матрица системы линейных уравнений, матричная форма записи системы

39. Правило Крамера

40. Ранг матрицы

41. Теорема Кронекера-Капелли