Контрольная работа: Цифровые фильтры

Цифровые фильтры

Некоммерческое акционерное общество

«АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ»

Кафедра телекоммуникационных систем

Расчетно-графическая работа № 2

по дисциплине: Основы цифровой обработки сигналов

на тему: «Цифровые фильтры»

Специальность: 050719 Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Выполнил: Усен М. № зачетной книжки 103328 Группа БРЭ-10-07

Руководитель: ст. преп. Богомолова Л.Г.

Алматы 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

. ЗАДАЧА 1. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТР

.1 Условие задачи 1. Исходные данные

.2 Выполнение задания 1

.2.1 Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}

.2.2 Определение дискретной свертки

.2.3 Схема нерекурсивного фильтра

.2.4 Определение отсчетов дискретного сигнала

. ЗАДАЧА 2. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

.1 Условие задачи 2. Исходные данные

.2 Выполнение задания 2

.2.1 Передаточная характеристика рекурсивного ЦФ

.2.2 Структурные схемы рекурсивного фильтра

.2.3 Отсчеты импульсной характеристики

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

При изучении аналоговых сигналов и линейных аналоговых систем введение преобразования Лапласа оказывается очень полезным. На его основе определяются такие фундаментальные понятия, как передаточная функция, частотные характеристики, устойчивость цепей и т. д. В цифровой обработке сигналов подобным преобразованием является Z-преобразование. Оно позволяет упростить многие формулы, определить основные фундаментальные понятия и оказывается очень наглядной и удобной формой представления процессов, протекающих при цифровой обработке.

Представления функции f(t) в трех областях (временной, частотной и р-области) однозначно взаимосвязаны, поэтому в какой бы области ни была задана исходная функция, можно аналитически получить ее представление в других областях, разумеется, при выполнении условий существования соответствующих преобразований.

. ЗАДАЧА 3. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

1.1 Условие задачи 3

. Вычислить Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}, согласно своему варианту.

. Определить дискретную свертку {y(n)}, если импульсная характеристика системы имеет вид (см. таблицу 1.1). Определить системную функцию H(Z).

. Построить схему нерекурсивного фильтра, которому соответствует системная (передаточная) функция H(Z) и позволяющего получить рассчитанные выходные отсчеты {y(n)}.

. По заданному Z-преобразованию X(Z) определить отсчеты дискретного сигнала {x(n)}, согласно своему варианту.

Исходные данные приведены в таблице 1.1.

Т а б л и ц а 1.1 - Исходные данные

1.2 Выполнение задания 1

.2.1 Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}

Дана дискретная последовательность отсчетов сигнала:

{x(n)}= {1,1,0,0,1,0…}

Прямое одностороннее Z-преобразование имеет вид:

Подставив значения, получим:

дискретный сигнал свертка фильтр

1.2.2 Определение дискретной свертки

{x(n)}= {1,1,0,0,1,0…}, {h(m)}= {1,2,2,3,1}

Сигнал на выходе дискретной цепи связан с сигналом на входе цепи формулой дискретной свертки, поэтому n-ый отсчет дискретной выходной последовательности рассчитывается как:

где  - импульсная характеристика цепи.

1.                           n=0

h(0-m)

2.                          
n=1

h(1-m)

3.                           n=2

h(2-m)

4.                           n=3

h(3-m)

5.                           n=4

h(4-m)

6.                           n=5

h(5-m)

7.                           n=6

h(6-m)

8.                           n=7

(7-m)

9.                           n=8

(8-m)

10.                         n=9

(9-m)

y(n)={1,3,4,5,5,3,2,3,1,0…}

На рисунке 1.1 и 1.2 заданы графически воздействие и импульсная характеристика. График вычисленной реакции приведен на рисунке 1.3

Рисунок 1.1 - График воздействия

Рисунок 1.2 - График импульсной характеристики

Рисунок 1.3 - График вычисленной реакции

Системная функция будет иметь вид:

C другой стороны, передаточной (системной) функцией дискретной цепи  называют отношение Z-преобразований выходного и входного дискретных сигналов:

Результаты обоих способов совпали.

1.2.3 Схема нерекурсивного фильтра

КИХ-фильтры реализуются на основе свертки двух функций. Первая функция является входным сигналом , а вторая  называется ядром фильтра и определяет его импульсную характеристику

.  (1.1)

Структурная схема (прямая структура), реализующая алгоритм (1.1) приведена на рисунке 1.4. Её транспонированная реализация приведена на рисунке 1.5

Алгоритм (1.1) можно представить в виде

где - а₀, а₁, …а_m действительные постоянные («весовые») коэффициенты; m - порядок нерекурсивного фильтра, т. е. максимальное число запоминаемых чисел.

Формулы (1.1) и (1.2) тождественны, а коэффициенты а₀, а₁, …а_m совпадают с соответствующими отсчетами импульсной характеристики фильтра h₀, h₁, …, h_m.

Рисунок 1.4 - Прямая структурная схема нерекурсивного ЦФ

Рисунок 1.5 - Транспонированная структурная схема нерекурсивного ЦФ

1.2.4 Определение отсчетов дискретного сигнала

Дано Z-преобразование. Отыскание оригинала, т. е. функции s_Д(t) или x(n), по заданному изображению X(Z) производится с помощью разложения на простые дроби:

Согласно формулам

И

Видно, что первое слагаемое является суммой бесконечной прогрессии  с первым членом  и знаменателем z^-1, а второе слагаемое - дискретной показательной функции . Следовательно, искомая последовательность имеет вид:

Найденные отсчеты:

{x(n)}={1,25;0,938;1,016;0,996;1,001…}

2. ЗАДАЧА 4. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

.1 Условие задачи 2. Исходные данные

1. Определить передаточную характеристику передаточную (системную) функцию рекурсивного ЦФ.

Коэффициенты числителя «» и знаменателя «» определяются согласно своему варианту.

. Разработать структурную схему рекурсивного фильтра, реализующую полученную передаточную функцию (прямую, каноническую и транспонированную реализации).

. Рассчитать первые три отсчета импульсной характеристики фильтра {h(n)}, полученные при прохождении через разработанный фильтр сигнала {x(n)}={1,0,0}.

Таблица 2.1 - Исходные данные

2.2 Выполнение задания 2

2.2.1 Передаточная характеристика рекурсивного ЦФ

Алгоритм цифровой фильтрации рекурсивного ЦФ имеет вид:

 (2.1)

где b_i и a_j - вещественные коэффициенты.

Или используя (4.13) [2]:

                      (2.2)

Перегруппировав входные и выходные отсчеты по разные стороны знака равенства, получим традиционную форму записи разностного уравнения:

 (2.3)