УДК 531.36 + 534.1
Динамические модели механических систем
Н.Н. Макеев
Институт проблем точной механики и управления РАН
Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
Рассматривается движение нелинейной системы осцилляторов в шестимерном евклидовом пространстве, находящейся в однородном потенциальном поле. Приводятся три формы уравнений движения системы и их частные решения, соответствующие некоторым простейшим движениям осцилляторов.
Ключевые слова: механическая система; система осцилляторов; динамическая модель.
осциллятор евклидовый потенциальный поле
Dynamic models of mechanical systems
N. N. Makeyev
Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences
Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
It is description a nonlinear system of oscillators in six-dimensional Euclidean space, which be situated in homogeneous potential field. Given three forms of equations motion a system and theirs particular solutions for some simple motions of oscillators.
Key words: mechanical system; oscillator; dynamic model.
Проблемы, связанные с задачами классической механики и теории нелинейных колебаний, имеют ряд общих качественных особенностей, обусловленных универсальным свойством структурной изоморфности их динамических моделей. Это свойство проявляется в том, что некоторые объекты или процессы, функционирование которых описывается детерминированными эволюционными динамическими системами с сосредоточенными параметрами, соответствуют одной и той же динамической модели. При этом объекты или процессы, соответствующие данной модели, могут иметь различную природу. Эта общая динамическая модель отражает качественно однотипные эволюционные процессы, обусловленные свойствами этих объектов.
Общей динамической моделью такого рода для определенного класса механических систем может являться нелинейная система взаимодействующих осцилляторов, находящаяся в консервативном силовом поле. В подтверждение этого можно привести такой характерный факт: решение некоторых задач динамики механических и физических объектов сводится к исследованию движения колебательных систем. В этом случае в данных задачах последние являются динамическими аналогами этих объектов.
В связи с этим приведем несколько примеров. Задача двух тел в небесной механике (задача Кеплера) путем регуляризации - преобразования Т. Леви - Чивита - сводится к модели одномерного гармонического осциллятора [1]. К этой же задаче относится и преобразование К. Болина, осуществляемое регуляризацией в общем эллиптическом случае (при отрицательных значениях постоянной интеграла энергии). Здесь орбиты задачи Кеплера переводятся в орбиты двумерного гармонического осциллятора на комплексной плоскости [2]. Более общие регуляризующие преобразования, приводящие динамические уравнения механики к форме уравнений движения линейных осцилляторов, известны как преобразования Кустаанхеймо - Штифеля [3] (см. [1, c.126]), а также как преобразования Ю.Мозера [1] и К.Сундмена [4].
Физические задачи, решение которых может быть сведено к осцилляторной модели, содержатся в книге [5].
Примечательна работа "Нелинейный осцилляторный аналог динамики твердого тела" [6], в которой построена гипотетическая модель движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижного полюса в классическом случае Эйлера - Пуансо. Здесь движение тела интерпретировано как нелинейные колебания системы трех осцилляторов, каждый из которых определяет изменение проекции вектора мгновенной угловой скорости тела на его главную ось инерции. В этой работе показана прямая динамическая аналогия между движением твердого тела вокруг неподвижного полюса и одномерными колебаниями осцилляторов нелинейной системы.
В работе М. Виварелли [7] установлена динамическая аналогия между тремя задачами механики: задачей двух тел (задачей Кеплера), задачей о движении твердого тела вокруг неподвижного центра в случае Эйлера - Пуансо и задачей об изотропном гармоническом осцилляторе в пространстве R4.
Таким образом, здесь просматривается прямая связь между движением механических объектов определенного класса и движением гипотетической системы осцилляторов (или отдельного осциллятора).
В настоящей работе приводятся несколько форм уравнений движения нелинейной системы осцилляторов с квадратичной нелинейностью, находящейся в однородном потенциальном силовом поле. Каждая из этих форм может быть положена в основу динамической модели, аппроксимирующей движение механического объекта. При этом термин "осциллятор" здесь понимается в обобщенном смысле как точечный объект, совершающий малые (не обязательно колебательные) движения в некоторой окрестности положения устойчивого равновесия системы.
Предварительные положения
Рассмотрим систему осцилляторов с квадратичной нелинейностью, находящихся на стационарных двусторонних упругих удерживающих связях, движущуюся в однородном потенциальном силовом поле. Предполагается, что система имеет по крайней мере одно положение устойчивого равновесия (в смысле Лагранжа-Дирихле).
Сопоставим движение данной системы и движение фазовой точки в пространстве R6. Пусть u = [u1 … u6]T ? безразмерный фазовый вектор-столбец, характеризующий малые отклонения (вариации) uj (ф) системы от ее положения равновесия; ф ? безразмерное (приведенное) время.
Движение системы осцилляторов в окрестности ее положения равновесия зададим динамической системой (ДС)
(1)
Здесь T = [0, +?), A = [aij] (i, j = 1, … , 6) ? невырожденная квазиантисимметрическая матрица над коммутативным полем с элементами
, (2)
, ,
F = [Fj]T ? вектор-столбец с компонентами
, (3)
(4, 5, 6),
где mj (j = 1, 2, 3) ? заданные постоянные. Значения элементов aij, не представленных равенствами (2), равны нулю. Штрих сверху в ДС (1) и всюду далее обозначает дифференцирование по ф.
Выражения (3) отражают квадратичную нелинейность ДС (1). Соотношения для Fp (p = 1, 2, 3) могут быть получены в результате представления квадратичной зависимости в форме матричной "Г ? Щ пары" [2]
.
Здесь Г, Щ ? кососимметрические матрицы с элементами up, Щp соответственно (p = 1, 2, 3), где Щp ? величины, пропорциональные фазовым координатам up.
Соотношения (3) для Fr (r = 4, 5, 6) являются компонентами скобок Пуассона [1, 4] от функций 2Ц (u1, u2, u3) = ¦u*¦2, 2Ш (u4, u5, u6) = ¦u*¦2, где u*(up), u*(ur) ? соответствующие векторы; ¦…¦ ? символ евклидовой нормы вектора. Вид соотношений (3), определяемый матричной Г? Щ парой и функциями Ц, Ш, отражает характер квадратичной нелинейности величин Fj, инвариантный относительно размерности пространства Rn.
Фазовое пространство с координатами up, ur здесь рассматривается в смысле, определённом в [8], как конечномерное дифференцируемое многообразие. При этом, в частности, величины up могут являться обобщенными импульсами, а ur ? обобщенными координатами.
Динамическая система (1) является детерминированной автономной четырехпараметрической системой с заданными независимыми параметрами k, n, m1, m3, причём в общем случае k2 + n2 ? 0. Здесь k, n ? позиционные параметры, mj ( j = 1, 2, 3) ? параметры конфигурации системы. При этом положительные параметры a, b, содержащиеся в равенствах (2), определяются зависимостями
(4)
а параметр m2, входящий в соответствующее выражение (3), связан с m1, m3 равенством
(5)
где m1 ? 1, m3 ? ? 1, M = 1+ m1m3.
Система уравнений (1) является расширенным (на пространство R6) аналогом динамической системы Мэнли-Роу для механической системы, моделируемой совокупностью взаимодействующих осцилляторов с квадратичной нелинейностью [9]. При этом соотношения (4), (5) можно интерпретировать следующим образом.
Пусть выполняется проективное преобразование евклидовой плоскости с инвариантом I = det C, C = [cij] (i, j = 1, 2, 3), в котором декартовы координаты x, y точки N (прообраза) и координаты x*, y* точки N* (образа) связаны соотношениями
(6)
Здесь обозначено: ci = (ci1, ci2, ci3) (i = 1, 2, 3), r = (x, y, 1). Соответствующие равенства (4), (6) идентичны при значениях (x, y) = (1, m1), (x*, y*) = (a, b),
для точек евклидовой плоскости, не принадлежащих прямой M = 0.
Таким образом, соотношения (4) можно интерпретировать как проективное преобразование евклидовой плоскости (x, y)>(x*, y*), существующее при I ? 0, M ? 0. Величину m2 в равенстве (5) можно представить как разность координат x*, y* образа, определяемых формулами (6).
Введем квазипотенциалы
и векторы
где < … > ? символ полной совокупности координат вектора по индексам p, r соответственно.
Система уравнений (1) обладает независимыми алгебраическими инвариантами, представляемыми в виде
(7)
где h1, h2 ? постоянные интегрирования.
В силу инварианта W1 (7) и уравнений (1)?(3) для системы осцилляторов в положении равновесия (0, 0, 0; u04, 0, u0 6), где
Здесь нулевой верхний индекс относится к значениям величин в положении равновесия системы; m ? величина, определяемая равенством (8).
Некоторые формы уравнений движения системы осцилляторов
Диагональная форма
Характеристическое уравнение ДС (1) имеет вид
в силу чего спектр собственных значений матрицы A есть (0, 0, ? im, im, ? iу, iу), где
i 2 = ? 1,
(8)
Здесь нулевому собственному значению соответствуют простые элементарные делители. Наличие в спектре нулевых собственных значений обусловлено тем, что потенциальная энергия системы осцилляторов не является положительно определенной функцией.
Введем матрицу B = [bij] (i, j = 1, … , 6), образованную соответственными собственными векторами матрицы A, а также матрицу B?1[вij] (i, j = 1, … , 6). В случае, при котором выполняется условие нормирования m = 1, элементы этих матриц определяются равенствами
(9)
(10)
Значения элементов, не содержащиеся в равенствах (9), (10), равны нулю.
Пусть x = [x1 … x6]T ? вектор диагональных переменных xj. Производя диагонализацию ДС (1) путем преобразования u = Bx [10], в результате получим
(11)
где D = B?1AB - диагональная матрица, элементы которой - спектр собственных значений матрицы A системы (1), а вектор-столбец f(x) = B?1F(Bx). Здесь применено свойство подобия матриц A, D, согласно которому они имеют одинаковые спектры [11].
Введем параметры
(12)
и вспомогательные переменные
(13)
Система уравнений (11) в диагональных переменных имеет вид
(14)
В системе (14) не представлены уравнения, содержащие величины x?3, x?5, поскольку , и эти уравнения восстанавливаются по данным уравнениям этой системы. Здесь черта сверху ? символ комплексного сопряжения.
В уравнениях (14) обозначено:
(15)
Динамическая система (14) с учетом присоединенных к ней уравнений, содержащих обладает независимыми алгебраическими инвариантами
(16)
Здесь c0 = (2c)?1 > 0; h, H ? постоянные интегрирования; величины m, у определяются равенствами (8).
Наличие инвариантов (16) позволяет рассматривать движение фазовой точки данной ДС не на всем многообразии пространства R6, а на некотором его подмногообразии меньшей размерности.
Специальная (факторизованная) форма
Приведем ДС (1) к форме, при которой матрица аддитивной линейной части преобразованной системы имеет антисимметричную квазидиагональную структуру вида {2, 2, 2}
[12, c. 103]. Такое преобразование ДС назовем факторизацией системы (в специальном смысле). Эта факторизация достигается линейным преобразованием u = Gy, примененным А.М. Ляпуновым [13]. Здесь G = BZ ? матрица результирующего преобразования, где матрица Z образуется согласно [13]. В результате ДС (1) принимает вид
, (17)
где N = G?1AG, g(y) = G?1F(Gy).
Элементы матриц G = [gij], G?1 = [бij]
(i, j) = (1, … , 6) при m = 1 имеют вид
где s = 1, 3; величины в21, в23 определяются равенствами (10). Значения элементов, не содержащиеся в равенствах (18), равны нулю.
Система уравнений (17) в компонентах yj (j = 1, … , 6) вектора y = [y1 … y6]T с учетом подобия матриц A, N принимает вид
(19)
В уравнениях (19) коэффициенты определяются равенствами (8), (12), (15). Эта система уравнений удовлетворяет условиям теоремы Зигеля-Мозера о нормализации [1, 14].
Система (19) обладает независимыми алгебраическими инвариантами
являющимися аналогами равенств (7), (16).
Пусть K ? диагональная матрица, элементами которой являются упорядоченный набор квадратов собственных значений матрицы A. Линеаризуя ДС (19) в окрестности ее точки покоя, в силу малости величин отклонений | yj | получаем
(20)
Нормализованная система (20) представима в виде уравнений движения материальной точки единичной массы в конфигурационном y-пространстве R6, происходящего в консервативном силовом поле с потенциалом
(21)
и интегралом энергии
(22)
Согласно выражениям (21), (22) ДС (20) относится к системам Лиувилля [4], представленным в нормализованной форме.
Сопоставим движению изображающей точки фазового пространства движение материальной точки единичной массы в конфигурационном y-пространстве, подчиняющееся динамической системе с интегралом (22). Введём y-гиперплоскость (ГП) переменных yj ( j = 1, … , 6) и функцию V (y) = U (y) + h* в силу равенства (22). Ветви траектории V(y)= 0 в этой ГП разделяют область существования траекторий системы с интегралом (22) на подобласти, в каждой из которых величина V (y) знакоопределенна. Тогда траектории данной системы содержатся целиком в ограниченной области ГП, для которой V (y) > 0. Следовательно, если точка в некоторый фиксированный момент времени ф = ф* находится в ограниченной области ГП, охваченной замкнутой ветвью траектории V (y) = 0, то эта точка для любых значений также будет находиться в данной области. Такое движение точки является устойчивым по Г. Гиллю - К. Болину - Г. Дарвину (термин ограниченной задачи трех тел [4]).