Материал: Физические основы защиты информации. Бабурин А.В., Пахомова А.С

. (3.7)

Для описания процесса преобразования принятого разведприемником электромагнитного колебания с целью принятия решения о наличии сигнала разведываемого РЭС, учитывая требование «незанижения» оценки возможностей разведки, воспользуемся положениями теории оптимального приема.

При решении задач в рамках этой теории ответ должен быть получен на основе как предварительных (априорных) сведений о сигнале и помехе, так и результатов анализа данных, содержащихся в принятом колебании.

По сравнению лишь с некоторыми априорными сведениями о принятом колебании, знания наблюдателя об исследуемой ситуации в результате анализа принятого колебания увеличиваются.

Анализ и обработка принятого колебания (t) с целью принятия определенного решения могут осуществляться двумя методами: дискретным и непрерывным.

Если наблюдение производится в отдельные моменты времени (дискретное наблюдение), то информация о принятых данных будет заключена в случайных величинах ₁=(t₁),…,(t_m)= (t_m), представляющих выборочные значения принятого колебания  (t) в моменты времени t₁, t₂,…, t_m из интервала наблюдения Т: t₀  t_i  t₀+T, i=1,2,…,m. Чаще всего дискретные значения берутся через равноотстоящие моменты времени, т.е t_i  t_i+1 = .

Выборочные значения принятого колебания (t) описываются совместной плотностью вероятности W_m (₁, ₂, …, _m), а соответствующие выборочные значения шума n(t) - плотностью вероятности w_m (n₁, n₂, …, n_m).

Предположим, что производится дискретное наблюдение, и сигнал s(t)=s(t,) зависит от одного параметра , имеющего априорную плотность вероятности W_pr().

Все, что можно узнать о параметре после приема колебания, заключено в условной вероятности

, (3.8)

называемой апостериорной вероятностью.

Согласно известной теореме об умножении вероятностей, имеем

(3.9)

Отбрасывая левую часть равенства и учитывая, что не зависит от интересующего нас параметра , на основании формул (3.8) и (3.9) можно записать

, (3.10)

где коэффициент k определяется из условия нормировки.

Рассматриваемая, как функция от , условная вероятность называется функцией правдоподобия. При фиксированных значениях она показывает, насколько одно возможное значение  более правдоподобно, чем другое. Обозначим функцию правдоподобия через L() :

. (3.11)

Тогда формулу (3.9) можно записать в окончательном виде

, (3.12)

где

. (3.13)

Формула (3.12), по существу, представляет математическую запись теоремы Байеса, которая показывает, каким образом из априорных данных и результатов анализа принятого колебания формируются априорные знания.

Формула (3.12) может быть обобщена. Если параметр  может принимать только одно из нескольких дискретных значений _v, то можно записать

(3.14)

где

. (3.15)

Если сигнал зависит от  параметров ₁, ₂, …, _, т.е.

(3.16)

то формула примет вид:

(3.17)

где

. (3.18)

Из формул (3.12), (3.14) и (3.17) видно, что при известных априорных плотностях вероятностей нахождение апостериорной вероятности сводится к вычислению функции правдоподобия.

В том случае, когда принятое колебание представляет аддитивную смесь сигнала и шума, т.е.

(3.19)

и многомерные плотности вероятности шума известны, функции правдоподобия вычисляются сравнительно просто. В других же случаях их вычисление представляет весьма сложную задачу.

Далее мы ограничимся рассмотрением того важного, но частного случая, когда принятое колебание (t) представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала s(t) и нормального белого шума n(t). При этом значение спектральной плотности шума N₀ будем предполагать известным.

Рассмотрим простейший метод дискретного наблюдения, когда отсчеты берутся через равноотстоящие отрезки времени. Разобьем интервал времени (t₀, t₀+T) равноотстоящими точками t₁, …, t_m, где t_i  t_i1 =  = const, i=1,2, …, m. Обозначим средние за элементарный интервал времени значения колебания (t), сигнала s(t, ), и шума n(t) соответственно через

(3.19)

(3.20)

Очевидно, что

(3.21)

Будем считать, что в выражении для функции правдоподобия (3.11) фигурируют указанные средние значения _i. При этом имеется ввиду, что в дальнейшем нас будет интересовать предельный случай 0.

Вычислим сначала совместную плотность вероятности для случайных величин n_i, i=1, 2, …, m.Случайные величины n_i являются нормально распределенными и согласно (3.19) имеют следующие характеристики:

.

Поэтому совместная плотность вероятности имеет вид

.(3.22)

Подставляя значения n_i из (3.21) в (3.11) и учитывая, что якобиан преобразования от переменных n_i к переменным _i равен единице, получаем формулу для функции правдоподобия параметра :

. (3.23)

Таким образом, при дискретном наблюдении формула (3.12) принимает следующий окончательный вид:

, (3.24)

где

. (3.25)

Если параметр  может принимать несколько значений ₁, ₂, …, _v, то в формулу (3.14) нужно подставлять функцию правдоподобия при соответствующем значении параметра .

Путем аналогичных рассуждений нетрудно убедиться, что для сигнала (3.16), зависящих от нескольких параметров, функция правдоподобия, входящая в формулу (3.17), имеет вид:

.(3.26)

Рассмотрим теперь случай непрерывного наблюдения. Чтобы перейти к случаю непрерывного наблюдения, нужно в формулах (3.22), (3.25) и (3.26) перейти к пределу при 0. При этом информация о случайном процессе  (t) будет заключаться в форме реализации, т.е. в том, какой конкретный вид имеет функция  (t) на интервале (t₀, t₀+T). Разумеется, что при непрерывном наблюдении в общем случае получаются более точные результаты, чем при дискретном, так как в случае непрерывного наблюдения используется информация, содержащаяся во всей реализации  (t), а не только в отдельных выборочных значениях ₁, …, _m. При 0 плотности вероятности W_m и w_m перейдут в соответствующие функционалы вероятности, а функция правдоподобия – в функционал правдоподобия. Введем для них следующие обозначения:

. (3.27)

, (3.28)

где множитель k_, зависящий только от , подбирается так, чтобы предел имел смысл.

Осуществляя предельный переход при соответствующем подборе k_, получим

. (3.29)

. (3.30)

Таким образом, при непрерывном наблюдении формула (3.12) принимает следующий окончательный вид:

(3.31)

где F() - функционал правдоподобия.

С учетом изложенного обоснуем оптимальную схему обнаружения сигнала для практически важного частного случая, когда сигнал носит детерминированный характер, а неизвестный параметр  может принимать только одно из двух значений:  =1 (в принятом колебании присутствует сигнал) и =0 (в принятом колебании сигнал отсутствует).

Пусть принятое колебание  (t) представляет сумму

, (3.32)

где n(t) белый нормальный шум, s(t) - полезный сигнал известной формы (детерминированный сигнал), полностью расположенный на интервале наблюдения. Тогда при =1 принятое колебание можно представить как

,

а при = 0

.

Что касается априорных сведений о параметре , то будем полагать, что априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала W_pr(1) и W_pr(0) известны.

По принятой конкретной реализации  (t) необходимо решить оптимальным (в некотором смысле наилучшим) образом, какое именно значение имеет параметр , т.е. присутствует или отсутствует сигнал в принятой реализации. Иначе говоря, нужно найти такой метод обработки принятого колебания  (t), который бы позволял наилучшим образом обнаруживать наличие сигнала на фоне шума.

При непрерывной обработке принятой реализации апостериорная вероятность наличия детерминированного сигнала ( =1) определяется формулой

.(3.33)

Апостериорная вероятность отсутствия сигнала (=0), очевидно, равна

(3.34)

причем

(3.35)

Хотя апостериорные вероятности содержат максимум сведений относительно наличия или отсутствия сигнала, однако практически от приемника-обнаружителя требуется просто один из двух ответов: есть сигнал или нет. Естественно считать, что решение о наличии или отсутствии сигнала должно приниматься путем сравнения апостериорных вероятностей по определенному правилу.

Для выяснения этого правила обратимся к рис. 3.2. На рисунке приведены четыре реализации случайного колебания: первые две изображают шум на выходе согласованного фильтра q_п, а две другие - сумму сигнала и шума q=q(l). Пусть установлен некоторый порог Н. Для конкретных реализаций, приведенных на рисунке, замечаем, что шум в первой реализации не превышает порога. Во второй реализации хотя сигнала и нет, однако выброс шума превышает порог. В третьей реализации сумма сигнала и шума превышает порог, а четвертая реализация, несмотря на наличие сигнала, не достигает порога.

г)

Рис. 3.2. Четыре возможных случая при обнаружении

сигнала на фоне шума

Из рассмотренных четырех случаев в двух случаях (первом и третьем) будет принято правильное решение, а в двух (втором и четвертом) - неправильное. Если взять другой порог Н, то описанная ситуация может измениться.

Из такого качественного рассмотрения приходим к выводу, что при конечном значении энергии сигнала и наличии случайного шума принятие решения о наличии или отсутствии сигнала всегда сопровождается ошибками двух видов:

1) несмотря на отсутствие сигнала, шум превосходит порог и принимается неправильное решение о наличии сигнала (ошибка первого рода),

2) хотя сигнал присутствует, но пороговый уровень не превышен и принимается ошибочное решение об отсутствии сигнала (ошибка второго рода).

Обозначим вероятность ошибки первого рода через Р_о=Р(10) и вероятность ошибки второго рода через Р₁=Р(10). Для этих вероятностей можем написать формулы:

. (3.36)

Средняя вероятность общей (суммарной) ошибки равна

, (3.37)

а вероятность правильного обнаружения сигнала равна:

. (3.38)

Согласно критерию идеального наблюдателя пороговый уровень Н устанавливается таким, чтобы вероятность общей ошибки Р_е была минимальной и, соответственно, вероятность правильного решения максимальной. Таким образом, оптимальный характер идеального наблюдателя состоит в том, что он минимизирует вероятность суммарной ошибки или, иначе, максимизирует общую вероятность правильного решения.

Чтобы правая часть равенства (3.37) имела минимум, нужно приравнять производную по H нулю. В результате получим, что если для принятой реализации окажется

W_ps(H1)/ W_ps(H0)> 1, (3.39)

то следует констатировать факт наличия сигнала, и наоборот.

Подставив в (3.39) выражения апостериорных вероятностей из (3.33) и (3.34), получим, что решение о наличии сигнала принимается при выполнении неравенства

. (3.40)

Учитывая монотонный характер логарифмической функции и логарифмируя обе части этого неравенства, содержащего положительные величины, получим

(3.41)