Реферат
Физические фракталы
Петроченков Роман
Введение
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Явный пример вы можете видеть в окружающем нас мире: лист, облако, звезды… Все эти объекты относятся к физических фракталам. Основное их отличие от математических, что их самоподобие конечно (не существует бесконечных тел). Однако интерес ученых к фракталам вызван тем, что самые странные и необъяснимые объекты имеют фрактальные свойства: шаровая молния, космическая пыль и тп. Изучение фракталов вероятно даст возможность предсказывать все эти явления, узнать больше о их природе и возможностях.
Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Какие свойства придает это самоподобие и от чего оно зависит я и постараюсь раскрыть в своем реферате.
С начала я расскажу о математических фракталах. Ведь именно с них и началось изучение, и лишь потом были открыты физические фракталы, о которых я расскажу после математических. Так же мной будет затронута размерность фракталов. В конце я попытаюсь объяснить логику простой программы, которая будет определять по рисунку (или фотографии) является ли данный объект фракталом и какая у него размерность.
Целью своего реферата я ставил раскрытия понятия физического фрактала, попытки понять такие фракталы, узнать о особенностях. Понять и передаст на более легком уровне сложную тему.
Как задачи я ставил: сначала разобраться в математических фракталах, после этого разобраться с понятием размерность математического фракталы. После я постарался разобраться с темой физических фракталов. И под конец, связать размерность математического фрактала с физическим.
Математические фракталы
Самоподобие. Бесконечность.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В математических фракталах оно бесконечно. Можно неограниченное количество раз увеличивать ту или иную фигуру, и каждая ее часть будет содержать в себе информацию о всем фрактале.
Математические фракталы подразделяются на три основных группы: геометрические фракталы, алгебраические фракталы, стохастические фракталы.
Геометрические фракталы.
Геометрические фракталы являются самыми наглядными в своем роде. Одним из очень известных двухмерных представлений их в виде ломаной линии (рис. 1). Смысл заключается в том, что линия представляет собой некий алгоритм, при этом для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего фрактала необходимо заменить уменьшенным образующим элементом (n=1). Этот фрактал называют "звездой Коха".
В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев (рис. 1.1,1.2), кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).
Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью специальных сложных алгоритмов.
Существуют различные методы получения геометрических фракталов, А.А. Шабаршин, автор статьи "введение во фракталы" Введение во фракталы - Шабаршин А.А. Интернет источник: http://algolist.manual.ru/graphics/fracart.php. Ссылка действительна на 10.04.09 писал об этом так:
"Известно, что нелинейные динамические системы обладают несолькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры"
Как я понял, автор говорит, о том, что существуют системы, которые имеют некоторые устойчивые положения, где любое изменение может привести к глобальным изменениям. В качестве более бытового примера таких изменений: взмах крыльев бабочки в Африке вызвал в итоге цунами в Америке. Но есть и стабильные положения системы, которые, в свое время, образуют фрактальную структуру.
Алгебраические фракталы
Изначально, именно такой фрактал был открыт Мандельбротом. Алгебраические фракталы строятся по определенной функции или формуле. Самым известным является фрактал, названный "множеством Мандельброта" (рис. 2, рис. 3). Есть и более сложные алгебраические фракталы, пример которого виден на рисунке 1.3.
Стохастические фракталы.
Третьим классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
Размерность фрактала. Изложение ведется по статье Мичурина Алексея "Размерность фракталов". Интернет источник: http://www.michurin.com.ru/fractal-dim.shtml. Ссылка действительна на 10.04.09.
Для начала необходимо разобраться, что такое размерность и мера в принципе.
Размер объекта можно померить линейкой. В большинстве случаев размер получается малоинформативен. Если мы возьмем треугольник и равнобедренную трапецию (рис.6) и спросим: какая фигура больше, то, если сравнивать высоты - больше треугольник, если ширины --трапеция.
Сравнение размеров может быть информативным если предметы подобны друг другу (рис. 7).Теперь какие бы размеры мы ни сравнили: ширину, высоту, сторону, периметр, радиус вписанной окружности или любые другие, всегда получится, что один треугольник больше другого. Далее мы будем говорить о подобных объектах, поэтому "размер" нам пригодится.
Мера тоже служит для измерения объектов, но она измеряется не линейкой. О том, как именно она измеряется я расскажу позже, а пока важно сказать, что ее главное свойство для нас заключается в том, что мера аддитивна. Выражаясь на бытовом языке, при слиянии двух объектов, мера суммы объектов равна сумме мер исходных объектов. Для одномерных объектов мера пропорциональна размеру. Если взять отрезки длиной 1см и 3см, "сложить" их, то "суммарный" отрезок будет иметь длину 4см (1+3). Для не одномерных тел, мера вычисляется по некоторым правилам, которые подбираются так, чтобы мера сохраняла аддитивность. Например, если вы возьмёте квадраты со сторонами 3см и 4см и "сложите" их, то сложатся площади (9+16=25), то есть сторона (размер) результата будет 5см. И слагаемые, и сумма являются квадратами, то есть подобны друг другу и мы можем сравнивать размеры. Оказывается, что размер суммы не равен сумме размеров.
Как раз размерность и позволяет связать меру и размер.
Давайте обозначим размерность - D, меру - M, размер - L. Тогда формула, связывающая эти три величины будет имеют вид: M = LD.
Для привычных нам мер эта формула приобретает всем знакомые обличия. Для двухмерных тел (D=2) мерой (M) является площадь (S), для трёхмерных тел (D=3) - объём (V): S = L2, V = L3
Из всего сказанного нам следует сделать один вывод, что если фигуру уменьшить в N раз (отмасштабировать), то она будет укладываться в исходной ND раз. Действительно, если уменьшить отрезок (D=1) в 5 раз, то он поместится в исходном ровно пять раз (51=5); Если треугольник (D=2) уменьшить в 3 раза, то он уложится в исходном 9 раз (32=9).Если куб (D=3) уменьшить в 2 раза, то он уложится в исходном 8 раз (23=8).Верно и обратное: если при уменьшении размера фигуры в N раз, оказалось, что она укладывается в исходной n раз (то есть мера её уменьшилась в n раз), то размерность можно вычислить по формуле:
D = ln(n)/ln(N)
Дробная размерность.
Про дробную размерность обычно рассказывают на примерах различных ломаных. Я обращусь к одному из самых известных математических фракталов, называемым "Звезда Коха".
Из построения и рисунка(рис.8) видно, что "звезду" можно разбить на четыре равные части, при этом размер (скажем, длина исходного отрезка) каждой части будет равен трети размера исходной фигуры. То есть будучи уменьшена в три раза, она уложится в себе четыре раза. Автор статьи пришел к следующему уравнению, которое подразумевает собой использование логарифмов, о которых я пока не в силах рассказать, т.к. это относится к более высокому уровню математики:
D = ln(4)/ln(3) ? 1.26185950714291487419
То есть это уже не просто отрезок или ломаная (длина звезды Коха бесконечна), но и не плоская фигура, полностью покрывающая некоторую площадь. Если мы слегка модифицируем алгоритм построения и будем извлекать не 1/3 отрезка, а 1/9, то ломаная получится более плотной (рис.9).
Какова же её размерность? Теперь фигура уложится сама в себе четыре раза после уменьшения в 9/4 раза, то есть размерность можно вычислить по той же формуле:
Как видите, "плотность" покрытия сразу отразилась на размерности.
В случае, когда мы имеем несколько коэфицентов масштабирования, мы можем воспользоватся аддитивным свойством меры, и говорить, что мера полного фрактала, равна сумме мер его частей:
M0 = M1 + M2
И сам фрактал, и его части имеют одинаковую размерность (D) и мы можем выразить меры, через размеры: L0D = L1D + L2D
Таким образом, если фрактал образован из N подобных элементов, с коэффициентами подобия k1, k2 ... kN, то его размерность можно найти из уравнения:
1 = k1D + k2D + ... + kND
Физические фракталы.
В моей работе я постараюсь затронуть лишь некоторые виды физических фракталов. Основное и практически единственное их отличие от математических - отсутствие бесконечного самоподобия.
Частыми примерами являются: космическая пыль, шаровая молния, облака… Все тела, фрактального вида, имею особые свойства. Свойства в своем роде зависят от разных факторов вплоть до строения протонов и ядра атомов.
Первое, о чем бы я хотел рассказать, это космическая пыль, рассматривая ее с точки зрения физического фрактала.
Космическая пыль.
Космические пылинки Изложение ведется по статье сайта "НАУЧНАЯ СЕТЬ" "Свойства космической пыли" - С.В. Божокин Интерент источник: http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1182805&uri=text1.html#02. Ссылка действительна на 10.04.09 возникают в основном в медленно истекающих атмосферах звезд - красных карликов, а также при взрывных процессах на звездах и бурном выбросе газа из ядер галактик и тп. Во всех процессах образования космических пылинок температура газа падает при движении газа наружу и в какой-то момент переходит через точку росы, при которой происходит конденсация паров веществ, образующих ядра пылинок. Центрами образования новой фазы обычно являются кластеры. Кластеры представляют собой небольшие группы атомов или молекул, образующие устойчивую квазимолекулу. При столкновениях с уже сформировавшимся зародышем пылинки к нему могут присоединяться атомы и молекулы, либо вступая в химические реакции с атомами пылинки, либо достраивая формирующийся кластер. В наиболее плотных участках межзвездной среды, рост пылинки может быть связан с процессами коагуляции, при которых пылинки могут слипаться друг с другом, не разрушаясь при этом. Эти процессы, зависящие от свойств поверхности пылинок и их температур, идут только в том случае, когда столкновения между пылинками происходят при низких относительных скоростях соударений.
На рис. 4 показан процесс роста кластеров космической пылинки с помощью присоединения частиц. Получающаяся при этом космическая пылинка может представлять собой кластер атомов, обладающий фрактальными свойствами. Модель фрактальной космической пылинки показана на рис. 5.
Шаровая молния
Не менее интересным фракталом, но крайне мало исследованным, является шаровая молния. Природные шаровые молнии возникают редко в непредсказуемых местах, исследовать их с помощью приборов не удавалось. Наблюдения очевидцев ненадежны: "от страха глаза велики", т.к. где-то в половине случаев шаровая молния исчезает со взрывом. В лабораторных условиях удавалось получать разряды в газе, похожие на шаровую молнию, но утверждать, что это именно она нет оснований. На русском языке есть несколько книг, в которых описаны наблюдения очевидцев и перечисляются возможные объяснения. Все авторы сходятся в том, что при встрече с шаровой молнией надо вести себя как при встрече с большой злой собакой: все время смотреть на нее и избегать резких движений. С точки зрения теории - основная проблема объяснить большое время жизни шаровой молнии. Одна из наиболее продвинутых теорий предложена в книге Б.М. Смирнова "Проблема шаровой молнии" М., Наука, 1988 "Проблема шаровой молнии".. Основным предположением является то, что шаровая молния - фрактальный объект, образованный случайно соединившимися частичками углерода. За счет фрактальности у этого объекта низкая плотность и очень большая площадь поверхности, что обеспечивает возможность легко передвигаться в воздухе и долго поддерживать энерговыделение при не интенсивном окислении.