Рис. 2.11
Из векторной диаграммы определяем входное напряжение
откуда ток и полное сопротивление
, (2.26)
где - разность индуктивного и емкостного сопротивлений, называемая реактивным сопротивлением.
Сдвиг фаз определим из треугольника напряжений или сопротивлений:
.
Если , т.е. > 0, то цепь имеет индуктивный характер. В этом случае (рис. 2.11 б), а сдвиг фаз > 0. Если , т.е. < 0, то цепь имеет емкостный характер и сдвиг фаз < 0 (рис. 2.11 в). Таким образом, реактивное сопротивление может быть положительным ( > 0) и отрицательным ( < 0).
Особый случай цепи, когда , т.е. реактивное сопротивление . В этом случае цепь имеет чисто активный характер, а сдвиг фаз = 0. Такой режим называется резонансом напряжений.
Условием резонанса напряжений является
.
Эти условия показывает, что резонанс напряжений в цепи можно получить изменением частоты напряжения источника, или индуктивности катушки или емкости конденсатора.
Угловая частота, при которой в цепи наступает резонанс напряжений, называется резонансной угловой частотой
Полное сопротивление цепи минимальное и равно активному
Ток в цепи, очевидно, будет максимальным
Напряжение на резисторе равно напряжению источника: .
Резонанс напряжений, как правило, нежелателен в электроэнергетике, но широко применяется в радиотехнических устройствах, автоматике, телемеханике, связи, измерительной технике и др..
III. Расчёт электрического состояния цепи с последовательным соединением элементов L, R, C.
Рассмотрим цепь из трех последовательных токоприемников (рис. 2.12 а): первые два имеют активно-индуктивный характер, третий является последовательным соединением резистора и конденсатора. Проведем анализ цепи по векторной диаграмме. Произвольно строим вектор тока, который является базовым для всех векторов диаграммы. В соответствии со вторым законом Кирхгофа
,
где ; ; .
Рис. 2.12
Строим составляющие векторы, модули которых определяются по закону Ома. Суммарный вектор строим по правилу многоугольника. Векторы напряжений на активных сопротивлениях цепи совпадают по фазе с вектором тока, векторы опережают вектор тока на 90°, а вектор отстает от него на угол 90° (рис. 2.12 б). Действующее значение напряжения источника (модуль вектора ) по диаграмме находится из треугольника напряжений ОАВ
. (2.27)
В формуле (2.27) - активное сопротивление цепи, равное арифметической сумме сопротивлений последовательно включенных резисторов. В общем случае для последовательных приемников
.
является реактивным сопротивлением цепи, равным алгебраической сумме реактивных сопротивлений последовательно включенных элементов. В общем случае
В приведенной схеме сумма векторов индуктивных напряжений меньше вектора напряжения на конденсаторе, поэтому < 0. В таком случае говорят, что реактивное сопротивление (или цепь в целом) носит емкостный характер.
Для проверки проводим расчёт активной и реактивной мощности и полной мощности P, Q и S:
U=UI
IV. Расчёт цепи с параллельным соединением R, L, C элементов
Рис. 2.13
Рассмотрим цепь из двух параллельных ветвей (рис. 2.13 а). Допустим, что известны напряжение источника и параметры схемы. Нужно определить ток , потребляемый от источника, и угол сдвига на входе цепи. Для получения расчетных соотношений построим векторную диаграмму токов. Предварительно рассчитаем токи в параллельных ветвях и углы их сдвига относительно приложенного напряжения. У первой ветви характер нагрузки индуктивный, ток отстает от на угол
; ; .
У второй ветви характер нагрузки емкостный, вектор опережает на угол
; ; .
В качестве основного вектора принимаем вектор напряжения источника , являющегося общим для двух параллельных ветвей (рис. 2.13 б). Тогда относительно него нетрудно сориентировать векторы токов .
При выборе направления тока второй ветви угол откладываем от вектора в направлении, параллельном вектору , поскольку начала этих векторов не совмещены. В соответствии с первым законом Кирхгофа () определяем входной ток. В дальнейшем все расчетные соотношения получим из векторной диаграммы. Для этого представим каждый вектор проекциями на взаимноперпендикулярные оси. Проекцию вектора тока на вектор напряжения назовем активной составляющей тока , а перпендикулярную проекцию - реактивной составляющей . На диаграмме (рис. 2.13 б) эти составляющие показаны для всех векторов. Составляющие токи и физически не существуют и должны рассматриваться только как расчетные. По диаграмме активная составляющая входного тока определяется как сумма активных составляющих токов в параллельных ветвях
(2.28)
где - активная проводимость цепи, равная арифметической сумме активных проводимостей отдельных ветвей
где - активная проводимость -й ветви.
Только в частном случае, когда ветвь представляет собой чисто активное сопротивление .
Реактивная составляющая входного тока определяется как алгебраическая сумма реактивных составляющих токов в параллельных ветвях. Реактивную составляющую ветви с катушкой считают положительной, а с конденсатором - отрицательной. Знаки учитывают при подстановке соответствующих значений
(2.29)
где - реактивная составляющая проводимости цепи, равная алгебраической сумме реактивных проводимостей отдельных ветвей.
В общем случае
где - реактивная проводимость отдельной -й ветви,
. (2.30)
Если рассматриваемая ветвь чисто реактивная: , проводимость является обратной реактивному сопротивлению. Ток на входе цепи (см. векторную диаграмму на рис. 2.13 б) с учетом (2.28, 2.29)
(2.31)
где - полная проводимость цепи, равная геометрической сумме активной и реактивной проводимостей.
Угол сдвига фаз также определяется из векторной диаграммы. На рис. 2.14 а изображена векторная диаграмма входного тока , его составляющих и и напряжения источника . Треугольник, образованный вектором тока и его проекциями , и , называется треугольником токов (рис. 2.14 а). Если стороны этого треугольника разделить на напряжение , получится треугольник, подобный треугольнику токов - треугольник проводимостей. Он образован проводимостями , модули которых равны соответствующим проводимостям, а стороны совпадают с векторами , , треугольника токов (рис. 2.14 б).
Рис. 2.14
На рис. 2.14 в показан треугольник проводимостей при <0. Из него находим соотношения между параметрами и формулы для определения угла сдвига фаз
; ; ; ; ; . (2.32)
Чтобы учесть знак , следует использовать формулы тангенса и синуса.
В этой цепи, когда общий ток совпадает по фазе с напряжением, а входная реактивная проводимость или , может возникнуть явление резонанса. При противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны, поэтому резонанс в такой цепи получил название резонанса токов.
Пример. Определить действующее значение входного тока по известным токам в параллельных ветвях (риc. 2.15 а) = 3 A; = 1 A; = 5 A.
Решение находим по первому закону Кирхгофа
,
в соответствии, с которым строим векторную диаграмму.
Рис. 2.15
Направления трех слагаемых тока выбраны по отношению к вектору . Из диаграммы (рис. 2.16 б) определяем ток
А.
V. Мощность цепи синусоидального тока
Формулы для определения полной, активной и реактивной мощностей записаны раньше
Рассмотрим простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности по комплексным напряжению и току. Для этого умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока
(2.46)
Полученное значение называют комплексом полной мощности. Из (2.46) видно, что вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности, мнимая часть - реактивной:
(2.47)
Пример. Определить активную, реактивную и полную мощности, если мгновенные значения тока и напряжения заданы уравнениями
Решение. Запишем комплексы действующих значений напряжений и тока
Комплекс полной мощности
+
Таким образом, = 500 Вт, = 433 Вт, = 250 Вт
VI. Коэффициент мощности и пути его улучшения
Большинство современных потребителей электрической энергии имеют индуктивный характер нагрузки, токи которой отстают по фазе от напряжения источника. Активная мощность таких потребителей при заданных значениях тока и напряжения зависит от
Следовательно, повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока.
Если обозначить сопротивление проводов линии , то потери мощности в ней можно определить так:
Таким образом, чем выше потребителя, тем меньше потери мощности в линии и дешевле передача электроэнергии. Коэффициент мощности показывает, как используется номинальная мощность источника. Так, для питания приемника 1000 кВт при = 0,5 мощность генератора должна быть
кВА,
а при = 1 = 1000 кВА.
Следовательно, повышение увеличивает степень использования мощности генераторов. Чтобы повысить экономичность энергетических установок, принимают повышают - используют батареи конденсаторов, подключаемые параллельно индуктивной нагрузке (рис. 2.18 а).
Рис. 2.18
Емкость конденсатора, необходимую для повышения от существующего значения до требуемого , можно определить по диаграмме (рис. 2.18 б, в). При построении векторной диаграммы в качестве исходного вектора принят вектор напряжения источника. Если нагрузка представляет собой индуктивный характер, то вектор тока отстает от вектора напряжения на угол . Активная составляющая тока совпадает по направлению с напряжением, реактивная составляющая тока отстает от него на 90° (рис. 2.18 б).
После подключения к потребителю батареи конденсаторов ток определяется как геометрическая сумма векторов и . При этом вектор емкостного тока опережает вектор напряжения на 90° (рис. 2.18 в). Из векторной диаграммы видно, что , т.е. после включения конденсатора коэффициент мощности повышается от до .
Емкость конденсатора можно рассчитать при помощи векторной диаграммы токов (рис. 2.18 в)
Учитывая, что , запишем емкость конденсатора
На практике обычно коэффициент мощности повышают не до 1,0, а до 0,90...0,95, так как полная компенсация требует дополнительной установки конденсаторов, что часто экономически не оправдано.
Предприятия стремятся оплатить льготный тариф за электрическую энергию, для повышения cosц существуют естественный и искусственный пути.
Естественные пути:
1. Эксплуатировать силовые установки (двигатели, трансформаторы и другие) в номинальном режиме, которые используют максимум КПД и минимальные потери мощности.
2. Исключать режимы работ асинхронных двигателей и трансформаторов в холостом ходе, при которых cosц=0,17
Искусственные пути:
1. Для повышения cosц реальных установок применяют параллельное включение конденсаторов различных параллельных обмоток
2. Использование специальной машины, которая получила название асинхронного конденсатора.