Оренбургский государственный университет
Аппроксимация распределений совокупных исков к страховой компании
Реннер А.Г., к.т.н., доцент, Яркова О.Н., к.э.н., доцент
Одной из основных задач, стоящих перед исследователем надежности функционирования страховой компании (СК) является задача определения закона распределения суммарного иска, позволяющего формировать тарифную политику, решать задачу нахождения такой характеристики процесса риска как вероятность разорения (неразорения) в виде функции от начального капитала, а в случае инвестирования собственных средств функции от дохода безрискового актива, рискового актива и волатильности рискового актива. Знание такого закона распределения необходимо и при формировании оптимального инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения СК [1].
Рассмотрим подходы к решению задачи в рамках модели индивидуального риска, причем изменение стоимости денег со временем не рассматривается, по той причине, что речь будет идти о коротких временных промежутках. Кроме того будем обсуждать только закрытые модели в которых число страховых единиц «n» известно и фиксировано в начале рассматриваемого интервала времени. В модели индивидуального риска иски к страховой организации представляются как сумма исков множества отдельных страхователей. Иски для отдельных лиц обычно предполагаются независимыми. Для двух дискретных неотрицательных случайных величин (исков) функция распределения случайной величины (СВ) будет равна:
распределение суммарный иск аппроксимация
, (1)
а распределение вероятностей имеет вид:
, (2)
где - функция распределения случайной величины ;
- распределение вероятностей случайной величины .
Для непрерывных неотрицательных случайных величин и :
, (3)
, (4)
где - плотность распределения вероятностей случайной величины .
Если одна из СВ или , или обе, являются СВ смешанного типа, то целесообразно перейти к обобщенным плотностям распределения и пользоваться выражением (4). Известно, что операции, описываемые формулами (2) и (4) называются свертками и и обозначается . Казалось бы вопрос о нахождении для случая решен, но операция свертки - простая по определению, чаще всего громоздка в вычислительном плане.
Одним из выходов в такой ситуации является аппроксимация распределения совокупных исков нормальными распределениями, на основе центральной предельной теоремы, но:
1) при этом предъявляются достаточно высокие требования к числу страховых единиц «n»;
2) предельное нормальное распределение чувствительно к большим совокупным искам.
Наиболее общим подходом, пригодным как в модели индивидуального риска так и в модели коллективного риска, на наш взгляд является аппроксимация плотности распределения совокупного иска на заданном отрезке отрезком обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных функций , которая является полной в . Известно [2], что к таким системам относятся:
- основная тригонометрическая система функций: 1, , , , ,… являющаяся ортогональной на отрезке с весом ;
- тригонометрическая система общего вида: 1, , , , ,… являющаяся ортогональной на отрезке где с весом ;
- многочлены Чебышева первого рода , определяемые рекуррентным соотношением:
являющиеся ортогональной на отрезке с весом ;
- многочлены Чебышева второго рода , определяемые рекуррентным соотношением:
являющиеся ортогональной на отрезке с весом ;
и т.д.
В реальных задачах используются и другие системы ортогональных функций: многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, многочлены Лагерра, функции Хаара и другие, являющиеся полными системами. А поскольку в всякая полная ортогональная система функций является замкнутой, т.е. всякая функция представляется обобщенным рядом Фурье по такой системе
,
где ,
а в качестве приближения для можно взять отрезок обобщенного ряда
,
где в силу минимального свойства коэффициентов Фурье следует положить .
Заметим, что если функция определена на отрезке , а система ортогональных функций на отрезке , то следует привести их единому множеству с помощью замены:
В заключении отметим, что на основе описанного подхода строится аппроксимация Бауэра гамма-функций, аппроксимация Грама-Шарлье, аппроксимация Эджворта, аппроксимация Экшера[2].
В моделях коллективного риска аналитическая аппроксимация распределения совокупного иска строится в виде гамма-распределений в зависимости от характера распределения входного потока исков[3].
Отметим так же, что во всех случаях с аппроксимациями совокупного иска остается проблема с тяжелыми хвостами [4].
Список литературы
1. Яркова О.Н. Моделирование инвестиционного портфеля страховой компании в статике и динамике: монография / О.Н. Яркова, А.Г. Реннер, А.И. Буреш, под редакцией Реннера А.Г. - Самара: Изд-во СамНЦ РАН. - 2014. -207 с.
2. Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике: Учеб. пособие. -- М.: Финансы и статистика, 2004. -240 с:
3. Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков: Учеб. пособие: В 2 ч. Ч. 2. Риски страхования. - Мн.: БГУ, 2001. - 293 с.
4. Маслов О.Н. Моделирование вероятностных распределений с «тяжелыми хвостами» / Информационные технологии. - Том 9. - № 1. - 2011. - С. 8-15.