Материал: Zadanie_po_diskretnoy_matematike
Домашнее задание 6
1) Пусть для данной последовательности bn, n = 0; l, выполняются равенства
|
n |
|
|
|
|
∑k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
bn = |
=0 |
(k)ak; n = 0; l: |
||
|
|
|
|
|
Пользуясь формулой обращения, найти значения an, n = 0; l. Провести проверку.
à) l = 4, b0 = 3; b1 = 8; b2 = 15; b3 = −1; b4 = 4; á) l = 4, b0 = 8; b1 = −5; b2 = 11; b3 = 4; b4 = −1;
â) l = 4, b0 = 2:5; b1 = 2; b2 = 4:3; b3 = 1:25; b4 = 4:8;
ã) l = 6, b0 = 4; b1 = 3; b2 = 5; b3 = 9; b4 = 14; b5 = 3; b6 = 22;
ä) l = 6, b0 = 2:75; b1 = 38; b2 = 5:3; b3 = 12; b4 = 8:5; b5 = 16; b6 = 21; å) l = 6, b0 = −1; b1 = 6:5; b2 = 7; b3 = 5:5; b4 = 3; b5 = −2:8; b6 = 8:75; æ) l = 6, b0 = 18; b1 = −3:5; b2 = 6; b3 = 3:4; b4 = 3; b5 = 2:25; b6 = −7:7;
ç) l = 6, b0 = 5; b1 = −3:3; b2 = −10; b3 = 7; b4 = 1:5; b5 = 3; b6 = 4; è) l = 6, b0 = 1; b1 = 6; b2 = 4; b3 = 8; b4 = −1:1; b5 = 0; b6 = 5;
ê) l = 6, b0 = 10; b1 = 1; b2 = −1; b3 = −10; b4 = 5:5; b5 = 3; b6 = 4; ë) l = 6, b0 = 7:28; b1 = 1:3; b2 = 2; b3 = −4; b4 = 8; b5 = 10; b6 = 1.
16
Домашнее задание 7
1) Сколькими способами можно разложить а) 20 одинаковых шаров по четырем различным урнам;
б) 20 различных шаров по четырем различным урнам; в) 20 различных шаров по четырем различным урнам так, чтобы в
первой, второй, третьей и четвертой урнах находилось соответственно 2, 5, 3 и 10 шаров.
2) Äàíî m предметов одного сорта и n предметов другого. Найти число выборок, составленных из r предметов одного сорта и s предметов другого сорта.
3)Сколько существует наборов из монет достоинством 1, 2 и 5 рублей по 20 монет в наборе.
4)а) На перемене двадцать пять студентов пришли в библиотеку и взяли по одному учебнику каждый. Пятеро взяли учебник по алгебре, четверо по геометрии, семеро по математическому анализу и девять человек взяли учебник по уравнениям математической физики. Сколько существует вариантов такого события, если имена студентов пришедших в библиотеку известны.
б) На перемене двадцать пять студентов пришли в библиотеку и взяли в сумме сорок книг. Сколько существует вариантов такого события, если имена студентов пришедших в библиотеку известны. При вычислениях книги считать неразличимыми.
5)Определить коэффициент k в следующих членах многочлена (с
приведенными подобными членами), получаемого из алгебраического выражения (a + b + c)2(a2 + b2 + c2)4 :
à)ka3b3c4; |
á)ka2b4c4; |
â)ka5b5; |
ã)ka2b2c6: |
6)Три товарища играли в карты. Первый выиграл восемь раз, второйчетыре раза, третий тринадцать раз. Сколько вариантов такого состязания могло быть.
7)Имеется колода из 4n (n ≥ 5) карт, которая содержит карты четырех
мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1; 2; ::::; n.
Подсчитать, сколькими способами можно выбрать пять карт так, что среди них окажутся:
18
а) пять последовательных карт одной масти; б) четыре карты из пяти с одинаковыми номерами;
в) три карты с одним номером и две карты с другим; г) пять карт какой-нибудь одной максти; д) пять последовательно занумерованных карт;
е) в точности три карты из пяти с одним и тем же номером; ж) не более двух карт каждой масти.
8) Сколькими способами можно задать отношение эквивалентности на множестве {1; 2; :::; 30} с четырьмя классами эквивалентности.
19
Домашнее задание 8
1)Найти число решений системы в неотрицательных целых числах. а) x1 + x2 + x3 + x4 = 25;
á) x1 + x2 + x3 + x4 = 30,
x1 |
≥ 3; |
x3 |
≥ 8; |
â) x1 + x2 + x3 + x4 = 40, |
|||
x1 ≥ 1; |
x2 ≥ 10; x4 ≥ 3; |
||
ã) x1 + x2 + x3 + x4 = 35, |
|||
x1 ≥ 3; |
x2 ≥ 8; x3 ≥ 5; x4 ≥ 4; |
||
ä) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 28, |
|||
x1 ≥ 1; |
x2 ≥ 7; x3 ≥ 8; x4 ≥ 4; x5 ≥ 2: |
||
2)Найти число решений системы в неотрицательных целых числах. а) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 18;
á) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 24,
x2 |
≥ 2; |
x4 |
≥ 5; |
â) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 35, |
|||
x1 ≥ 3; |
x3 ≥ 5; x4 ≥ 1; |
||
ã) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 41, |
|||
x1 ≥ 0; |
x2 ≥ 10; x3 ≥ 3; x4 ≥ 5; |
||
ä) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 43, |
|||
x1 ≥ 2; |
x2 ≥ 6; x3 ≥ 4; x4 ≥ 2; x5 ≥ 4; |
||
21
Домашнее задание 9
1) Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. В предположении, что шляпы возвращаются наугад, найти вероятность того, что в точности k человек получат свои шляпы назад. Рассмотреть все значения k
(0 ≥ k ≥ 4).
2) При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% студентов читают журнал А, 50% журнал В, 50% журнал С, 30% журналы А и В, 20% журналы В и С, 40% журналы А и С, 10% журналы А, В и С. Выяснить, сколько процентов студентов:
а) не читает ни одного из журналов; б) читает в точности два журнала; в) читает не менее двух журналов.
3)
а) Показать, что количество целых положительных чисел делящихся
[ ]
íà n и не превосходящих x равно nx ;
б) найти число целых положительных чисел не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7;
в) найти число целых положительных чисел не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10 и 15;
г) показать, что если n = 30m, то количество целых положительных чисел, не превосходящих n и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10, 15, равно 22m;
д) найти число простых чисел, не превосходящих 100. 4) Пусть U множество из n (n ≥ 3) элементов.
а) Найти число пар (X; Y ) таких подмножеств множества U, ÷òî
X ∩ Y = ;
б) найти число таких пар (X; Y ), ÷òî X U, Y U,
|(X \ Y ) (Y \ X)| = 1;
в) найти число таких троек (X; Y; Z), ÷òî X U, Y U, Z U,
X (Y ∩ Z) = X Y ; |
|
|
|
|
г) найти число пар (X; Y ) |
таких подмножеств |
множества |
U, |
÷òî |
X ∩ Y = , |X| ≥ 2, |Y | ≥ 3; |
(X; Y ), ÷òî X |
U, Y |
|
U, |
д) найти число таких пар |
|(X \ Y ) (Y \ X)| = 1, |X| ≥ 2, |Y | ≥ 2;
23