Лекция: Цепи однофазного переменного тока

ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Лекция №4

Вопросы:

1. Способы представления переменного тока

2. Определение схем замещения по заданным векторным диаграммам токов и напряжений.

- цепь, содержащая резистор и катушку

- цепь, содержащая резистор и конденсатор

- цепь, последовательного соединения резистора, конденсатора и катушки

3. Расчёт электрического состояния цепи с последовательным соединением элементов резистор, конденсатор и катушка

4. Расчёт цепи с параллельным соединением элементов R, L, C

5. Мощность цепи синусоидального тока

6. Коэффициент мощности и пути его улучшения

переменный ток цепь последовательный синусоидальный

Однофазная цепь - это цепь, к которой подключена одна из фаз нейтрали.

I. Способы представления переменного синусоидального тока и напряжения.

1. Аналитический:

где - мгновенное значение тока; - максимальное (амплитудное) значение тока (рис. 2.2); - угловая частота; - начальная фаза.

2. Символьный: - комплекс - . С математической точки зрения U - модуль вектора или комплекса, с физической точки зрения - это действующее значение напряжения, которое можно измерить вольтметром.

3. Векторная форма

Как известно из математики, синусоидальная функция аргумента определяется как проекция радиуса единичной длины на ось ординат, если этот радиус поворачивается против часовой стрелки на радиан. Синусоидальному току соответствует непрерывное вращение радиуса длиной с угловой скоростью против часовой стрелки. Синусоида в координатной плоскости () изображается (рис. 2.4) вращающимся вектором в декартовой системе (). Под углом , отсчитываемым от положительного направления оси абсцисс , строится вектор . Положительные начальные фазы при построении откладывают от оси против вращения часовой стрелки, отрицательные - по часовой стрелке. Проекция вектора на ось у в момент времени = 0 равна мгновенному значению тока . Пусть, начиная с момента = 0, вектор вращается вокруг начала координат 0 с постоянной угловой скоростью в положительном направлении (против движения часовой стрелки). К моменту времени вектор повернется относительно оси на угол , и его проекция на ось будет равна мгновенному значению функции . Таким образом, проекция вращающегося с угловой скоростью вектора на ось ординат в любой момент времени равна мгновенному значению синусоидальной функции в этот момент времени.

Рис. 2.4

При представлении синусоидальной функции вращающимся вектором достаточно изобразить его в координатах только в начальный момент времени (рис. 2.5). Этот вектор представляет или отображает синусоиду, т.е. дает информацию о двух ее параметрах - амплитуде и начальной фазе . Векторы, изображающие синусоидальные функции, лишены физического содержания и имеют совсем другой смысл, чем векторы, определяющие модуль и направление физических величин в точке. Задача суммирования (вычитания) синусоид упрощается, если изобразить их векторами на плоскости, и сводится к операции сложения (вычитания) векторов, изображающих эти функции. В качестве примера рассмотрим сложение двух токов:

и .

На рис.2.5 токи и изображены в виде векторов на плоскости. Вектор, модуль которого равен , расположенный под углом к оси , является суммой этих векторов и изображает суммарную синусоиду

При расчетах электрических цепей синусоидального тока обычно оперируют не мгновенными, а действующими значениями токов и ЭДС. Поэтому складывают не векторы амплитуд, а векторы действующих значений.

II. Определение схем замещения по заданным векторным диаграммам токов и напряжений.

1. Резистор в цепи синусоидального тока

Если синусоидальное напряжение (рис. 2.6 а) подключить к резистору с сопротивлением , то через него будет протекать синусоидальный ток

(2.7)

Следовательно, напряжение на зажимах и ток, проходящий через резистор, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе - они одновременно достигают своих амплитудных значений и соответственно одновременно проходят через нуль (рис. 2.6 б, в).

Разность начальных фаз двух синусоид называют углом сдвига фаз. В данном случае угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю

. (2.8)

Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома

; .

Рис. 2.6

Протекание тока через резистор сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Мгновенная мощность, потребляемая резистором

, (2.9)

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока. Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и составляющую , изменяющуюся с частотой (рис. 2.6 г). Так как и совпадают по фазе, т.е. всегда имеют одинаковый знак, то их произведение всегда положительно, следовательно, > 0.

Среднее значение мгновенной мощности за период

(2.10)

называется активной мощностью и измеряется в ваттах. В данном случае активная мощность

. (2.11)

Отсюда активное сопротивление

. (2.12)

Известно, что сопротивление проводника переменному току больше, чем постоянному, вследствие явления поверхностного эффекта.

2. Индуктивная катушка в цепи синусоидального тока

Индуктивная катушка как элемент схемы замещения реальной цепи синусоидального тока дает возможность учитывать при расчете явление самоиндукции и явление накопления энергии в ее магнитном поле. Пусть в цепь переменного тока (рис 2.7 а) включена катушка с бесконечно малым сопротивлением провода = 0. Непрерывное во времени изменение тока вызывает появление в витках катушки ЭДС самоиндукции. В соответствии с правилом Ленца эта ЭДС противодействует изменению тока.

Допустим, ток через катушку изменяется по закону

.

В этом случае ЭДС самоиндукции

.

Поэтому напряжение на катушке

Сравнивая формулы (2.13) и (2.15), можно сделать вывод о том, что напряжение на катушке опережает ток на угол или ток отстает от напряжения по фазе на угол (рис 2.7 б). Угол сдвига фаз в этом случае положительный (рис. 2.7 в) .

Параметр цепи - индуктивное сопротивление, имеющее размерность Ом. Оно зависит от частоты и представляет собой величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Из анализа (2.14) видно, что амплитуды напряжения и тока связаны законом Ома:

.

Аналогично для действующих значений

.

Мгновенная мощность цепи с катушкой

. (2.16)

Из графика (рис 2.7 г), построенного по уравнению (2.16), видно, что за первую четверть периода, когда > 0 и > 0, площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, пропорциональна энергии, потребляемой катушкой на создание магнитного поля. Во вторую четверть периода (ток убывает от максимума до нуля) энергия магнитного поля катушки передается источнику питания. При этом мгновенная мощность отрицательна, а процесс повторяется. Таким образом, происходит колебание энергии между источником и катушкой, причем активная мощность, поступающая в катушку, равна нулю. Амплитуду колебания мгновенной мощности в цепи с катушкой называют реактивной (индуктивной) мощностью

.

Реактивную мощность в отличие от активной мощности измеряют в вар (вольт-ампер реактивный).

3. Конденсатор в цепи синусоидального тока

Включение конденсатора в цепь переменного тока не вызывает разрыва цепи, так как ток в цепи все время поддерживается за счет заряда и разряда конденсатора. Пусть напряжение (рис. 2.8 а)

.

Тогда

Формула (2.17) показывает, что ток опережает приложенное напряжение на угол (рис. 2.8 б, в). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные значения напряжения. Физически это объясняется тем, что при достижении электрическим зарядом и соответственно напряжением максимального значения ток становится равным нулю.

Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т.е.

.

Таким образом, в отличие от цепи с катушкой, где , угол сдвига фаз в цепи с конденсатором отрицателен.

Из (2.17) видно, что амплитуды тока и напряжения связаны законом Ома

,

где - емкостное сопротивление, имеющее размерность Ом.

Мгновенная мощность, поступающая в конденсатор

,

колеблется синусоидально с угловой частотой 2, имея амплитуду, равную (рис. 2.8 г). Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле конденсатора, затем возвращается источнику при исчезновении электрического поля. Таким образом, здесь, как и в цепи с катушкой, происходит колебание энергии между источником и конденсатором, причем активная мощность = 0. Амплитуду колебания мощности в цепи с конденсатором называют реактивной (емкостной) мощностью

Анализ цепей синусоидального тока с помощью векторных диаграмм

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты и построенных на плоскости с соблюдением их ориентации друг относительно друга, называют векторной диаграммой. Векторные диаграммы широко применяются при анализе режимов работы цепей синусоидального тока, что делает расчет цепи наглядным.

Цепь, содержащая резистор и индуктивную катушку

Реальная катушка в цепи переменного тока представляет сочетание активной и индуктивной составляющих сопротивления. Схема замещения индуктивной катушки представлена на рис 2.9 а. Пусть по катушке протекает ток .

Рис. 2.9

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенных значений

, (2.18)

где - напряжение на активном сопротивлении; - напряжение на индуктивном сопротивлении.

Для действующих значений уравнение (2.18) можно записать

. (2.19)

Построим векторную диаграмму в соответствии с (2.19) в такой последовательности. Изобразим вектор тока (основной вектор) на координатной плоскости - (рис. 2.9 б). Затем строим вектор напряжения на активной составляющей сопротивления . Он совпадает по фазе с током. Вектор напряжения опережает вектор тока на 90°. Сумма двух векторов дает вектор напряжения источника, который опережает вектор тока на угол . Из векторной диаграммы следует

отсюда

, . (2.20)

где z - полное сопротивление цепи R, L.

Треугольник ОАВ (рис. 2.9 б) назовем треугольником напряжений. Составляющая напряжения, находящаяся в фазе с током, называется активной составляющей напряжения

. (2.21)

Составляющая напряжения, перпендикулярная вектору тока, называется реактивной составляющей напряжения

. (2.22)

Если стороны треугольника напряжений (рис. 2.9 б) разделить на действующее значение тока, то получим треугольник сопротивлений (рис. 2.9 в). Из треугольника сопротивлений получают соотношения для угла сдвига фаз, а также связь между параметрами цепи

;(2.23)

Цепь имеет индуктивный характер, если 0<<. Крайние значения = 0 и = соответствуют чисто активной и чисто индуктивному характеру нагрузки.

Цепь, содержащая резистор и конденсатор

Напряжение на входе цепи (рис. 2.10 а) согласно второму закону Кирхгофа для действующих значений определяется по уравнению

. (2.24)

Рис. 2.10

Построим векторную диаграмму, полагая, что в цепи протекает ток и < 0. Вектор тока откладываем под углом к оси в отрицательном направлении - по часовой стрелке (рис. 2.10 б). Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, а вектор напряжения на конденсаторе отстает от вектора тока на 90°. При сложении двух векторов согласно уравнению (2.24) получим вектор напряжения источника (рис. 2.10 б). Из векторной диаграммы

, (2.25)

где - полное сопротивление цепи .

Вектор напряжения источника отстает от вектора тока на угол , поэтому говорят, что цепь носит емкостный характер (- 90°< <0).

Для треугольника напряжений (рис. 2.10 б) и треугольника сопротивлений (рис. 2.10 в) можно записать соотношения, аналогичные (2.20), (2.21) и (2.23).

Последовательное соединение резистора, катушки и конденсатора

При протекании синусоидального тока по цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов (рис. 2.11 а), на ее зажимах создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

.

Для действующих значений это уравнение имеет вид

.

Построим векторную диаграмму с учетом известных фазовых соотношений (рис. 2.11 б). Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, на конденсаторе он отстает от вектора тока на 90°, а на катушке опережает вектор тока на 90°. Сумма этих векторов напряжения на элементах цепи, даст вектор напряжения источника.