Материал: Алгоритмы компьютерной графики. В 3 ч. Ч. 3 (200

дается либо уравнениями многоугольников (полигонами), либо координатами вершин или ребер. В этих случаях находится приближенное значение нормали в вершинах. В случае задания уравнений многоугольников приблизительное значение нормали в вершине принимается равным среднему значению нормалей к многоугольникам, примыкающим к данной вершине. На рис. 2.5 показан вид сверху усеченной пирамиды.

Рис. 2.5. Определение нормали к поверхности

Приближенное значение нормали в вершине V1 будет равно: nv1 = (a0+a1+a4)i + (b0+b1+b4)j +(c0+c1+c4)k,

где a, b и c – коэффициенты уравнений плоскостей трех многоугольников P0, P1 и P4, окружающих вершину V1, а i, j и k – единичные векторы декартовой системы координат.

Если известны только уравнения ребер, то приблизительную нормаль к вершине можно определить, усредняя попарные векторные произведения всех ребер, примыкающих к данной вершине. Для вершины V1 это выглядит следующим образом:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Уравнения для плоскостей граней P0, P1 и P4 в данном случае:

P4: –x + z – 2 = 0

Приближенная нормаль в точке V1, найденная первым способом, будет равна:

nv1 = (a0+a1+a4)i + (b0+b1+b4)j +(c0+c1+c4)k = – i – j + 3k .

Абсолютная величина нормали nv1 :

а единичная нормаль:

При нахождении приближенной нормали вторым способом получим:

V1V2 V1V4 4k,

Усредняя векторные произведения, получим значение: nv1 = – 2i – 2j + 8k.

Абсолютная величина нормали nv1 (по второму способу):

а единичная нормаль:

Таким образом, приблизительные нормали, полученные разными способами, различаются как по величине, так и по направлению.

22

И, следовательно, интенсивность освещения в каждой точке сцены (так же как и сама сцена) будет зависеть от способа вычисления приблизительных нормалей.

2.2.5. Определение вектора отражения

Рассмотрим три наиболее общих метода определения вектора отражения.

В простом случае, когда применяется только один точечный источник освещения, вектор падения света, нормаль к поверхности и вектор отраженного света лежат в одной плоскости, причем на этой плоскости угол падения равен углу отражения (рис. 2.6).

Y

Рис. 2.6. Определение вектора отражения

Предполагается, что свет падает вдоль оси Z и точка поверхности совпадает с началом системы координат (предварительно необходимо развернуть систему координат так, чтобы направление на источник света и ось Z совпадали, и перенести ее начало в точку поверхности). Тогда проекция нормали и вектора отражения на плоскость XY будет лежать на одной прямой (рис. 2.7):

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ния и нормали. Если обозначить угол между единичным вектором нормали и осью Z как θ , то составляющие вектора нормали по оси Z:

а составляющая вектора отражения по оси Z:

Y

ˆ

R

nˆ

X

Рис. 2.7. Проекция нормали и вектора отражения на плоскость XY

Далее из выражений

Если есть несколько источников освещения и их можно перенести и повернуть так, чтобы нормаль к поверхности падала вдоль оси Z, то плоскость XY будет касательной к поверхности, а X и Y-составляющие единичных векторов падения и отражения будут иметь разные знаки. Z-составляющие будут, естественно, равны. Чтобы получить результаты в первоначальной ориентации, необходимо выполнить обратное преобразование. В перемещенной и повернутой системе координат:

24

В третьем методе учитывается, что единичная нормаль, единичный вектор паления, единичный вектор отражения лежат в одной плоскости, и векторное произведение

Векторные произведения равны, если равны x- y- и z-составляющие:

Для решения этого уравнения необходимо применить еще одно равенство

nL nR

или

nx Rx ny Ry nz Rz nx Lx ny Ly nz Lz .

Матричный вид для всех уравнений:

или

[N][R] = [B].

25