Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
Âñå îñòàëüíûå âûâîäû, ïîëó÷åííûå ïðè èññëåäîâàíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí
â îäíîðîäíûõ ëèíèÿõ áåç ïîòåðü, ìîãóò áûòü ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ïåðåíå-
ñåíû íà èññëåäóåìûé ñëó÷àé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîë-
íû â äèýëåêòðèêå.
 îáùåì ñëó÷àå, êîãäà íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïàäàþùåé âîëíû ñî-
ñòàâëÿåò íåêîòîðûé óãîë ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä, äëÿ íàõîæäå-
íèÿ îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü âñå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ
E
,
D
,
H
è
B
.
29.2. Âåêòîð Ïîéíòèíãà
Îïðåäåëèì ìîùíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, îòíåñåííóþ ê åäèíèöå ïîâåðõíîñòè, íîð-
ìàëüíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñóùå-
ñòâóåò òîëüêî âîëíà, äâèæóùàÿñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè.  òàêîì ñëó÷àå îáúåì-
íàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà
e
m
e
m
e
m
e
m
em
E
H
E
H
H
E
EH
v
EH
2
2
2
2
2
2
1
+
=
+
=
=
è, ñëåäîâàòåëüíî, â îáúåìå
dV
=
dl ds
(ðèñ. 29.1) çàêëþ÷åíà
ýíåðãèÿ
1
v
EH dl ds
.
Îòðåçîê ïóòè
dl
âîëíà ïðîõîäèò çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè
dt
,
êîòîðûé ñâÿçàí ñ
dl
ñîîòíîøåíèåì
dl
=
v dt
.
Ìîùíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, îòíåñåííàÿ ê åäèíèöå ïîâåðõíîñòè, íîðìàëüíîé ê
âåêòîðó ñêîðîñòè
v
, ÷èñëåííî ðàâíà êîëè÷åñòâó ýíåðãèè, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç
åäèíèöó ïîâåðõíîñòè, íîðìàëüíîé ê âåêòîðó
v
, â åäèíèöó âðåìåíè. Îíà ïîëó÷à-
åòñÿ ðàâíîé
S
EH
v
dl ds
ds dt
=
.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî
dl
/
dt
=
v
, íàõîäèì
S
EH
=
.
Ýòà âåëè÷èíà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âåêòîð
S
, íàïðàâëåííûé â ñòîðîíó
äâèæåíèÿ âîëíû, ò. å. â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ñêîðîñòè
v
.
Ïðåäñòàâëåíèÿ î ïîòîêå ýíåðãèè è î ìîùíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè, îòíåñåííîé ê
åäèíèöå ïîâåðõíîñòè, áûëè ðàçâèòû â 1874 ã. â ðàáîòå Í. À. Óìîâà, â êîòîðîé îí
ïðèìåíèë ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ê ñëó÷àþ ïåðåäà÷è ýíåðãèè â óïðóãèõ ñðåäàõ. Íà
îäèííàäöàòü ëåò ïîçæå Ïîéíòèíã ïðèìåíèë ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ê ñëó÷àþ ïåðåäà-
÷è ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè è ïîëó÷èë âûðàæåíèå âåêòîðà
S
÷åðåç âåêòîðû
E
è
H
. Ñîîòâåòñòâåííî, âåêòîð
S
ïîëó÷èë íàèìåíîâàíèå â å ê ò î ð à Ï î é í ò è í ã à.
Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó íàïðàâëåíèåì âåêòîðà Ïîéíòèíãà è íàïðàâëåíèÿìè âåê-
òîðîâ
E
è
H
.  ïðÿìîé âîëíå, êàê ýòî ñëåäóåò èç âûðàæåíèé, ïîëó÷åííûõ â ïðå-
äûäóùåì ïàðàãðàôå,
E
x
1
è
H
y
1
âñåãäà îäíîãî çíàêà, ò. å. â òîò ìîìåíò, êîãäà âåêòîð
206
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 29.1
E
íàïðàâëåí â ñòîðîíó ïîëîæèòåëüíîé îñè
OX
, âåêòîð
H
íàïðàâëåí â ñòîðîíó ïî-
ëîæèòåëüíîé îñè
OY
. Âåêòîð æå ñêîðîñòè
v
â ïðÿìîé âîëíå íàïðàâëåí â ñòîðîíó
ïîëîæèòåëüíîé îñè
OZ
. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ
E
,
H
è
S
äëÿ ïðÿìîé
âîëíû ïîêàçàíî íà ðèñ. 29.2.
 îáðàòíîé âîëíå
E
x
2
è
H
y
2
âñåãäà èìåþò ðàçëè÷íûå çíàêè è âåêòîð
v
íàïðàâ-
ëåí â îòðèöàòåëüíóþ ñòîðîíó îñè
OZ
. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå âåêòîðîâ
E
,
H
è
S
â îáðàòíîé âîëíå èçîáðàæåíî íà ðèñ. 29.3.
Ìû âèäèì, ÷òî
íàïðàâëåíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îñè ïðàâîãî âèíòà
,
ãîëîâêà êîòîðîãî âðàùàåòñÿ â
ïëîñêîñòè
,
ñîäåðæàùåé âåêòîðû
Å
è
H
, â íàïðàâëåíèè îò
E
ê
H
ïî êðàò÷àéøåìó
ðàññòîÿíèþ
.
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð
S
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåê-
òîðîâ
E
è
H
:
S
E H
=
[
].
Îí îïðåäåëÿåò ñîáîé
ìîùíîñòü ïîòîêà ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè
,
îòíåñåí-
íóþ ê åäèíèöå ïîâåðõíîñòè
,
íîðìàëüíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû
.
Âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà Ïîéíòèíãà áûëî ïîëó÷åíî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñðåäà
îäíîðîäíà è èçîòðîïíà è ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî ïðÿìàÿ èëè òîëüêî îáðàòíàÿ
âîëíà. Â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ñïðàâåäëèâî
â îáùåì ñëó÷àå.
Îñòàíîâèìñÿ íà âàæíîì ïðàêòè÷åñêîì ñëó÷àå, êîãäà
E
x
è
H
y
èçìåíÿþòñÿ âî
âðåìåíè ïî çàêîíó ñèíóñà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíà ïðÿìàÿ
âîëíà. Èìååì
E
F z vt
E
t
x
xm
1
1
=
-
=
+
(
)
sin(
);
w
y
H
F z vt
E
t
y
xm
1
1
=
-
=
+
e
m
e
m
w
y
(
)
sin(
),
ïðè÷åì
w
— óãëîâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé.
Ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàâåí-
ñòâî
w
t
+
y =
k
(
z
–
vt
), ãäå
k
— ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Òàê êàê ýòî ðàâåíñòâî äîëæ-
íî óäîâëåòâîðÿòüñÿ äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè
t
, òî, ïðèíÿâ
t
=
0, íàéäåì
y =
kz
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
w
t
=
–
kvt
è
k
=
–
w
/
v
. Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíàÿ ôàçà
y
ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
y =
–
w
v
z
. Ñòàëî áûòü, èìååì
Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå
207
Ðèñ. 29.2
Ðèñ. 29.3
E
E
t
v
z
H
E
t
v
z
x
xm
y
xm
1
1
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
sin
;
sin
.
w
w
e
m
w
w
Íà ðèñ. 29.4 èçîáðàæåíû âåêòîðû
E
è
H
â ðàçíûõ òî÷êàõ îñè
OZ
äëÿ ìîìåíòà
âðåìåíè
t
=
0. Âåëè÷èíû
E
è
H
ðàñïðåäåëåíû â ïðîñòðàíñòâå ïî çàêîíó ñèíóñà,
è âñå ýòî ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåùàåòñÿ â ïîëî-
æèòåëüíóþ ñòîðîíó îñè
OZ
ñî ñêîðîñòüþ
v
.
Äåéñòâèòåëüíî, òî÷êà, â êîòîðîé
E
x
=
0, îïðåäå-
ëÿåòñÿ óñëîâèåì:
w
t
–
w
v
z
=
0, èëè
z
=
vt
, ò. å. äâè-
æåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
v
â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâ-
ëåíèè îñè
OZ
. Íà ðèñ. 29.4 øòðèõîâûìè
ëèíèÿìè èçîáðàæåíî ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ â íå-
êîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè
t
1
> 0.
Ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà â òå÷åíèå
îäíîãî ïåðèîäà êîëåáàíèé, íàçûâàåòñÿ ä ë è í î é â î ë í û. Îáîçíà÷àÿ äëèíó
âîëíû ÷åðåç
l
, áóäåì èìåòü
l =
=
vT
v
f
,
ãäå
f
— ÷àñòîòà êîëåáàíèé.
Ðàçíîñòü ôàç êîëåáàíèé â äâóõ òî÷êàõ, óäàëåííûõ äðóã îò äðóãà â íàïðàâëå-
íèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû íà ðàññòîÿíèå
l
, èìååò çíà÷åíèå
w
v
l = w
T
=
2
p
. Ñëå-
äîâàòåëüíî,
äëèíà âîëíû åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áëèæàéøèìè òî÷êàìè
,
â êîòîðûõ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ èìååò ìàêñèìàëüíîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå
.
×òîáû íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ñåáå âñå ïîëå ïëîñêîé âîëíû, íåîáõîäèìî âîîá-
ðàçèòü äâà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñåìåéñòâà ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýëåê-
òðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, çàïîëíÿþùèõ
ñîáîé âñå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ðàñïðîñòðà-
íÿåòñÿ âîëíà (ðèñ. 29.5). Â êàæäîé ïëîñêîñòè,
ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè
XOY
, ëèíèè íàïðÿ-
æåííîñòè ïîëÿ ðàñïðåäåëåíû ðàâíîìåðíî, íî â
íàïðàâëåíèè îñè
OZ
ãóñòîòà ëèíèé ìåíÿåòñÿ
ïî çàêîíó ñèíóñà. Âñå ýòî ðàñïðåäåëåíèå äâè-
æåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
v
â ïîëîæèòåëüíîì íà-
ïðàâëåíèè îñè
OZ
.
29.3. Ïîòîê ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè
Âåêòîð Ïîéíòèíãà, îïðåäåëÿþùèé çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå ïîòîêà ýëåêòðîìàã-
íèòíîé ýíåðãèè, ïåðåäàâàåìîé â åäèíèöó âðåìåíè ñêâîçü åäèíèöó ïîâåðõíîñòè,
íîðìàëüíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, ðàâåí
S
E H
=
[
].
208
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 29.4
Ðèñ. 29.5
Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ ëþáîé ñðåäû, êîòîðàÿ â îá-
ùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü è íåîäíîðîäíîé è àíèçîòðîïíîé, è äëÿ ëþáîãî õàðàêòå-
ðà ïîëÿ. Ñâîå ðàññìîòðåíèå îãðàíè÷èì òîëüêî îäíèì ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî ýëåê-
òðè÷åñêèå (
e
è
g
) è ìàãíèòíûå (
m
) ñâîéñòâà ñðåäû íå çàâèñÿò îò íàïðÿæåííîñòåé
ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé è íå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíî âûáðàííûé îáúåì
V
ïðîñòðàíñòâà, îãðà-
íè÷åííûé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ
s
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýíåðãèÿ (
W
ý
+
W
ì
) ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, çà-
êëþ÷åííàÿ â îáúåìå
V
, èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè. Ñêîðîñòü åå óìåíüøåíèÿ ðàâíà
-
+
= -
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
¶
¶
¶
¶
t
W
W
t
dV
V
(
)
.
ý
ì
E D H B
2
2
 îáùåì ñëó÷àå äëÿ àíèçîòðîïíîé ñðåäû èìååì
¶
¶
¶
¶
¶
¶
e
t
t
E D
E D
E D
t
E
x
x
y
y
z
z
x
x
E D
2
2
2
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
+
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
=
+ e
e
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
E
E
E
D
t
E
D
t
E
D
t
t
2
2
2
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ =
+
+
=
E D
è òî÷íî òàê æå
¶
¶
¶
¶
t
t
H B
H B
2
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
.
Òàêèì îáðàçîì,
-
+
=
-
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
¶
¶
¶
¶
¶
¶
t
W
W
t
t
dV
V
(
)
.
ý
ì
E D H B
Âûðàæàÿ ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ â âèäå ðàçíîñòè ðåçóëüòèðóþùåé ïëîòíî-
ñòè òîêà è ïëîòíîñòåé òîêîâ ïðîâîäèìîñòè è ïåðåíîñà è èñïîëüçóÿ ïåðâîå óðàâ-
íåíèå Ìàêñâåëëà, íàõîäèì
¶
¶
dd - g
- g
D
E
H
E
t
=
-
=
-
J
J
ïåð
ïåð
rot
.
Êðîìå òîãî, âòîðîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà äàåò
¶
¶
B
E
t
= -
rot .
Òàêèì îáðàçîì,
-
+
=
-
+
+
+
ò
¶
¶
g
t
W
W
dV
V
(
)
(
)
.
ý
ì
ïåð
rot
rot
E
H
E
E H
E
2
J
Çàìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
H
E E
H
E H
rot
rot
div
-
=
[
].
Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå
209
Äåéñòâèòåëüíî, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå [
E H
] âûðàæàåòñÿ â âèäå
[
]
(
)
(
)
(
).
E H
i
j
k
=
-
+
-
+
-
E H
E H
E H
E H
E H
E H
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
Ñëåäîâàòåëüíî,
div[
]
(
)
(
)
(
E H
=
-
+
-
+
+
-
¶
¶
¶
¶
¶
¶
x
E H
E H
y
E H
E H
z
E H
E
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
x
z
y
y
x
z
z
H
H
E
y
E
z
H
E
z
E
x
H
)
=
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
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2
J
(*)
Ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ýíåðãèþ, ïîãëîùàåìóþ â îáúåìå
V
â åäèíèöó âðåìåíè âñëåäñòâèå êîíå÷íîé ïðî-
âîäèìîñòè ñðåäû, ò. å. ýíåðãèþ, ïåðåõîäÿùóþ â òåïëîòó â òåõ ÷àñòÿõ îáúåìà
V
,
ãäå ñðåäà îáëàäàåò óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ
g
è ãäå, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò
òîêè ïðîâîäèìîñòè. Âòîðîé èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàáîòó, çàòðà÷èâàåìóþ
â åäèíèöó âðåìåíè íà óñêîðåíèå ñâîáîäíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â îáúåìå
V
, ò. å.
íà óâåëè÷åíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýòèõ ÷àñòèö â òåõ ÷àñòÿõ îáúåìà
V
, ãäå ñó-
ùåñòâóþò òîêè ïåðåíîñà ñâîáîäíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Åñëè èìååò ìåñòî
ñòîëêíîâåíèå ýòèõ ÷àñòèö ñ ìîëåêóëàìè âåùåñòâà, òî ÷àñòü ñîîáùåííîé èì êè-
íåòè÷åñêîé ýíåðãèè òàêæå ïåðåõîäèò â òåïëîòó.
Íàëè÷èå òðåòüåãî èíòåãðàëà ïîêàçûâàåò, ÷òî íå âñÿ óáûëü ýíåðãèè ýëåêòðè÷å-
ñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â îáúåìå
V
ïðåâðàùàåòñÿ âíóòðè ýòîãî îáúåìà â òåïëî-
òó è â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñâîáîäíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Âåëè÷èíà ýòîãî
òðåòüåãî èíòåãðàëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîùíîñòü, ÷èñëåííî ðàâíóþ òîé ýíåðãèè,
êîòîðàÿ ïåðåäàåòñÿ â åäèíèöó âðåìåíè èç îáúåìà
V
ñêâîçü ïîâåðõíîñòü
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Òàêèì îáðàçîì, ìîùíîñòü ïîòîêà ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè ñêâîçü ïîâåðõ-
íîñòü
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âûðàæàåòñÿ â âèäå
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210
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ