Материал: Частина 2

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

					“Курс вищої математики. Частина 2.”
Проінтегрував,	отримуємо: ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu ,			а відповідно до приведених вище
властивостей невизначеного інтеграла:
	uv = ∫udv + ∫vdu		або	∫udv = uv − ∫vdu ;
Отримали формулу інтеграції по частинах, яка дозволяє знаходити інтеграли
багатьох елементарних функцій.
Приклад.
u = x; dv = cos xdx;
=		= −x2 cos x + 2[x sin x − ∫sin xdx]= −x2 cos x + 2x sin x + 2cos x +C.
du = dx; v = sin x

Як видно, послідовне застосування формули інтеграції по частинах дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного.

Приклад.

	2 x	; du	= 2e	2 x	dx;	= e2 x sin x − 2[− e2 x cos x − ∫− cos x 2e2 x dx]= e2x sin x +
= u = e
dv = sin xdx;			v = −cos x;

+ 2e2 x cos x − 4∫cos xe2 x dx

Видно, що в результаті повторного застосування інтеграції по частинах функцію не вдалося спростити до табличного вигляду. Проте, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від початкового. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

5∫e2 x cos xdx = e2 x (sin x + 2cos x)

∫e2 x cos xdx =	e2 x	(sin x + 2cos x) +C.

5

Таким чином, інтеграл знайдений взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж розглянути детально методи інтеграції різних класів функцій, приведемо ще декілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличних.

Приклад.

∫(2x +1)20 dx = {2x +1 = t; dt = 2dx;}= ∫t 20

dt =

t 21

+C =

t 21

+C =

(2x +1)21

Приклад.

∫

2 − x2

+ x2

2 − x2 + 2 + x2

dx = ∫

+ ∫

2 = ln x +

+ 2 +

− x

dx = ∫

2 − x

2 + x

2 − x

+ arcsin x

+C.

Приклад.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫

cos x

dx =

∫sin − 3 / 2

x cos xdx = {sin x = t;

= cos xdx} = ∫t − 3 / 2 dt

= −2t − 1 / 2 + C =

sin 3 x

= −2sin −1/ 2 x +C = −

+C.

sin x

Приклад.

; dv = e

dx;

x2e5x

u = x

dx =

−

2xdx =

−

∫

∫5

∫

= 2xdx;

v =

;

dx;

x2e5x

xe5x

x2e5x

2xe5x

u = x; dv = e

− ∫

∫e

−

dx =

du = dx; v =

;

x2e5x

2xe5x

2e5x

e5x

−

125

Приклад.

∫

− x

2 dx

= ∫

− x

= {dx = d (x +1)}= ∫

d (x +1)

= {x +1 = t}=

− 2x +8

− 2x −1 + 9

9 − (x +1)

= ∫

2dt

2 = arcsin t

+ C = arcsin x +1 + C.

−t

Приклад.

ln x

u = ln x; dv =

dx;

ln x

1 dx

ln x

dx =

= −

−

dx = −

= −

∫ x3

2x2

∫

2x2

∫ x3

2x2

du =

dx;

= −

;

−2

ln x

−

+C = −

−

+C.

Приклад.

u = ln x;

= xdx;

ln x

x ln xdx =

ln x −

dx =

−

xdx =

−

+ C =

∫

2 ∫

du =

dx; v =

;

=x2 (2 ln x −1) + C. 4

Приклад.

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫ecos2 x sin 2xdx = {t = ecos2 x ;

dt = −ecos2 x

2cos x sin x = −sin 2x ecos2 x dx;}= −∫dt = −t +C =

= −ecos2 x

+C.

Приклад.

∫

x = t;

= ∫

2tdt

= 2∫

= 2arctgt +C = 2arctg x +C.

+1)

+1)t

Приклад.

∫

x −3

arctg

+ C.

− 6x + 25

(x −3)

+16

x −3

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:


I.	1		;		III.
	ax +b
II.	1			;	IV.
		(ax +b)m

m, n – натуральні числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и b2 – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ах + b.

∫

+C =

ax +b

+C.

II.

ax +b

Розглянемо метод інтеграції елементарних дробів вигляду III. Інтеграл дробу вигляду III може бути представлений у вигляді:

Ax + B

(2x + p) +

−

2x + p

∫

= ∫

∫

dx =

dx + B −

+ px + q

B −

∫

ln x

+ px + q +

x +

+ q −

arctg 2x + p

+ C

4q − p2

Ap				dx
	∫				=
2		x	2	+ px + q

2B − Ap

4q − p2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Тут в загальному вигляді показано приведення інтеграла дробу вигляду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування вказаної вище формули на прикладах.

Приклад.

7x − 2

84x − 24

u =

6x −5; du = 6dx;

dx =

u +5

∫

3x2 −5x + 4

∫36x2 −60x + 48

∫(6x −5)2 +

dx =

;

x =

∫

14u + 70 − 24

du =

∫

udu

∫

ln(u

+ 23)

arctg

+C =

+ 23

3 23

7 ln 36x2

−60x + 48 +

23 arctg

6x −5

+C.

Взагалі кажучи, якщо у тричлена ax2 + bx + з вираз b2 – 4aс >0, то дріб за визначенням не є елементарним, проте, проте її можна інтегрувати вказаним вище способом.

Приклад.

∫

5x −3

dx = ∫

5x −3

u = x +3;

du = dx;

= ∫

5u −15 −3

du = 5∫

udu

dx =

−

+ 6x − 40

(x +3)

− 49

x = u −3;

−18∫

u 2

− 49

−

u −7

+C =

x2 + 6x − 40

−

x − 4

+C.

u + 7

x +10

− 49

Приклад.

∫

3x + 4

dx = ∫

3x + 4

2 dx =

u = x

−3;

du = dx;

= ∫

3u + 9 + 4

du = 3∫

udu

− x

16 − (x −3)

+ 3;

16 −u

−u

+ 6x

x = u

+13∫

= −3

16 −u 2

+13arcsin u

+ C = −3

7 − x2

− 6x +13arcsin x −3

+ C.

16 −u

Розглянемо тепер методи інтеграції простих дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл вигляду ∫

можна шляхом виділення в знаменнику повного

(ax

+ bx

+ c)

квадрата представити у вигляді ∫

. Зробимо наступне перетворення:

+ s)

∫

s + u 2 −u

du =

∫

−

∫

u 2 du

+ s)

n−1

+ s)

Другий інтеграл, що входить в цю рівність, братимемо по частинах. Позначимо:

“Курс вищої математики. Частина 2.”

∫

u 2 du

= −

∫

;

+ s)

(2n

− 2)(u

+ s)

n−1

2n −

+ s)

n−1

Для початкового інтеграла отримуємо:

∫

−

∫

n−1

s(2n

− 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

∫

2n −3

∫

s(2n − 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n-1 разів, то вийде табличний інтеграл ∫u 2du+ s .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу вигляду IV в

загальному випадку.

u =

2ax + b;

du = 2adx;

Mx + N

dx =

(4a)

dx =

u −b

∫(ax2 + bx + c)n

∫[(2ax + b)2 + (4ac −b

2 )]n

; s = 4ac −b2

x =

;

(4a)n

M (u −b)

+ N

(4a)n M

udu

2aN − Mb

∫

+ s)

У отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u2 + s приводиться до табличного, а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Не дивлячись на складність інтеграції елементарного дробу вигляду, що здається, IV, на практиці його достатньо легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, а універсальність і спільність підходу робить можливою дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Приклад:

∫

3x +5

dx = ∫

3x + 5

2 dx =

u = x − 2;

du = dx;

= ∫

3u + 6 + 5

du =

−

4x + 7)

((x −

+ 3)

= u + 2;

+ 3)

= 3∫

udu

+11∫

t = u 2

+ 3;

∫

+ 3)

+3)

2 =

+11

3 2(u

+ 3)

3 2

= 2udu;

= −

3 +

11u

arctg

u + C

= −

11(x − 2)

arctg x − 2

+ C.

6(u 2 +

6 3

2(x2 − 4x + 7)

6(x2 − 4x + 7)

6 3

Інтеграція раціональних функцій.

Інтеграція раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти її на елементарні дроби.

Источник: https://studfile.net/preview/16456302/

Смотрите также:







Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии