Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè âåêòîðíîãî ìàãíèòíî-
ãî ïîòåíöèàëà ïðè
ó
=
0,5
h
ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü:
C
3
=
C
+
m
0
4
ih
d
.
Êðèâûå çàâèñèìîñòåé
Â
õ
(
ó
),
À
(
ó
) (ïðèíÿòî
Ñ
=
0)
ïîêàçàíû íà ðèñ. Ð27.3.
7.
Ïðè ñèììåòðè÷íîì ðàñïîëîæåíèè òîêîâ +
i
è –
i
îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè
x
=
0 ìàãíèòíîå ïîëå
òàêæå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêî-
ñòè, òàê ÷òî îñü
ó
ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ëèíèé
ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Òàê êàê íà ïëîñêîñòè
õ
=
0 èìååì
B
x
= ¶
¶
A
y
=
0, òî âåêòîðíûé ìàãíèò-
íûé ïîòåíöèàë íà íåé ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå,
ðàâíîå íóëþ çíà÷åíèå.
Ïðè îäíîíàïðàâëåííûõ òîêàõ ïðîâîäîâ ïîëó-
÷àåì
B
y
=
0 ïðè
x
=
0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
¶
¶
A
x
=
0,
ò. å. âåêòîðíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåò íà îñè
ó
ýêñòðåìàëüíîå çíà÷å-
íèå. Òàê êàê íà ïëîñêîñòè
õ
=
0 èìååì
B
x
= ¶
¶
A
y
¹
0, òî
À
=
À
(
ó
)
¹
const.
8.
Âåêòîðíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ïóàññîíà â òî÷êàõ
æèëû è îáîëî÷êè ïðè 0
£
r
£
R
1
,
R
2
£
r
£
R
3
è óðàâíåíèþ Ëàïëàñà
1
r
d
dr
r
dA
dr
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
0
â òî÷êàõ âíå òîêîâ ïðè
R
1
£
r
£
R
2
,
r
³
R
3
. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé â êàæ-
äîé èç îáëàñòåé ñëåäóåò îïðåäåëèòü ïî 2 ïîñòîÿííûõ, òàê ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ 8
ïîñòîÿííûõ (âñåãî èìååì 4 îáëàñòè) íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü 8 óñëîâèé. Èí-
òåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé ïðèâîäèò ê âûðàæåíèÿì:
îáëàñòü 1: 0
£
r
£
R
1
,
A
1
=
– 0,25
m
0
J
1
r
2
+
C
1
ln
r
+
C
2
,
îáëàñòü 2:
R
1
£
r
£
R
2
,
A
2
=
C
3
ln
r
+
C
4
,
îáëàñòü 3:
R
2
£
r
£
R
3
,
A
3
=
– 0,25
m
0
J
3
r
2
+
C
5
ln
r
+
C
6
,
îáëàñòü 4:
r
³
R
3
,
A
4
=
C
7
ln
r
+
C
8
.
 ñèëó ðàâåíñòâà òîêîâ æèëû è îáîëî÷êè è ïðîòèâîïîëîæíîãî èõ íàïðàâëåíèÿ
èìååì
Â
=
0 ïðè
r
³
R
3
è, ñëåäîâàòåëüíî,
C
7
=
0. Ïîñòîÿííóþ
C
1
íàõîäèì èç óñëî-
âèÿ
B
a
= - ¶
¶
A
r
¹ ¥
ïðè
r
=
0:
¶
¶
A
r
1
=
– 0,5
m
J
1
r
+
C
1
r
–1
,
C
1
=
0. Ïîñòîÿííûå
C
2
,
C
3
,
C
4
,
C
5
,
C
6
,
C
8
ïîëó÷àåì, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ïîòåíöèàëà (òðè óñëî-
âèÿ) è åãî íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé (òðè óñëîâèÿ) â òî÷êàõ íà ãðàíèöàõ îáëàñ-
òåé 1 è 2, 2 è 3, 3 è 4:
A
A
A
A
A
A
r R
r R
r R
r R
r R
r R
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
,
,
,
326
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. Ð27.3
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
A
r
A
r
A
r
A
r
A
r
r R
r R
r R
r R
r R
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
=
=
=
=
=
=
=
=
,
,
¶
¶
A
r
r R
4
3
=
.
Òàê êàê â êàæäîå èç âûðàæåíèé
A
1
(
r
),
A
2
(
r
),
A
3
(
r
),
A
4
(
r
) âõîäÿò íå âñå ïîñòîÿí-
íûå, ïîëó÷àåìàÿ ïðè íàõîæäåíèè ïîñòîÿííûõ ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé èìååò ðåäêî çàïîëíåííóþ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ, ÷òî îáëåã÷àåò ðåøåíèå.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè çàäàííûõ â óñëîâèè çàäà÷è ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé è ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé ìîæåì íàéòè çíà÷åíèÿ âåêòîðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà âî âñåõ
îáëàñòÿõ è ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ
B
= - ¶
¶
A
r
.
10.
Äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîòîêà âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì
F =
A l
d
l
ò
=
=
ò
A
dl
l
cos
a
.  òî÷êàõ èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â27.3 êîíòóðîâ âåêòîð
A
ïàðàëëå-
ëåí âåêòîðó ïëîòíîñòè òîêà
J
, òîãäà êàê âåêòîð
d
l
îïðåäåëÿåòñÿ ãåîìåòðèåé êîí-
òóðà è íàïðàâëåíèåì åãî îáõîäà. Â îáîèõ âàðèàíòàõ
à
,
á
çàäà÷è ñîñòîÿùèé èç
ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ êîíòóð ñëåäóåò ðàçáèòü íà ó÷àñòêè, çàïèñûâàÿ èí-
òåãðàë
A l
d
l
ò
êàê ñóììó èíòåãðàëîâ ïî ó÷àñòêàì. Äëÿ âàðèàíòà
à
èìååì:
F =
=
ò
A
dl
12
1
1
1
2
cos
a
+
A
dl
23
2
2
2
3
cos
a
ò
+
A
dl
34
3
3
3
4
cos
a
ò
+
A
dl
41
4
4
4
1
cos
a
ò
=
l
(
A
12
–
A
34
).
Îòìåòèì, ÷òî
a
1
=
0,
a
4
= p
,
a
2
=
–
a
3
=
– 0,5
p
. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî
A
12
=
= m
p
0
2
i
ln
1
a
+
C
,
A
31
= m
p
0
2
i
ln
1
b
+
C
, ïîëó÷àåì
F = m
p
0
2
li
ln
b
a
@
1,1
×
10
–7
Âá.
 óñëîâèÿõ âàðèàíòà
á
ìîæåì çàïèñàòü:
F =
A
12
l
+
-
+
-
ò
A
r
l
l
b a
a
b
23
2
2
( )
(
)
b a
l
b a
dr
-
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
2
2
1
(
)
,
òàê êàê
a
1
=
0, cos
a
1
=
1, cos
(
)
a
2
2
2
=
-
+
-
l
l
b a
,
a
p
3
2
=
, cos
a
3
=
0,
dl
l
b a
b a
2
2
2
=
+
-
-
(
)
dr
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
A
12
= m
p
0
2
i
ln
1
a
+
C
,
A
23
(
r
)
=
–
m
p
0
2
i
ln
r
+
C
, íàõîäèì
F =
m
p
0
2
li
b a
b
b
a
b a
(
)
( ln
)
-
- +
@
0,62
×
10
–7
Âá.
11.
Òàê êàê êîíòóðû ðàñïîëîæåíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ, òî
â òî÷êàõ êîíòóðà íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ
d
l
è âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà, ñîçäàâàåìî-
ãî òîêîì äðóãîãî ïðîâîäà, îðòîãîíàëüíû. Ïîýòîìó
Y
ì
=
0.
12.
Òàê êàê
M
= y
21
1
i
=
1
1
i
d
l
A l
ò
, ïîëó÷àåì:
M
=
l
i
1
(
A
2
–
A
2
¢
)
=
+
+
+
+
m
p
0
2
2
1
2
2
1
2
2
2
l
h
d
h
d
d
h
d
h
ln
(
)
(
)
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
327
14.
Ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè â âîçäóõå ïîäõîäÿò ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ïîâåðõíî-
ñòè òåëà ñ áåñêîíå÷íî áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ. Ïîýòîìó ñêàëÿðíûé
ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë èìååò íà ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, ÷òî ñëåäóåò
èç óñëîâèÿ
¶
¶
U
t
ì
=
0. Èç óñëîâèÿ
Â
t
=
0 íà ïîâåðõíîñòè òåëà âûòåêàåò, ÷òî
¶
¶
A
n
=
0.
Íà ïîâåðõíîñòè òåëà, âåùåñòâî êîòîðîãî õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèÿìè
m =
0,
g = ¥
,
èìååì
B
n
=
0,
B
t
¹
0, ÷òî ïîçâîëÿåò, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ
H
=
–grad
U
ì
,
B
=
rot
A
,
çàïèñàòü âûðàæåíèÿ
¶
¶
U
n
ì
=
0,
A
=
const.
Ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëîâ è èõ íîðìàëüíûõ ïðîèçâîäíûõ íà ïîâåðõíî-
ñòè òåë ñ èäåàëüíûìè ñâîéñòâàìè ñâåäåíû â òàáëèöó:
Ñâîéñòâà âåùåñòâà
U
ì
A
¶
¶
U
n
ì
¶
¶
A
n
m = ¥, g =
0
m =
0,
g = ¥
const
f
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
const
f
(
x
,
y
)
0
0
f
(
x
,
y
)
27.3. Êîìïëåêñíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë
ÂÎÏÐÎÑÛ
19.
Äåéñòâèòåëüíî, íà äâèæóùèåñÿ â ïðîâîäíèêå ýëåêòðîíû äåéñòâóåò ñèëà ñî
ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîñåäíèõ òîêîâ, òàê ÷òî òîê äîëæåí ïîä äåéñòâèåì
ýòîé ñèëû â îáùåì ñëó÷àå ïåðåðàñïðåäåëÿòüñÿ. Èçìåíåíèþ ïëîòíîñòè òîêà ïðå-
ïÿòñòâóþò ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè, â ñâÿçè ñ ÷åì â ïðîâîäíè-
êàõ ýòîò ýôôåêò ïðîÿâëÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî.
21.
Òàê êàê ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïàðàëëåëüíû îñè
y
, òî ìî-
æåì íàïèñàòü
H
=
j
H
y
, ïðè÷åì ïðè ñãóùåíèè ëèíèé â íàïðàâëåíèè îñè
x
ïîëó÷à-
åì
H
=
j
H
y
(
x
). Âû÷èñëÿÿ ïðîåêöèè âåêòîðà rot
H
íà îñè
x
,
y
,
z
, íàõîäèì rot
x
H
=
0,
rot
y
H
=
0, rot
z
H
=
¶
¶
H
x
y
¹
0, íà îñíîâàíèè ÷åãî äåëàåì çàêëþ÷åíèå, ÷òî ñãóùåíèå
ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â íàïðàâëåíèè îñè
õ
âîçìîæíî ëèøü â
îáëàñòè ñ òîêîì, ïëîòíîñòü êîòîðîãî
J
=
J
z
¹
0.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
Èç âûðàæåíèÿ
F =
A l
d
l
ò
ñëåäóåò, ÷òî â ïëîñêîïàðàëëåëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå
ìàãíèòíûé ïîòîê ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå
F =
(
À
2
–
À
1
)
l
, ãäå
À
2
,
À
1
— âåê-
òîðíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë íà ñòîðîíàõ êîíòóðà. Òàê êàê
À
= m
V
ì
+
C
, òî ïîëó-
÷àåì
F = m
0
l
(
V
ì2
–
V
ì1
)
=
4
p×
10
–6
Âá.
2.
Ñîâìåñòèì ïëîñêîñòü
õ
=
0 ñ ïîâåðõíîñòüþ ðàçäåëà ñðåä ñ ðàçëè÷íûìè ìàã-
íèòíûìè ïðîíèöàåìîñòÿìè:
m = m
1
ïðè
õ
< 0 è
m = m
2
ïðè
õ
> 0. Ãðàíè÷íûå óñëî-
328
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
âèÿ íåïðåðûâíîñòè êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ
H
t
1
=
H
t
2
çàïèøåì â âèäå
j
H
y
1
+
k
H
z
1
=
j
H
y
2
+
k
H
z
2
è, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ
H
A
z
A
x
y
x
z
1
1
1
1
1
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
m
¶
¶
¶
¶
,
H
A
x
A
y
z
y
x
1
1
1
1
1
=
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
m
¶
¶
¶
¶
,
ïîëó÷èì
1
1
1
1
1
2
2
2
m
¶
¶
¶
¶
m
¶
¶
¶
¶
A
z
A
x
A
z
A
x
x
z
x
z
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
,
1
1
1
1
1
2
2
2
m
¶
¶
¶
¶
m
¶
¶
¶
¶
A
x
A
y
A
x
A
y
y
x
y
x
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
.
Ãðàíè÷íîå óñëîâèå
B
n
1
=
B
n
2
çàïèñûâàåì â âèäå
B
x
1
=
B
x
2
, èëè
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
A
y
A
z
A
y
A
z
z
y
z
y
1
1
2
2
-
=
-
.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàçèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
H
t
1
=
H
t
2
,
B
n
1
=
B
n
2
÷åðåç ñêàëÿðíûé
ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë, ó÷òåì ñîîòíîøåíèå
H
=
–grad
U
ì
è ïîëó÷èì:
¶
¶
¶
¶
U
y
U
y
ì1
ì2
=
,
¶
¶
¶
¶
U
z
U
z
ì1
ì2
=
,
m ¶
¶
m ¶
¶
1
2
U
x
U
x
ì1
ì2
=
.
Èç ïåðâûõ äâóõ ñîîòíîøåíèé, ñâÿçûâàþùèõ ïðîèçâîäíûå ñêàëÿðíîãî ìàãíèò-
íîãî ïîòåíöèàëà ïî êàñàòåëüíûì íàïðàâëåíèÿì ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä, ñëå-
äóåò, ÷òî
U
ì1
=
U
ì2
, ò. å. ñêàëÿðíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë íåïðåðûâåí íà ïîâåðõ-
íîñòè ðàçäåëà ñðåä ñ ðàçëè÷íûìè ìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè.
Ñêàëÿðíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë, êàê è åãî êàñàòåëüíàÿ ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà
ñðåä ïðîèçâîäíàÿ, íåïðåðûâåí íå òîëüêî â ñëó÷àå ïëîñêèõ, íî è íåïëîñêèõ ïî-
âåðõíîñòåé.
3.
Ìàãíèòíûé ïîòîê ñêâîçü ñå÷åíèå òðóáêè, ëåæàùåé âíå ïðîâîäà è îãðàíè÷åí-
íîé ëèíèÿìè ðàäèóñîâ
r
k
+1
,
r
k
, ðàâåí
DF
k
=
(
A
k
+1
–
A
k
)
l
= - m
p
il
2
ln
r
r
k
k
+
1
. Âåëè÷èíà
DF
k
èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå ïðè ëþáîì
k
, åñëè
r
r
k
k
+
1
=
const. Ìàãíèòíûé ïîòîê
ñêâîçü ñå÷åíèå ëþáîé òðóáêè âíóòðè ïðîâîäà
DF
k
=
(
A
k
+1
–
A
k
)
l
= -
-
+
m
p
il
R
r
r
k
k
4
2
1
2
2
(
)
ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, åñëè åå ðàäèóñû óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ
r
r
k
k
+
-
1
2
2
=
const.
4.
Èñïîëüçóÿ ìåòîä íàëîæåíèÿ, íàõîäèì
z = -
i
2
p
ln (
z
–
b
) +
i
2
p
ln (
z
+
b
) +
C
= = -
i
2
p
ln
z
b
z
b
-
+
+
C
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
329
Äëÿ ðàñ÷åòà ñîñòàâëÿþùèõ
Í
õ
,
Í
y
íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàõîäèì
âåëè÷èíó
d
dz
V
x
j
U
x
H
jH
y
x
z ¶
¶
¶
¶
=
+
= -
-
ì
ì
è ïîëó÷àåì â òî÷êàõ îñè
õ
:
Í
x
=
0,
H
y
=
=
-
@
-
i
b
x
b
x
p
2
2
2
4 8
0 02
,
,
A
ì
è â òî÷êàõ îñè
y
:
H
y
= -
+
@ -
+
i
b
y
b
y
p
2
2
2
4 8
0 02
,
,
A
ì
,
Í
x
=
0.
5.
Ïðîèçâîäíàÿ êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà ðàâíà
d
dz
d
dx
V
x
j
U
x
H
jH
y
x
z
z ¶
¶
¶
¶
=
=
+
= -
-
ì
ì
.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû
H
x
+
jH
y
îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò óì-
íîæèòü íà
j
è íàéòè ñîïðÿæåííóþ êîìïëåêñíóþ âåëè÷èíó:
j
d
dz
z
*
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
H
x
+
jH
y
.
6.
 ïëîñêîïàðàëëåëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ìàãíèòíûé ïîòîê ñêâîçü ïëîùàäêó
äëèíîé
l
ìîæíî îïðåäåëèòü ïî çíà÷åíèþ ôóíêöèè ïîòîêà êàê
F = m
0
D
V
ì
l
=
= m
(
V
2ì
–
V
1ì
)
l
, ãäå
V
2ì
,
V
1ì
— ôóíêöèÿ ïîòîêà íà ñòîðîíàõ 2 è 1 ïëîùàäêè. Ðàñ-
ñ÷èòàâ ôóíêöèþ ïîòîêà èç âûðàæåíèÿ
V
r C
ì
= -
+
1
2
p
ln
, íàõîäèì
F = -m
p
0
2
1
2
i l
r
r
ln
.
Ïîëó÷àåì ïðè óñëîâèÿõ:
à
)
r
2
=
r
1
è
F =
0,
á
)
r
1
=
1,
r
2
=
2 è
F = -
2,77
×
10
–5
l
Âá,
â
)
r
1
=
2,
r
2
=
2 2 è
F = -
1,39
×
10
–5
l
Âá.
7.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
R
a
,
R
c
ñîïðîòèâëåíèÿ íà åäèíèöó äëèíû àëþìèíèåâîé îáî-
ëî÷êè è ñòàëüíîé ñåðäöåâèíû ïðîâîäà. Òàê êàê òîê ïðîâîäà ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæ-
äó îáîëî÷êîé è ñåðäöåâèíîé îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî èõ ñîïðîòèâëåíèÿì, òî
èç ñîîòíîøåíèé
i
c
R
c
=
i
a
R
a
,
i
c
+
i
a
=
i
íàõîäèì
i
à
=
iR
R
R
c
c
a
+
,
i
ñ
=
iR
R
R
a
c
a
+
.
Äëÿ ÷èñëåííûõ óñëîâèé çàäà÷è ïîëó÷àåì:
R
c
/R
a
=
10,5,
i
a
=
18,26 A,
i
c
=
1,74 A.
Ìàãíèòíîå ïîëå âíå ïðîâîäà òàêîå æå, êàê è ïîëå ëèíåéíîãî òîêà, ïðîòåêàþùåãî
âäîëü îñè ïðîâîäà. Ïîýòîìó êîìïëåêñíûé ïîòåíöèàë ðàâåí
z
(
z
)
= -
i
2
p
ln
z
+
C
.
Âíóòðè ïðîâîäà ôóíêöèþ
V
ì
= -
ò
H r dr
r
( )
0
íàõîäèì, çàïèñûâàÿ íàïðÿæåííîñòü ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ
H r
i r
r
( )
=
c
c
2
2
p
ïðè 0
£
r
£
r
c
è
H r
i
r
r
r
r
( )
(
)
=
+
-
c
à
c
2
2
2
2
p
p
p
J
ïðè
r
c
£
r
£
r
a
,
ãäå
J
à
à
c
=
-
i
r
r
à
( (
))
p
2
2
:
V
ì
= -
i r
r
c
c
2
2
4
p
+
C
ïðè 0
£
r
£
r
c
,
V
ì
= -
-
-
-
-
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
i
i
r
r
r
r
r
r
r
C
c
c
c
à
c
c
c
4
2
2
2
2
2
2
p
p
ln
ln
J
ïðè
r
c
£
r
£
r
a
.
330
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷