Материал: А27103 Василинец И. М., Колодязная В.С. Методы исследования

1.1. Единицы измерения величин

Величиной называют число, наименование которого определяется принятой единицей ее измерения. Если в уравнении (1.1) за единицу измерения вместо U принять другую величину U', то оно примет вид

Q = q' U . (1.3)

Следовательно, числовое значение Q измеряемой величины зависит от выбора определяющего множителя – единицы измерения U. Выбранным значением единицы измерения должна достигаться сопоставимость результата измерений с измерениями других величин, и поэтому оно подчинено определенным условиям, вытекающим из физических соотношений между измеряемыми величинами.

Помимо требования физического согласования отдельных единиц между собой, при выборе их предъявляется требование удобства, т. е. результат измерения по возможности должен выражаться "удобным" числом: не слишком большим и не слишком малым.

Единицы измерения подразделяют на независимые, основные, производные, кратные и дольные.

Независимыми называют единицы, установленные независимо от других единиц (произвольно выбранные), которые могут быть воспроизведены в виде эталонов. Определения этих единиц основаны на физически воспроизводимых свойствах веществ или тел.

К числу независимых основных единиц относятся, например, метр и килограмм, определенные через свои вещественные эталоны; независимы также единицы угла, если рассматривать его как физическую величину. Число независимых единиц стремятся свести к минимуму.

Производными называют единицы, определяемые на основании закономерной связи между величинами, для которых эти единицы устанавливаются, и величинами, единицы которых выбраны независимо.

Формула связи между величиной Q, для которой устанавливается производная единица, и величинами А, В, С,…, единицы которых установлены независимо, в общем случае имеет вид

Q = К А ^а В ^β С ^γ, (1.4)

где К – числовой коэффициент (в частном случае К = 1).

В этом случае размерность единицы измерения

[Q] = [A]^α [B]^β [C]^γ. (1.5)

Единица, определенная из равенства (1,5), будет производной по отношению к единицам [A], [B], [C]. Единицы, по отношению к которым определяется производная единица, называются основными, а показатели степени α, β, γ – размерностями. Формулы размерностей вполне определяют характер единицы. Это существенно потому, что производные единицы сравнительно редко имеют собственные наименования (например, ньютон, ватт). В большинстве же случаев они имеют наименования, вытекающие из формул размерности (например, единица скорости – метр в секунду).

Помимо своего физического значения, формулы размерностей дают возможность проверить правильность различных формул сравнением размерностей правой и левой частей; размерности их должны быть одинаковыми.

Так как основные и производные единицы в ряде случаев могут оказаться неудобными по величине, в технике измерений часто применяют единицы, представляющие собой кратное или долю основных либо производных единиц. Последние в этом случае носят название главных единиц по отношению к кратным и дольным единицам.

Кратные единицы равны целому числу основных или производных единиц, дольные составляют определенную долю основной или производной единицы.

Кратные и дольные единицы образуются при умножении или делении на степень числа 10 основной или производной единицы. По ГОСТ 1052–78 кратные и дольные единицы образуются прибавлением указанных в табл. 1.1 приставок к наименованиям основных и производных единиц.

Кратные и дольные единицы времени и углов образуются по стандарту для этих единиц.

1.2. Системы единиц

Совокупность основных и производных единиц, охватывающая определенную область величин, называется системой единиц.

ХI Генеральная конференция по мерам и весам (Париж, октябрь 1960 г.) приняла Международную систему единиц (СИ), которая была затем введена в ряде государств законодательными актами и стандартами, в том числе и в нашей стране.

Государственными стандартами разрешается для отдельных областей науки и техники применение еще трех систем механических единиц – МКС, СГС, МКГСС; двух систем электрических и магнитных единиц – МКСА и СГС; двух систем тепловых и двух систем акустических единиц; систем световых и системы единиц рентгеновского и гамма-излучений и радиоактивности. Кроме того, применяется много произвольных (внесистемных) единиц измерения, связанных с системными единицами сложными соотношениями.

Таблица 1.1

Кратные и дольные единицы по гост 1052-78

Помимо метрических систем единиц, иногда приходится оперировать с единицами английской системы мер.

Необходимость максимальной унификации и упрощения в этой сложной области науки и техники очевидна.

С 1 января 1963 г. в нашей стране система СИ утверждена для предпочтительного применения как Государственный стандарт (ГОСТ 9867–61)

В системе СИ основными единицами являются: метр, килограмм, секунда, ампер, градус Кельвина, свеча.

Международная система единиц измерения физических величин является универсальной системой, охватывающей все отрасли науки и техники. Этой системой воедино связаны единицы измерения механических, тепловых, электрических, магнитных и других величин.

2. Статистический анализ измерений

Результат всякого измерения, как бы тщательно оно не было выполнено, дает лишь приблизительное значение измеряемой величины, точное ее значение остается неизвестным. Степень приближения к истинному значению измеряемой величины обычно называют точностью измерения, хотя фактически оценивается величина погрешности – неточность полученного результата измерения.

2.1. Погрешности приближенных величин

Абсолютной величиной какого-либо числа называется его положительное значение независимо от знака. Обозначается эта величина двумя вертикальными линиями, стоящими по обе стороны числа, т. е. |А|.

Приближенные значения чисел и величин всегда имеют некоторую погрешность (ошибку), которую принято определять абсолютной или относительной величиной.

Абсолютной погрешностью ε называется разность между приближенным А и точным Х значениями данной величины:

ε = А – Х. ( 2.1)

Относительной погрешностью δ называется отношение абсолютной погрешности к точному значению данной величины:

 = ( 2.2)

Относительная погрешность является числом отвлеченным. Относительные погрешности часто выражаются в процентах.

Источником погрешностей при измерениях может быть ряд причин, среди которых имеются и такие, которые не поддаются числовому определению и даже выявлению. Искажения результатов измерения могут быть вызваны недостатками измерительной аппаратуры, примененных методов измерения, изменяющимся воздействием внешних условий, в которых производят измерения, или неполнотой знания наблюдаемых явлений, а также личными ошибками наблюдателя.

На основании анализа и сопоставления результатов измерений установлены четыре класса погрешностей: систематические погрешности, случайные погрешности, личные погрешности и грубые погрешности.

Систематическими называют постоянные или изменяющиеся по определенному закону погрешности. Их часто называют инструментальными. Те приборы, которыми производят измерения, не могут быть сделаны идеально точно. Чаще всего в паспорте прибора указывается ошибка в зависимости от измеряемой величины. Иногда вместо измерения ошибки можно организовать измерения так, чтобы ошибка была исключена.

Случайными называют погрешности, присущие каждому измерению и являющиеся следствием большого числа причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различно. Их наличие обнаруживается при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях, приводимых с той же тщательностью.

Случайные погрешности искажают результат измерений с одинаковой вероятностью в сторону его завышения и занижения. Они неизбежны, но могут быть учтены и сведены к минимуму подбором соответствующих условий. Учет этих погрешностей и подбор условий, при которых можно ожидать получение результата с минимальными погрешностями, могут быть произведены на основании принципов теории вероятностей, теории погрешностей, т. е. математической статистики.

2.2. Математическая статистика измерений

С точки зрения математической статистики партию сырья, готовой продукции или отходов можно рассматривать как генеральную совокупность с несколько различными значениями качественных показателей. Результаты анализов отобранных проб из данной партии материала можно рассматривать как выборочную (конечную) совокупность. Изменения качественных показателей сырья и готовой продукции в силу ряда причин происходят случайно и подчиняются законам случайной вариации.

Важной задачей при изучении статистических совокупностей является нахождение приближенного выражения для функции распределения или плотности вероятности по эмпирическому материалу. Измеренные параметры для каждой пробы выборочной совокупности с учетом разных величин показателя, а также случайных и систематических погрешностей будут иметь несколько различные величины параметра l (или рассматриваемых параметров l₁, l₂, l₃, …l_j,…, l_k).

Генеральная совокупность характеризуется генеральной пробой, состоящей из n элементарных проб (численность выборочной совокупности).

Таким образом, каждый параметр l_j характеризуется числом значений измерений данного параметра n. Каждое из измерений l_j1, l_j2, l_j3,…, l_jn; содержит соответственно случайные погрешности δ₁, δ₂, δ₃,…, δ_n; причем погрешности l_j будут иметь вид

l_j1 = М_j + δ₁; l_j2 = М_j + δ₂; l_j3 = М_j + δ₃;…; l_n = М_j + δ_jn, (2.3)

где М_j – истинное значение параметра в генеральной совокупности, т.е. математическое ожидание данного параметра.

В связи с тем что истинное значение М_j неизвестно, принимаем вместо него некоторое значение L_j, являющееся наилучшим приближением к истинному и определяемое отдельными измерениями l₁, l₂, l₃,…, l_n:

L_j = F (l₁, l₂, l₃,…, l_n). (2.4)

Наилучшее определение L_j:

L = . (2.5)

Величина p называется массой измерений (масса материала, к которому относится анализируемая проба), а величина L – взвешенным средним материалом.

Отклонения отдельных измерений от среднего результата обозначают через :

₁ = l₁ – L;

₂ = l₂ – L;

… … … .

_n = l_n – L.

Эти отклонения называются остаточными погрешностями.

Взвешенное среднее имеет следующие свойства: