Материал: MATLAB1
Действия над матрицами
Произведением прямоугольной (m n)-матрицы А на число называют матрицу, элементы которой получены умножением элементов на число :
.
Сумма определяется для прямоугольных матриц одинакового строения, и элементы суммы равны суммам соответствующих слагаемых, т. е.
Умножение
определяется только для таких прямоугольных
матриц, у которых число столбцов первого
множителя равно числу строк второго.
Произведением
(m р)-матрицы
А
на (р n)-матрицу
В
будет (m n)-матрица
С
с элементами:
.
Матрицы А и В называются перестановочными, если AB = BA. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц.
Для различения операций (табл. 2.12) над матрицами по правилам линейной алгебры и поэлементных операций с массивами перед знаком операции ставят точку. Примеры использования операций с возможными особенностями их выполнения представлены в табл. 2.13.
Таблица 2.12
Операции с матрицами |
Операции с элементами матриц |
+ сложение |
+ сложение |
– вычитание |
– вычитание |
* умножение |
.* умножение |
^ возведение в степень |
.^ возведение в степень |
/ правое деление |
./ правое деление |
\ левое деление |
.\ левое деление |
' транспонирование |
|
kron тензорное произведение |
|
Таблица 2.13
Ввод матрицы a: |
Ввод матрицы b: |
Свойства определителя: |
|||
»a = [1 2 3;2 3 1;3 1 2] a = 1 2 3 2 3 1 3 1 2 |
»b = [4 5 6;5 6 4;6 4 3] b = 4 5 6 5 6 4 6 4 3 |
»det(a)*det(b) ans = 774 |
»det(a*b) ans = 774 |
||
Умножение на число: |
Сумма матриц: |
Произведение матриц: |
|||
»6.*a ans = 6 12 18 12 18 6 18 6 12 |
»a+b ans = 5 7 9 7 9 5 9 5 5 |
»a*b ans = 32 29 23 29 32 27 29 29 28 |
|||
Ввод матрицы c: |
Ввод матрицы d: |
Различают правое (справа налево) и левое деление: |
|||
»c = [1 1 1;2 2 2;3 3 3] c = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 |
»d = [4 4 4;5 5 5;6 6 6] d = 4 4 4 5 5 5 6 6 6 |
»c.\d ans = 4.0000 4.0000 4.0000 2.5000 2.5000 2.5000 2.0000 2.0000 2.0000
»c./d ans = 0.2500 0.2500 0.2500 0.4000 0.4000 0.4000 0.5000 0.5000 0.5000 |
|||
Возведение в степень: |
|||||
»c.^2 % поэлементное ans = 1 1 1 4 4 4 9 9 9 |
»c^2 ans = 6 6 6 12 12 12 18 18 18 |
»c^0 ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 |
|||
Система Matlab в режиме прямых вычислений над векторами и матрицами наряду с обычными арифметическими и алгебраическими действиями выполняет такие операции, как инвертирование матрицы, вычисление ее собственных значений и векторов, решение систем линейных уравнений, вывод графиков двумерных и трехмерных функций и многое другое.
Матрица
называется обратной
к квадратной матрице А,
если A
= E,
при
этом
.
Невырожденность
матрицы А
есть необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы, которая
при этом оказывается единственной и
перестановочной с исходной. Квадратная
матрица А = (
)
называется невырожденной,
если ее определитель не равен нулю; в
противном случае матрица называется
вырожденной
(особенной).
Таблица 2.14
Ввод матрицы |
Определитель |
Обратная матрица |
Проверка
|
»A = [4 6 7; 11 1 9; 2 2 2] A = 4 6 7 11 1 9 2 2 2 |
»det(A) ans = 52 |
»inv(A) ans = –0.3077 0.0385 0.9038 –0.0769 –0.1154 0.7885 0.3846 0.0769 –1.1923 |
»A*inv(A) ans = 1.0000 –0.0000 0 –0.0000 1.0000 0 0 –0.0000 1.0000 |
»B = [5 6 4; 7 10 5; 3 6 9] B = 5 6 4 7 10 5 3 6 9 |
»det(B) ans = 60 |
»inv(B) ans = 1.0000 –0.5000 –0.1667 –0.8000 0.5500 0.0500 0.2000 –0.2000 0.1333 |
»B*inv(B) ans = 1.0000 0.0000 –0.0000 –0.0000 1.0000 –0.0000 0 0.0000 1.0000 |
»inv(B*A) ans = –0.1577 –0.0058 0.1737 0.1731 –0.1827 0.1122 0.0846 0.0885 –0.2192 |
»inv(A)*inv(B) ans = –0.1577 –0.0058 0.1737 0.1731 –0.1827 0.1122 0.0846 0.0885 –0.2192 |
||
=E
Примеры
применения дополнительных операций
над матрицами показаны в табл. 2.14. Верна
формула
.
Цель, требования и рекомендации к выполнению задания
Цель выполнения задания: практическое применение матриц и массивов для представления числовой информации, изучение и практическое использование операций с матрицами и массивами.
Требования и рекомендации к выполнению задания:
1.
Одним из описанных ранее способов
создать прямоугольные матрицы A
и
B
размером
.
Выполнить с ними арифметические
операции
(сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение
в степень):
а) обращаясь
к элементам по индексу; б) операции
с матрицами; в) поэлементные операции.
2.
Одним из описанных ранее способов
создать квадратную матрицу D
размером
.
Вычислить для нее определитель, найти
обратную,
собственные
числа
и
векторы,
выполнить
заданную
операцию
преобразования
матрицы.
3. Транспонировать матрицу B.
Пример выполнения задания
Пример 2.1. Рассмотрим вариант выполнения заданий из 2.4.
Задание 1 выполняется с матрицами, заполненными значениями с помощью датчика случайных чисел. Назначение выполняемых операций раскрывается в комментариях. Для задания 2 приведен возможный вариант формирования матрицы D и несколько возможных операций.
»A = rand(3, 2) % задана матрица A A = 0.9501 0.4860 0.2311 0.8913 0.6068 0.7621 |
»B = [1 2; 3 4;5 6] % задана матрица B B = 1 2 3 4 5 6 |
»C = (A(3)+B(1)–A(1))/B(2)*B(5) % обращение к элементам по индексам C = 0.8756 |
|
»S1 = A+B % сумма матриц S1 = 1.9501 2.4860 3.2311 4.8913 5.6068 6.7621 |
»S2 = B–A % разность матриц S2 = 0.0499 1.5140 2.7689 3.1087 4.3932 5.2379 |
»A/B % левое деление ans = –0.8177 0 0.3536 0.7674 0 –0.1073 0.0424 0 0.1129 |
»A\B % правое деление ans = –0.3974 0.1434 4.6044 5.5528 |
»A*3 % умножение на число ans = 2.8504 1.4579 0.6934 2.6739 1.8205 2.2863 |
»B.^3 % поэлементное ans = % возведение в степень 1 8 27 64 125 216 |
»S3 = B./A S3 = % поэлементное левое деление 1.0525 4.1154 12.9792 4.4878 8.2394 7.8730 |
»S4 = B.\A S4 = % поэлементное правое деление 0.9501 0.2430 0.0770 0.2228 0.1214 0.1270 |
»S5 = A.*B S5 = % поэлементное умножение 0.9501 0.9720 0.6934 3.5652 3.0342 4.5726
»S7 = B' S7 = % транспонирование матрицы 1 3 5 2 4 6 |
»S6 = kron(A, B) S6 = % тензорное произведение 0.9501 1.9003 0.4860 0.9720 2.8504 3.8005 1.4579 1.9439 4.7506 5.7008 2.4299 2.9159 0.2311 0.4623 0.8913 1.7826 0.6934 0.9246 2.6739 3.5652 1.1557 1.3868 4.4565 5.3478 0.6068 1.2137 0.7621 1.5242 1.8205 2.4274 2.2863 3.0484 3.0342 3.6411 3.8105 4.5726 |
»D = magic(2) D = % задание квадратной матрицы 1 3 4 2 |
»D1 = fiiplr(D) % зеркальная D1 = % перестановка столбцов 3 1 2 4 |
»det(D) % определитель матрицы D ans = –10 |
»D2 = inv(D) % обратная матрица –0.2000 0.3000 0.4000 –0.1000 |