Материал: Билеты 2019-2020 ИТАЭ

1.Опишите классическую картину мира. Прокомментируйте основные экспериментальные факты, которые входят в неразрешимые противоречия с фундаментальными положениями классической физики и потребовали для своего объяснения создания квантовой физики.

2.Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

3. Докажите, что оператор импульса pˆ x — самосопряжённый.

1.Концепция корпускулярно–волнового дуализма микрообъектов Л. де Бройля, принцип неопределённостей В. Гайзенберга и вероятностное описание динамического поведения микросистем (М. Борн) как методологическая основа квантовой физики. Сформулируйте условия, при которых динамическое поведение системы может быть с достаточной точностью описано на основе классической физики и когда, напротив, для адекватного описания совершенно необходим учёт квантовых эффектов.

2.Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

( 1 0 ; E 1 ).

3. Докажите, что операторы координаты xˆ — самосопряжённый.

1.Волновая функция микрочастицы и системы микрочастиц. Можно ли установить траекторию микрочастицы, если известна её волновая функция? Описывает ли волновая функция волновой процесс распространения микрочастицы? Нормировка волновой функции. Как, используя волновую функцию, выполнить вероятностные предсказания динамических характеристик микрочастицы?

2.Вычислите волновые функции un (x) и энергетические уровни En микрочастицы массы m с одной степенью свободы, находящейся в стационарных связанных состояниях в поле силы

(x) 0 12 ax2 .

3. Покажите, что собственные функции оператора Гамильтона микрочастицы, находящейся в стационарном состоянии в поле силы

которые принадлежат разным собственным значениям этого оператора, ортогональны.

1.Какой фундаментальный закон сохранения выполняется для стационарных состояний микрочастицы и системы микрочастиц в соответствии с классической физикой? Остаётся ли он справедливым в квантовой механике? Как найти волновую функцию микросистемы, находящейся в стационарном состоянии? Какова характерная особенность квантовых стационарных состояний?

2.Вычислите волновые функции стационарных состояний и энергетические уровни микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

3. Вычислите среднее значение координаты микрочастицы, находящейся в стационарном состоянии в поле силы

1.Опишите типичные особенности решений одномерных квантовых задач о стационарных связанных состояниях микрочастицы (существование нетривиальных решений уравнения Шредингера, характер энергетического спектра, поведение волновых функций и их нормировка) и сравните результаты этих решений с классической картиной финитного движения материальной точки.

2.Вычислите коэффициенты прохождения через барьер и отражения от барьера микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

( 1 0 ), и постройте графики зависимостей найденных коэффициентов от энергии Е микрочастицы.

3. Вычислите среднее значение импульса микрочастицы, находящейся в стационарном состоянии в поле силы

1.Линейные операторы как представители динамических переменных микрочастиц и микросистем в квантовой механике. Собственные функции и собственные значения операторов в математическом аппарате квантовой механики и их физический смысл.

2.Найдите собственные функции l,v (r) и собственные значения радиального уравнения, определяющего стационарные волновые функции ul,ml ,v (r, , ) и энергетические уровни El,v атома водорода и водородоподобных ионов.

1.Найдите вид собственных функций оператора импульса микрочастицы с одной степенью свободы в одномерном случае, исходя из общих принципов квантовой механики. Установите вид оператора импульса.

2.Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

1.Обобщите построение вида оператора импульса и его собственных волновых функций для одной степени свободы микрочастицы на трёхмерный случай.

2.Вычислите волновые функции стационарных связанных состояний un (x) и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

( 1 0 ; E 1 ).

3. Выведите и прокомментируйте соотношение неопределённостей между энергией и импульсом микрочастицы с одной степенью свободы:

1.Используя принцип соответствия Н. Бора и предполагая, что операторы координаты и импульса и их свойства известны, установите вид оператора Гамильтона микрочастицы с одной и тремя степенями свободы. Покажите, что собственными функциями этого оператора являются решения стационарного уравнения Э. Шредингера.

2.Вычислите волновые функции un (x) и энергетические уровни En микрочастицы массы m с одной степенью свободы, находящейся в стационарных связанных состояниях в поле силы

(x) 0 12 ax2 .

3. Выведите и прокомментируйте соотношение неопределённостей между энергией и координатой микрочастицы с одной степенью свободы:

1.Опишите типичные особенности решений квантовых задач о стационарных состояниях рассеяния микрочастицы на одномерных потенциальных барьерах (существование нетривиальных решений уравнения Шредингера, характер энергетического спектра, поведение волновых функций и их нормировка, туннельный эффект, надбарьерное отражение) и сравните результаты этих решений с классической картиной инфинитного движения материальной точки. Дайте определения коэффициентов отражения частицы от барьера и её прохождения через барьер (прозрачности барьера).

2.Вычислите волновые функции стационарных состояний и энергетические уровни микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

3. Выведите коммутационное соотношение между операторами проекций момента импульса

ˆ ˆ ˆ . [M x , M y ] i M z