Парадокс Берри. Образуем класс w, состоящий из таких х, которые обладают свойством р, выраженным следующей фразой: "Наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами" (строго говоря, в оригинальном тексте Рассела речь идет о наименьшем целом числе, которое не может быть поименовано фразой, состоящей из менее чем девятнадцати слогов английского языка [8. P. 223]. И Рассел даже называет это конкретное число - 111 777. Но привести надлежащую формулировку на русском языке, точно соответствующую примеру Рассела, весьма затруднительно. И здесь переводчик работы Рассела - В.А. Суровцев - нашел оптимальное решение, он представил собственную формулировку на русском языке, сохраняя при этом саму суть парадоксальной ситуации). Очевидно, что под х может подразумеваться только один-единственный специфический элемент е, а именно наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами. Однако когда мы пытаемся ответить на вопрос, попадает ли данный элемент е в класс w, то приходим к противоречию. С одной стороны, е обладает свойством быть наименьшим целым числом, не именуемым менее чем десятью словами, а значит, попадает в w, с другой стороны, элемент е обозначается при помощи фразы "Наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами", которая содержит девять слов русского языка, а значит, е не обладает свойством р и, следовательно, не попадает в w.
Парадокс наименьшего неопределимого ординала. Существуют неопределимые ординалы. Среди этих ординалов имеется наименьший. Следовательно, существует наименьший неопределимый ординал. Однако этот ординал определяется с помощью выражения "наименьший неопределимый ординал". Следовательно, данный ординал является определимым.
В структуру Рассела данный парадокс может быть вписан следующим образом:
х - ординалы;
р - свойство быть наименьшим неопределимым ординалом;
w - класс ординалов, которым присуще свойство р;
е - наименьший неопределимый ординал;
е принадлежит х;
е и принадлежит, и не принадлежит w.
Парадокс Ришара. Здесь рассматривается класс десятичных дробей, которые могут быть определены за конечное число слов. Затем вводится определение такой дроби, которая не будет попадать в этот класс. Вместе с тем утверждается, что само определение такой дроби дается за конечное число слов. Отсюда делается вывод, что данная дробь и попадает в класс десятичных дробей, которые могут быть определены за конечное число слов, и не попадает.
Рассел пишет: "Парадокс Ришара родствен парадоксу о наименьшем неопределимом ординале" [1. С. 23]. Данное родство действительно можно заметить, но только при том условии, если мы произведем определенную инверсию парадокса Ришара и начнем его формулировку с рассмотрения класса десятичных дробей, которые не могут быть определены за конечное число слов. Определим конкретный элемент данного класса при помощи выражения "Дробь, которая не может быть определена за конечное число слов". При этом указанное выражение, очевидно, имеет конечное число слов. Следовательно, рассматриваемая дробь и может, и не может быть определена за конечное число слов.
В такой "инверсионной" формулировке парадокс Ришара соответствует структуре Рассела аналогично тому, как соответствует этой структуре парадокс наименьшего неопределимого ординала, а именно:
х - дроби;
р - свойство быть дробью, которая не определяется за конечное число слов;
м> - класс дробей, которым присуще свойство р;
е - дробь, которая не определяется за конечное число слов;
е принадлежит х;
е и принадлежит, и не принадлежит м>.
Парадокс Греллинга. Все прилагательные можно разделить на два типа - гетерологические и автологические. Гетерологическим называется такое прилагательное, которое обозначает свойство, не присущее ему самому. Например, слово "сладкое" само не является сладким. Автологическим называется такое прилагательное, которое обозначает свойство, присущее ему самому. Например, слово "русское" само русское.
Поставим вопрос относительно слова "гетерологическое". Это слово является автологическим или гетерологическим? Если оно автологическое, то ему присуще свойство, которое оно выражает, а значит, оно гетерологическое. Если оно гетерологическое, то ему не присуще свойство, которое оно выражает, а значит, оно не является гетерологическим и, как следствие, является автологическим. С какой бы посылки мы ни начинали, получаем противоречие.
Парадокс Греллинга вписывается в структуру Рассела следующим образом. Образуем класс м>, состоящий из прилагательных х, которым присуще свойство р - быть гетерологическим. Однако при формулировке р возникает новый специфический элемент е - слово "гетерологическое". Об элементе е можно однозначно сказать, что он принадлежит х, поскольку е - прилагательное. Однако об элементе е нельзя однозначно сказать, принадлежит он м> или не принадлежит.
Парадокс Смаллиана. В качестве развития расселовско-рамсеевской проблематики парадоксов можно рассмотреть парадокс, сформулированный в логике второй половины ХХ в. Р. Смаллианом. Данный парадокс формулируется в виде следующего вопроса: "Будет ли правильным ответом на данный вопрос ответ `нет'?" Если ответить утвердительно, то из этого будет следовать отрицательный ответ. Если ответить отрицательно, то в соответствии с принципом двойного отрицания отсюда будет следовать утвердительный ответ. Любой вариант ответа на данный вопрос порождает противоречие.
Парадокс Смаллиана также можно вписать в структуру Рассела. Будем собирать в класс м> вопросы х, но только такие, которым присуще свойство р - быть вопросом, правильный ответ на который "нет". Например, вопрос "2 + 2 = 5?" попадет в данный класс, тогда как вопрос "2 + 2 = 4?" не попадет. При последовательном наполнении класса м> мы обнаруживаем специфический элемент е, который определенным образом связан с формулировкой свойства р. Этот элемент е представляет собой вопрос: "Будет ли правильным ответом на данный вопрос ответ `нет'?" Очевидно, что элемент е принадлежит х, ибо также является вопросом. Вместе с тем об элементе е нельзя сказать, не впадая в противоречие, принадлежит ли он м> или не принадлежит.
Решение парадоксов
Важным аргументом в пользу тезиса Г. Приста о том, что по проблеме парадоксов следует признать правомерной позицию Рассела, представлявшего все парадоксы как подобные друг другу, является аргумент о единообразном способе решения парадоксов. Г. Прист говорит о принципе единого решения [4. Р. 32] и указывает на то, что этот принцип должен состоять в обходе схемы Рассела. В самом деле, если все рассмотренные парадоксы имеют единообразную структуру, то и преодолеть их можно единообразно, разрушив эту структуру. В нашей терминологии мы будем говорить о блокировке структуры Рассела.
Само собой, данный способ решения парадоксов сформулирован впервые не Г. Пристом и тем более не В. Ладовым. Он сформулирован самим Б. Расселом. В работе "Математическая логика, основанная на теории типов" Рассел называет основанием парадоксов явление самореферентности [1. С. 18]. Соответственно, решение парадоксов он видит в запрете на саморефе- рентность, на котором и строится теория типов как основание новой логики, свободной от парадоксов.
Если посмотреть на ту Структуру парадоксов, которая представлена выше, то становится понятным, что самореферентность всегда присуща специфическому элементу е. Соответственно, и преодоление парадоксов, следуя мысли Рассела, должно состоять в запрете на образование данного элемента. Именно таким образом будет осуществляться блокировка Структуры Рассела. Ниже кратко рассмотрим, как проявляется самореферентность в элементе е во всех обсуждаемых парадоксах и как этот элемент устраняется в каждом конкретном случае преодоления парадоксов.
В парадоксе Рассела элемент е содержит самореферентость, поскольку в качестве е выступает класс w, который содержит себя самого. Соответственно, преодоление парадокса состоит в запрете на образование класса м> (т.е. запрет на образование элемента е).
В парадоксе отношения элемент е содержит самореферентность, поскольку здесь ставится вопрос об отношении специфического отношения к себе самому. Преодоление парадокса состоит в том, что данный вопрос объявляется бессмысленным (т.е. элемент е не разрешается вводить в рассуждение).
В парадоксе Бурали-Форти элемент е содержит самореферентность, поскольку в качестве е выступает ординал множества всех ординалов, который должен сам оказаться внутри этого множества. Преодоление парадокса состоит в объявлении бессмысленности понятия наибольшего ординала (т.е. элемент е не разрешается вводить в рассуждение).
В парадоксе Лжеца элемент е содержит самореферентость, поскольку представляет собой специфическое высказывание, которое говорит о себе самом. Преодоление парадокса состоит в запрете на продуцирование такого высказывания, логический субъект которого представляет собой само это высказывание (т.е. запрет на образование элемента е).
В парадоксе Берри элемент е содержит самореферентость, поскольку является числом, которое обладает свойством 51, а также свойством 52, представляющим собой описание свойства 51. В данном случае преодоление парадокса состоит в запрете смешения свойства и его описания, представленного как свойство, в одном объекте (т.е. в запрете на образование элемента е, в котором смешиваются свойство и описание этого свойства).
В парадоксе наименьшего неопределимого ординала элемент е содержит самореферентость по той же причине, что и в парадоксе Берри, а именно он является ординалом, который обладает свойством 51, а также свойством 52, представляющим собой описание свойства 51.
В парадоксе Ришара имеет место ситуация, аналогичная той, что зафиксирована в парадоксе Берри и парадоксе наименьшего неопределимого ординала.
В парадоксе Греллинга элемент е содержит самореферентность, поскольку он представляет собой прилагательное, которое обладает тем самым свойством, которое выражает. Преодоление парадокса состоит в запрете на образование объектов, при формировании которых смешиваются понятия выражать свойство и обладать свойством (т.е. запрет на образование элемента е).
В парадоксе Смаллиана элемент е содержит самореферентость, поскольку он представляет собой вопрос, содержание которого касается самого этого вопроса. Преодоление парадокса может быть представлено как объявление данного рода вопросов бессмысленными (т.е. элемент е не разрешается вводить в рассуждение).
Выводы
Проведенные в данной статье исследования позволяют сделать следующие выводы.
1. Утверждения о том, что все парадоксы подобны (Рассел) и что они не являются подобными (Рамсей), не противоречат друг другу, ибо признак подобия здесь рассматривается в разных отношениях. Все парадоксы подобны по своей структуре и способу их решения, но они могут быть представлены как различные по своей природе, по тому основанию, на котором они возникают.
2. Значение работы Г. Приста в том, что по проблеме парадоксов он возвращает нас к Расселу, преодолевая общепринятое мнение, что Рамсей правомерно переформулировал проблему парадоксов. Парадоксы действительно имеют общую структуру (схему - в терминологии Приста) и могут рассматриваться унифицированно.
3. Тем не менее Прист все же не прав в том, что возвращение к Расселу ведет к отрицанию классификации Рамсея. Несмотря на общую структуру, парадоксы могут иметь различную природу, а значит, идеи Рамсея не должны быть отвергнуты.
Литература
1. Рассел Б. Математическая логика, основанная на теории типов // Логика, онтология, язык. Томск, 2006. С. 16-62.
2. Рамсей Ф.П. Основания математики // Философские работы. М. : Канон+, 2011. С. 1656.
3. Peano G. Rivisita di Matematica, 1906. № 8.
4. Priest G. The Structure of the Paradoxes of Self-Reference // Mind. 1994. Vol. 103, № 409. P. 25-34.
5. Tarski A. The Concept of Truth in Formalized Languages // Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford : Oxford University Press, 1956. P. 152-278.
6. FloridiL. Philosophy of Information. Oxford : Oxford University Press, 2011.
7. Landini G. Wittgenstein's Apprenticeship with Russell. Cambridge : Cambridge University Press, 2007.
8. Russell B. Mathematical Logic as Based on the Theory of Types // American Journal of Mathematics. 1908. Vol. 30, № 3. P. 222-262.
References
1. Russell, B. (2006) Matematicheskaya logika, osnovannaya na teorii tipov [Mathematical Logic as Based on the Theory of Types]. Translated from English by V.A. Surovtsev. In: Surovtsev, V.A. (ed.) Logika, ontologiya, yazyk [Logic, Ontology, Language]. Tomsk: Tomsk State University. pp. 16-62.
2. Ramsey, F.P. (2011) Filosofskie raboty [Philosophical papers]. Translated from English by V.A. Surovtsev. Moscow: Kanon+. pp. 16-56.
3. Peano, G. (1906) Rivisita diMatematica. 8.
4. Priest, G. (1994) The Structure of the Paradoxes of Self-Reference. Mind. 103(409). pp. 2534. DOI: 10.1093/mind/103.409.25
5. Tarski, A. (1956) The Concept of Truth in Formalized Languages. In: Tarski, A. (ed.) Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford: Oxford University Press. pp. 152-278.
6. Floridi, L. (2011) Philosophy of Information. Oxford: Oxford University Press.
7. Landini, G. (2007) Wittgenstein's Apprenticeship with Russell. Cambridge: Cambridge University Press. Russell, B. (1908) Mathematical Logic as Based on the Theory of Types. American Journal of Mathematics. 30(3). pp. 222-262.