Простейшие движения системы осцилляторов
Рассмотрим примеры интегрирования представленных ДС, относящиеся к некоторым простейшим движениям осцилляторов. Такими движениями, в частности, являются либрационное и лимитационное движения (термины [15, 16]).
Либрационное движение
Пусть r, s (r2 + s2 = 1), p, щ, Щ ? заданные параметры движения ДС (1), значения которых (кроме, возможно, s) отличны от нуля. При этом ?1 < s < 1, g = n + s ? 0 и m1 ? 1, m3 ? ? 1. Положим, что k = m3 = 0, в силу чего a = 1 ? m1, b = 1, m1 + m2 = 0. Для векторов u*(up) ( p = 1, 2, 3), u*(ur) (r = 4, 5, 6) примем условия инвариантности их норм
(23)
где (D1, D2) = const.
Из многообразия состояний ДС (1) выделим движение, удовлетворяющее условиям (23), в силу чего можно принять
(24)
Согласно уравнениям ДС (1) в силу выражений (24) и принятых условий имеют место определяющие соотношения
(25)
Из системы уравнений (25) получаем условия
, (26)
, (27)
которым удовлетворяют значения параметров состояния системы.
Соотношения (24) определяют стационарное (по параметрам Щ, щ, p и одному из параметров r, s) движение, удовлетворяющее условиям инвариантности (23). Если при этом постоянные компоненты u3, u6 взаимосвязаны соотношением
,
то данное движение является аналогом регулярной прецессии, причем тогда
Если выполняется дискриминантное условие
,
то имеют место два режима стационарного движения, соответствующие двум различным действительным корням Щ1, Щ2 уравнения (26) и, соответственно, двум значениям параметра щ, определяемым равенством (27). При D = 0 имеет место лишь один режим движения, для которого
а при D < 0 данное движение не существует.
Лимитационные движения
К этим движениям отнесем такие, для которых при ф > +? вектор y достигает определенного конечного предела.
Движение первого рода
Для параметров факторизованной ДС (19) введем ограничения
, (28)
в силу чего имеем
К условиям (28) присоединим следующие:
| y1(ф)| << n (29)
В силу первого условия (29) в ДС (19) пренебрегаем аддитивными членами, содержащими величину y1. При этом предполагается, что вновь образованная ДС обладает свойством динамической определенности и обе системы уравнений динамически эквивалентны в смысле [17].
В результате интегрирования данной ДС имеем
(30)
Решение (30) соответствует лимитационному движению системы с предельным при ф > +? вектором состояния y ( y1*, 0, … , 0), где . Это означает, что все отклонения y3, … , y6 экспоненциально асимптотически при ф > +? затухают, а вариация y1 асимптотически приближается к предельному значению y1*.
Движение второго рода
Рассмотрим предельный (вырожденный) случай ДС (1), при котором
(31)
Интегральное многообразие системы (1) при условиях (31) (предельной системы) является особым многообразием, не содержащимся в множестве ее решений для общего случая.
Следуя А.М. Ляпунову [13], ищем частное решение предельной системы в виде
(32)
где ap, ar - постоянные, подлежащие определению, такие, что и ar = 0 для одного фиксированного значения из r = 4,5, 6.
В силу выражений (32) из данной системы следуют определяющие уравнения
(33)
Система уравнений (33) имеет два решения; первое из них есть
(34)
Рассмотрим знаки ненулевых величин mp, mr, ms, где (p, r, s) = 1, 2, 3 и все p, r, s - различные. Если в равенствах (34) mp > 0, то следует принять (mr, ms) > 0; в случае, при котором mp < 0, следует выбрать (mr, ms) < 0.
Второе решение системы уравнений (33) имеет вид
(35)
где a4, a6 - формально произвольные постоянные.
Соотношения (32), (34), (35), определяющие решение предельной ДС (1) при ограничениях (31), можно рассматривать как главные части некоторых асимптотических при ф > +? разложений лимитационных решений данной системы. Остальные аддитивные элементы этих разложений имеют более высокие порядки малости по сравнению с их главными частями.
Таким образом, предельное при ф > +? состояние данной ДС соответствует ее асимптотическому равновесию [18] в начале координат.
Режим резонанса
Для линейной подсистемы, входящей в ДС (1), может иметь место режим внутреннего резонанса (термин задач небесной механики). Поскольку параметр у, устанавливаемый равенством (8), определяет отношение частот в линейной подсистеме, то, полагая у = 1, получаем
(36)
где m1 ? 1, m3 ? ? 1.
Соотношение (36) выражает условие существования простого внутреннего резонанса типа 1:1 (условие "захвата в резонанс" [1]). Этому соотношению на евклидовой плоскости параметров a, b, определяемых равенствами (4), отвечает гипербола с уравнением
(37)
не распадающаяся при kn ? 0.
В полупространстве {a, b, k2} равенству (36) соответствует гиперболический цилиндр с направляющей, определяемой уравнением (37). Это уравнение устанавливает k2-парамет-рическое множество резонансных поверхностей линейной подсистемы ДС (1) (k2 < +?).
Другие множества резонансных поверхностей данной системы имеют место при резонансах высших порядков, для которых у = 2, 3, …
Заключение
В монографиях [19?21] в качестве примера рассмотрена простейшая динамическая модель, описывающая состояние линейной трехатомной молекулы с симметричной равновесной конфигурацией. Эта линейная модель представлена системой трех взаимодействующих осцилляторов, находящихся на линейных упругих склерономных удерживающих связях в предположении, что взаимодействия между осцилляторами аддитивны (в силу линейности связей). На основе этой модели описаны простейшие движения объекта в евклидовом конфигурационном пространстве.
Для описания движения объектов более сложной структуры и многообразия их возможных состояний необходима более совершенная модель, адекватно отражающая свойства этих объектов относительно заданной совокупности их характеристик. Этим объясняется, в частности, попытка применения моделей, основанных на ДС (1), (14), (19). Относительно этих систем необходимо заметить следующее.
Ввиду малости величин вариаций в данных системах входящие в них аддитивные нелинейные члены при определенных условиях можно рассматривать как некоторые малые возмущения линейных осцилляторов в окрестности положения их устойчивого равновесия. Эти колебательные возмущения генерируются линейными подсистемами, аддитивно входящими в нелинейные динамические системы. Такого рода подход позволяет свести задачу о нахождении интегрального многообразия данных ДС к классической задаче о возмущенных линейных колебаниях [1] и воспользоваться известными методами ее решения. Эти методы разработаны в трудах Б.Ван дер Поля, Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского, В.В.Волосова, В.П. Маслова, Ю.К.Мозера и Г.Е.Джакальи.
Список литературы
1. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.
2. Арнольд В.И. и др. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники / Соврем. проблемы матем.: Фундам. направл. Т.3. М.: ВИНИТИ. 1985. 304 с.
3. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 303 с.
4. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.
5. Pain H.J. The physics of vibrations and waves. L.; N.Y.; Sydney; Toronto: John Wi-ley and sons. Ltd, 2006. 576 p.
6. Junkins J.L., Jacobson I.D., Blanton J.N. A nonlinear oscillator analog of rigid body dynamics // Celestial Mechanics. 1973. Vol.7, №4. P.398?407.
7. Vivarelli M.D. On the connection among three classical mechanical problems via the hypercomplex KS-transformation // Celestial Mechanics and Dynamic Astronomy. 1991. Vol.50, № 2. P.109?124.
8. Арнольд В.И.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. 239 с.
9. Додд Р. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.
10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 367 с.
11. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
12. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 4 т. М.: Наука, 1967. Т.3, ч. 1. 323 с.
13. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьк. матем. о-ва, 1892. 250 с. Переизд.: М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.
14. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959. 301 с.
15. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 635 с.
16. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 628 с.
17. Markus L. Jets and geneticity in qualitative dynamics // New Approach. Nonlinear Probl. Dyn. Proc. Conf. Asilomar Conf. Grounds. Pacific Grove. Calif., 1979. Philadelphia, 1980. P.418?430.
18. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 477 с.
19. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957. 408 с.
20. Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974. 223 с.
21. Лич Дж. У. Классическая механика. М.: ИЛ, 1961. 173 с.