Материал: CT1

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная

технологическая академия им. П. А. Соловьева

Кафедра Общей и технической физики

Лаборатория «Статистическая физика и термодинамика»

Утверждено

на заседании методического

семинара кафедры физики

« » _________ 2007 г.

Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №CТ-1

Измерение функции распределения электронов

вольфрамового термокатода

Методическое руководство

разработано доц. Суворовой З.В.

Рецензент Шувалов В.В.

Рыбинск, 2007 г.

УКАЗАНИЯ ПО

ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ

К работе с прибором допускаются лица, ознакомленные с устройством, принципом работы и прошедшие инструкцию по технике безопасности.

Запрещается включать установку в сеть без заземления.

Запрещается работать со снятым кожухом установок.

Прибор имеет подключение к электрической сети. Соблюдайте формы электробезопасности и требования инструкции №170 по технике безопасности. Не включайте прибор в сеть, пока не ознакомитесь с его конструкцией и основными требованиями к работе с ним.

Перед началом работы убедитесь, что тумблеры выключены, а переключатели находятся в крайнем левом положении.

Цель работы: исследование функции распределения термоэлектронов и определение параметров Максвелловского закона распределения.

1.Краткие теоретические сведения

1.1.Микросостояние. Вероятность. Средние значения

Для исследования и количественного описания статистических закономерностей в статистической физике вводят многомерное пространство, которое называется фазовым пространством. Это такое пространство, в котором в качестве координатных осей выбираются координаты и импульсы p_i частиц, входящих в макроскопическую систему А. Если в систему входит N частиц, то размерность фазового пространства 3N+3N=6N (3N координатных осей- проекции координат всех частиц системы А, 3N координатных осей- проекции импульсов).

Если система характеризуется одной степенью свободы, то фазовое пространство двумерно (см. рис.1). Точка а фазового пространства характеризует микросостояние системы А (т.е. совокупность всех координат и импульсов p_i всех частиц системы А) в некоторый момент времени и называется фазовой точкой.

Из-за взаимодействия частиц между собой и с окружающим пространством положение фазовой точки а в следующий момент времени изменится, т.е. фазовая точка сместится по фазовой траектории (кривая на рис.1).

Если через каждые измерять и p_i частиц системы А и наносить точку в фазовом пространстве, то спустя большие время Т в фазовом пространстве получается облако точек. Эти точки изображают возможные микросостояния системы А, совместимые с данным макросостоянием. За время Т система А побывает во всех возможных микросостояниях, которые совместимы с данным макросостоянием.

Рассмотрим некоторый объем dV фазового пространства, соответствующий значениям координат и импульсов частиц, лежащих в интервале ,

Если dt - время, в течение которого микросостояние системы А изображается фазовыми точками, находящимися в объеме dV, то величину можно рассматривать как частоту события (точнее - как вероятность) того, что при наблюдении за системой А эта система в произвольный момент времени находится в одном из микросостояний с координатами x; х+dx и импульсом p; p+dp. Ясно, что чем больше выбран объем dV, тем больше вероятность застать в нем фазовую точку, т.е.

,

где - функция статистического распределения.

Рассмотрим случай, когда случай­ная величина х имеет непрерывный характер (например, скоро­сти молекул). Для этого разобьем всю область изменения х на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случай­ной величины в тот или иной интервал. Во избежание заметных флуктуаций интервалы должны быть достаточно больши­ми, чтобы в каждом интервале число попаданий было >>1 и чтобы можно было определить вероятность по­падания случайной величины в данный интервал. Вместе с тем, интервалы должны быть достаточно небольшими, чтобы более детально характеризовать распределение величины х.

Итак, мы имеем достаточно большое число достаточно небо­льших интервалов. Допустим, нам известна вероятность попадания в тот или иной интервал ∆x. Сама величина ∆ ве­сьма мала, поэтому в качестве характеристики случайной вели­чины берут отношение ∆/∆x, которое для достаточно малых ∆х не зависит от величины самого интервала ∆x. Это отношение при ∆х —> 0 называют функцией распределе­ния f(х) случайной величины х:

. (1)

Видно, что функции распределения f(х) можно приписать смысл плотности вероятности, т.е. вероятности интересую­щей нас величины оказаться в единичном интервале вблизи значения х.

В разных случаях функция распределения имеет совершен­но различный вид, один из ко­торых в качестве примера при­веден на рис. 2. В соответст­вии с (1) площадь полоски шириной dx на этом рисунке равна вероятности того, что случайная величина х окажется в пределах интервала (x, x + dx): . Вероятность того, что величина х попадает в интервал (a,b) определяется выражением:.

Ясно, что вероятность того, что величина х может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице. Это условие называют условием нормировки: , где интегрирование производится по всему интервалу возмож­ных значений величины х. Из этого условия следует, что вся площадь под кривой f(x) равна единице (см. рис. 1).

Среднее значение величины x можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распреде­ления f(x):

,

интегрирование проводится по интересующему нас интерва­лу значений х. Аналогичные формулы справедливы для любой функции φ(x), например, для среднее значение определится так

.

1.2. Распределение Максвелла

Закон распределения по скоростям молекул газа, находяще­гося в термодинамическом равновесии, был найден Максвел­лом (1859).

Представим себе пространство скоро­стей с прямоугольными координатными осями, по которым бу­дем откладывать значения проекций отдельных моле­кул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора . Из-за столкнове­ний молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, по­скольку макросистема находится в термодинамическом равно­весии.

Вследствие равноправности всех направлений движения рас­положение точек относительно начала координат будет сфери­чески симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости (но не от ).

Итак, пусть макросистема (газ) содержит N молекул. Выделим в некоторой точке — конце векто­ра — малый объем (рис. 3, где ось направлена на нас). Относительное число точек (молекул) в этом объеме, или дру­гими словами, вероятность dw того, что скорость молекулы, т.е. конец вектора , попадет в этот объем, можно записать так:

, (2)

где имеет смысл объемной плотности вероятности. Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь про­екции скорости в интервале (), равна отношению

, (3)

где — функция распределения по . Выражение (3) — это по существу интеграл (2) по и , т.е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от до + d. Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах (,+d), (и () являются независимыми, поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать

(4)

Из соображения равноправия осей , и ясно, что функ­ции φ должны одинаковым образом зависеть от соответствую­щих проекций скоростей. Сопоставив (4) с (2), находим

. (5)

После преобразований (с учетом условия нор­мировки) получаем

,

аналогичный вид имеют функции и . И тогда соглас­но (5)

( . (6)

График функции изображен на рис. 4. Он совпадает с гауссовой кри­вой погрешностей. Площадь тонированной полоски на рис. 4 — это вероятность того, что проекция скорости молекулы лежит в интерва­ле (,+d). Функция (6) нормирована на единицу, т.е. площадь под кривой равна

Интегрирование в пределах от -∞ до +∞ не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы.

1.3.Распределение молекул по модулям скорости

Найдем вероятность или относительное число молекул, мо­дуль скорости которых заключен в интервале (). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами и (рис. 5). Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е. , объемная же плотность вероятности во всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероят­ностей, вероятность попадания в этот слой