Алгоритм расчета кривых перемагничивания однодоменной частицы гексаферрита
П.С. Колодин
Аннотация
Работа посвящена развитию математической модели гексаферритового гиромагнитного материала. Рассмотрена известная задача об определении направления вектора статической намагниченности однодоменной частицы гексаферрита, помещенной во внешнее магнитное поле. При решении задачи учтена возможность существования двух устойчивых положений вектора намагниченности. Предложен способ выбора того или иного положения на основе предыстории состояния вектора намагниченности. Разработан алгоритм расчета кривых перемагничивания и петель магнитного гистерезиса с учетом предыстории состояния намагниченности частицы. Используемый в алгоритме метод позволяет проводить расчет кривых перемагничивания путем изменения напряженности внешнего поля в произвольных пределах при произвольной ориентации частицы. Это существенно упрощает расчет кривых перемагничивания поликристаллических материалов.
Ключевые слова: гексаферрит, однодоменная частица, кривые перемагничивания, петли магнитного гистерезиса.
The paper is devoted to the development of the mathematical model of gyromagnetic hexagonal ferrite material. The problem of calculation of static magnetization direction of the single-domain hexaferrite particle in outer magnetic field is revised. The problem solution is taking into account a possibility of existence of two stable states of the magnetization vector. Method of choice one or another state with accounting of the magnetization prehistory is proposed. An algorithm for calculation of the magnetization curves and magnetic hysteresis curves with accounting of the magnetization prehistory is developed. Method, proposed in the algorithm, allows for calculating the magnetization curves by arbitrary variation of the magnetic field with arbitrary orientation of the ferrite particles. Proposed method appreciably simplifies the calculation of the magnetization curves for polycrystalline materials.
Keywords: hexagonal ferrites, single-domain particle, magnetization curves, magnetic hysteresis.
При решении одной из актуальных задач современной радиотехники - освоении миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн - перед радиоинженерами встают задачи разработки различных функциональных устройств. Поскольку с уменьшением длины волны измерительная аппаратура становится дороже, а физический эксперимент - сложнее, при решении указанных задач вполне рациональным кажется совместное использование как эмпирического подхода, так и компьютерного моделирования.
Моделирование может применяться для решения задач как анализа (например, оптимизации характеристик устройства), так и синтеза (разработки устройства с требуемыми характеристиками). К достоинствам моделирования следует отнести возможность проверки работоспособности устройства еще на стадии проектирования, т.е. до момента изготовления устройства «вживую». Для успешного выполнения этих функций необходимо наличие достаточного количества вычислительных ресурсов и адекватной модели исследуемого устройства.
При создании функциональных устройств на сверхвысоких и крайне высоких частотах (СВЧ и КВЧ) часто применяются гиромагнитные материалы; среди них большое распространение получили материалы на основе гексаферритов. Поэтому одним из условий для разработки моделей и проведения компьютерного моделирования таких устройств является наличие адекватной модели гексаферритового гиромагнитного материала.
Известно [2], что магнитные свойства гексаферритов в диапазонах СВЧ и КВЧ зависят от внешнего постоянного магнитного поля. Одной из отличительных особенностей этой зависимости является гистерезисный характер, который проявляется в неоднозначном (зависящем от предыстории) изменении свойств феррита при его перемагничивании. К настоящему времени для описания кривых намагничивания и петель магнитного гистерезиса ферромагнитных материалов разработано большое количество различных аналитических моделей [5]. Однако в большинстве случаев эти модели не имеют под собой какого-либо физического обоснования, а потому область их применимости ограничена довольно узкими диапазонами изменения напряженности внешнего поля. В связи с этим актуальной кажется задача разработки модели гексаферритового материала, построенной на основе физических представлений о процессах, происходящих в ферритовом теле при его перемагничивании.
В настоящей статье решается задача об определении направления вектора статической намагниченности однодоменной частицы гексаферрита, помещенной во внешнее магнитное поле. На основе полученных результатов формулируются алгоритмы расчета кривых перемагничивания и петель магнитного гистерезиса частицы. Как и в работе [4], предлагаемая здесь методика позволяет рассчитывать петли гистерезиса в «прямой» форме, когда независимой переменной является напряженность внешнего поля. Однако, в отличие от указанной работы, в расчетных формулах, приведенных в данной статье, учтена возможность скачкообразного перехода вектора намагниченности из одного устойчивого состояния в другое при превышении напряженностью внешнего поля так называемого критического значения, а в разработанных алгоритмах расчета кривых перемагничивания автоматически учитывается предыстория состояния намагниченности частицы. Это позволяет рассчитывать кривые перемагничивания при изменении напряженности поля в произвольных пределах, независимо от ориентации частицы. Указанные обстоятельства позволяют существенно упростить расчет кривых перемагничивания и петель гистерезиса поликристаллических материалов, что имеет большое значение для разработки их компьютерных моделей.
О кривых перемагничивания
Прежде чем приступить к изложению методики, уделим внимание вопросам терминологии, а именно понятию кривых перемагничивания.
Пусть частица гексаферрита с известными внутренними магнитными свойствами помещена во внешнее однородное магнитное поле. Обозначим вектор напряженности поля . При этом будем полагать, что в пространстве определено условно-положительное направление внешнего магнитного поля, а потому вектор можно представить в виде
, (1)
где , - единичный вектор (орт) условно-положительного направления внешнего поля.
Через некоторое время после помещения частицы во внешнее поле вектор ее намагниченности займет в пространстве вполне определенное направление. Назовем такое состояние стационарным, а намагниченность частицы в нем - статической намагниченностью .
Тогда под кривыми перемагничивания частицы будем понимать зависимость проекции вектора на орт от величины внешнего поля .
Физические представления о магнитных свойствах частицы гексаферрита
При решении задачи расчета кривых перемагничивания следует учесть, что частица гексаферрита является анизотропной, т.е. ее магнитные свойства зависят от направления приложения внешнего поля относительно гексагональной оси. Анизотропия проявляется в том, что при произвольной ориентации частицы во внешнем поле направления векторов и не совпадают. Между векторами и образуется угол (рис. 1), величина которого зависит от внутренних магнитных свойств частицы, ее ориентации относительно внешнего поля и напряженности поля (на рисунке - орт вектора статической намагниченности, - орт условно-положительного направления гексагональной оси).
Рис. 1. К проявлению анизотропии
Одним из способов учета анизотропии является предположение о существовании внутри частицы магнитного поля, называемого полем анизотропии , которое наряду с внешним полем воздействует на намагниченность частицы. Для количественного описания такого воздействия принято использовать уравнение Ландау-Лифшица [1], которое можно записать в виде:
, (2)
где Гн/м - магнитная постоянная, - гиромагнитное отношение (для магнитно-одноосных гексаферритов обычно полагают МГц / кА/м), - суммарное магнитное поле, действующее на намагниченность частицы.
Обычно в поле к внешнему полю и полю анизотропии добавляют эффективное поле «сил трения» , при помощи которого учитывают потери:
, (3)
, (4)
где - безразмерный коэффициент (обычно считают ), - намагниченность насыщения.
Уравнения (2) - (4) описывают затухающую во времени прецессию вектора намагниченности, вызванную внешним магнитным полем. Если внешнее поле постоянно, то через некоторое время после начала его действия изменениями во времени положения вектора намагниченности можно будет пренебречь:
. (5)
Это означает, что в стационарном состоянии вектор статической намагниченности устанавливается параллельно суммарному магнитному полю (3), которое в силу (5) можно записать в виде:
. (6)
Таким образом, для определения направления вектора статической намагниченности (и вычисления его проекции на орт ) требуется определить направление суммарного магнитного поля (6), которое представляется векторной суммой внешнего магнитного поля и поля анизотропии частицы.
При описании магнитных свойств частицы под полем анизотропии понимают не только кристаллографическую анизотропию, но и анизотропию формы. В квазиклассическом подходе, основанном на уравнении (2), анизотропию формы принято учитывать при помощи размагничивающего поля. Это поле зависит от геометрической формы частицы и ее расположения относительно силовых линий внешнего поля, поэтому в общем случае его расчет очень сложен. Однако для частицы в форме эллипсоида это поле оказывается пропорционально вектору намагниченности (коэффициент пропорциональности является тензором второго ранга). Если одна из осей эллипсоида совпадает с гексагональной осью кристалла, тензор становится диагональным и его компоненты называют размагничивающими факторами. Далее для простоты будем считать, что частица имеет форму эллипсоида вращения, ось симметрии которого совпадает с гексагональной осью кристалла. В этом случае поле анизотропии частицы можно записать в виде [4]:
, (7)
где - первая и вторая константы анизотропии, - размагничивающие факторы в направлении параллельно и перпендикулярно оси симметрии эллипсоида, - угол отклонения вектора намагниченности от орта .
Для удобства запишем выражение (7) в виде
, (8)
где , - константы поля анизотропии.
Таким образом, угол отклонения вектора статической намагниченности от гексагональной оси определяется направлением вектора суммарного магнитного поля, которое является функцией угла . Если угол будет известен, то мы будем обладать полными сведениями о направлении вектора статической намагниченности. В этом случае , которому пропорциональна проекция вектора на орт , можно рассчитать по формуле:
. (9)
Методика решения задачи
Приступим к решению задачи расчета направления статической намагниченности при заданных напряженности внешнего поля и ориентации частицы в нем . Внутренние магнитные свойства частицы (константы , ) считаем известными. Начнем с рассмотрения случаев, для которых расчет углов и выполнить наиболее просто.
1. Внешнее магнитное поле отсутствует ().
Благодаря действию поля анизотропии вектор статической намагниченности будет ориентирован вдоль гексагональной оси:
. (10)
При этом возможно два устойчивых положения вектора намагниченности: параллельно орту (, ) и противоположно ему (, ). Конкретное положение вектора определяется направлением поля анизотропии, которое зависит от предыстории изменения внешнего поля и поведения вектора намагниченности.
Если угол определен, то из (9) можно определить по формуле:
. (11)
2. Внешнее поле направлено вдоль гексагональной оси ().
В этом случае у суммарного поля (6) отсутствуют составляющие, перпендикулярные гексагональной оси. Поэтому, как и в предыдущем случае, вектор статической намагниченности будет ориентирован вдоль гексагональной оси. В таком состоянии справедливо выражение (10), поэтому по абсолютной величине поле анизотропии будет составлять
. (12)
Если напряженность внешнего магнитного поля превосходит первую константу поля анизотропии
, (13)
вектор статической намагниченности частицы установится по внешнему полю независимо от предыстории. В этом случае расчет интересующих нас величин можно провести по формулам:
, (14)
. (15)
Если условие (13) не выполняется, положение вектора статической намагниченности будет определяться направлением поля анизотропии, которое зависит от предыстории изменения внешнего поля и поведения вектора намагниченности. В этом случае для расчета справедлива формула (11).
3. В более общем случае (, ) внешнее поле будет стремиться отклонить вектор намагниченности частицы от гексагональной оси, а поле анизотропии - удержать вектор в ее направлении. В итоге вектор намагниченности займет такое положение в пространстве, в котором происходит компенсация моментов сил, действующих со стороны полей и .
Для определения запишем скалярное произведение векторов и :
. (16)
Поскольку в стационарном состоянии векторы и коллинеарны, орт можно представить в виде:
. (17)
Для вычисления произведения (16) введем в плоскости векторов и прямоугольную систему координат (рис. 2).
Рис. 2. Вспомогательная система координат