Материал: Билеты 2019-2020 ИТАЭ

1.Дайте определение самосопряжённого оператора. Найдите оператор, сопряжённый оператору дифференцирования по координате. Сформулируйте (не доказывая) теорему о собственных значениях самосопряжённых операторов. Почему динамические переменные микрообъектов представляются в математическом аппарате квантовой механики только самосопряжёнными операторами?

2.Вычислите коэффициенты прохождения через барьер и отражения от барьера микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

( 1 0 ), и постройте графики зависимостей найденных коэффициентов от энергии Е микрочастицы.

3. Выведите коммутационное соотношение между операторами квадрата и проекции момента импульса

1.Докажите теоремы о собственных функциях и собственных значениях самосопряжённых операторов. Какое значение имеют эти теоремы для математического аппарата квантовой механики? Что подразумевается под полнотой системы собственных функций?

2.Найдите собственные функции l,v (r) и собственные значения энергии радиального уравнения, определяющего стационарные волновые функции ul,ml ,v (r, , ) и энергетические уровни El,v атома водорода и водородоподобных ионов.

3.Докажите первую теорему Эренфеста

используя динамическое уравнение Гайзенберга.

1. Покажите, как разложить волновую функцию микросистемы по собственным функциям оператора, представляющего какую–либо динамическую переменную этой микросистемы и обладающего дискретным спектром собственных значений. Какие характеристики результатов измерений этой динамической переменной можно предсказать, зная коэффициенты разложения и собственные значения оператора?

2. Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

используя динамическое уравнение Гайзенберга.

1. Выведите динамическое уравнение В. Гайзенберга и докажите теоремы П. Эренфеста, используя это уравнение, а также коммутационные соотношения между операторами координаты и импульса и оператором Гамильтона микрочастицы.

2. Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

1. Докажите теорему В. Гайзенберга и необходимые для этого вспомогательные соотношения. Докажите следствие из теоремы В. Гайзенберга. Покажите, как отсюда следуют соотношения неопределённостей для динамических переменных. Выведите соотношения неопределённостей для координат и импульсов.

2. Вычислите коэффициенты прохождения через барьер и отражения от барьера микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

( 1 0 ), и постройте графики зависимостей найденных коэффициентов от энергии Е микрочастицы.

1.Докажите теоремы о собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов. Какое значение эти теоремы имеют для математического аппарата квантовой механики? Используя эти теоремы, объясните, почему физические величины, представляемые коммутирующими операторами, одновременно имеют определённые значения, а представляемые некоммутирующими операторами — лишь в порядке исключения? Как это согласуется с теоремой В. Гайзенберга? Приведите примеры.

2.Найдите собственные функции l,v (r) и собственные значения энергии радиального уравнения, определяющего стационарные волновые функции ul,ml ,v (r, , ) и энергетические уровни El,v атома водорода и водородоподобных ионов.

3.Докажите, что оператор импульса pˆ x — самосопряжённый.

1.Докажите, что в классической механике момент импульса является интегралом движения материальной точки в поле центральной силы. Используя принцип соответствия Н. Бора, дайте определения операторов проекций и квадрата момента импульса в квантовой механике. Покажите, как вывести коммутационные соотношения между ними. Что можно сказать, исходя из этих соотношений, о существовании состояний микрочастицы в центральном поле, в которых рассматриваемые динамические переменные могут одновременно иметь определённые значения?

2.Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

3. Докажите, что операторы координаты xˆ — самосопряжённый.

1.Опишите (без вывода) решения уравнений на собственные функции и собственные значения операторов проекций и квадрата момента импульса. Какими значениями абсолютной величины и проекций момента импульса может обладать микрочастица, находящаяся в поле центральной силы? Азимутальное (вращательное) и магнитное квантовые числа. В каком смысле можно говорить о сохранении момента импульса квантовой микрочастицы? В чём различия закона сохранения момента импульса в квантовой и классической механике?

2.Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие

энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией