Документ: Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения. Колодяжный С.А, страницы 101-105

Серия «Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения» Выпуск № 2(13), 2016

Введено понятие плотности теплоёмкости открытой системы
N´(C) = MJ´( ) .	(2)
M

Целью данной работы является подробное описание поведения вырожденного идеального электронного газа при низких температурах и при абсолютном нуле.

Термодинамические характеристики идеального ферми-газа как закрытой


системы. Согласно [3] число квантовых состояний частицы, не имеющей спина, с модулем
импульса	O, движущейся в объёме куба периодичности				( = 5P	(5 -	длина ребра куба) в
квазиклассическом случае для идеального газа равно: QP = ( RTSUP.
В квазиклассическом случае [3] величина Q, как и O считается непрерывной величиной,
изменяющейся от 0			до ∞. Поэтому, дифференцируя это выражение, получим элементарное
число квантовых состояний частицы со спином W, модулем импульса O, движущейся в
объёме	(	куба	периодичности:	3YQZ[Q = 3Y( POZ[O,		где	Y = 2W + 1. Тогда

распределение Ферми-Дирака можно теперь записать в следующей дифференциальной

форме [3]	M
[` (Q) = 3Y
		,	(3)
	abcd(e( ) f)(g )hi j )

а термодинамические характеристики идеального ферми-газа как закрытой системы ( ≠ 0) можно представить так [3]

D6

=

m [`(Q) = 3Y

m

M

,

(4)

abcd(e f)(g )hi j )

l6

2 =

m n(Q)[`(Q) = 3Yn)

m

oM

,

(5)

)hi j )

l6

l6 abcd(e f)(g

p = G − D6 = − 9( = − 3YrC l6m lnu1 + expy( − n(Q))(rC)−1z{ Q2[Q , (6)

n(Q) =

T

где

. В (6) произведём интегрирование по частям, получим [3]

Z !

m

oM

p = G − D6 = − 9( = − 2Yn)rC l6

,

(7)

abcd(e f)(g )hi j )

T

где n) =

, а p = − 9( - большой термодинамический потенциал Гиббса.

Z !

газа, который

является ферми-газом,

Для

идеального электронного

также

величина

Y = 2 Z) +1 = 2.

Определение температуры вырождения идеального электронного газа. При понижении температуры химический потенциал идеального газа, оставаясь отрицательным, уменьшается по абсолютной величине и при некоторой температуре C6 обращается в нуль ( = 0) [3]. Эта температура носит название температуры его вырождения C6, а идеальный газ при C ≤ C6 называется вырожденным. Полагая в уравнении (4) = 0 и C = C6, получим для идеального электронного газа

101

Научный Вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

m

M

D6 = 6 l6

,

(8)

abc(~ ) j )

где •6 =

T

. Введём новую переменную

? = QZ. Тогда согласно [5]

Z !g

m

M

)

m

(√Z ))Г(!) ƒ„!…

€ M€

l6

= Z l6

=

!

,

(9)

abc(~ ) j )

abc(~ €) j )

(Z~ )

где †„!… ≈ 2,612,

Г„!… =

√‡

. Подставляя (9) в (8) и решая это уравнение относительно C6,

Z

найдём температуру вырождения идеального электронного газа

T

Lо΄

C6 =

ˆ

Š!

.

(10)

!

g

P√‡ (√Z )) ƒ„ …

Вычисление температуры вырождения идеального ферми-газа, состоящего из электронов. Рассмотрим гипотетический идеальный ферми-газ, состоящий из частиц, масса которых равна массе электрона Q6 = Q‹ = 0,91 · 10 P6 кг, а спин W = )Z в единицах , т.е.


газ из невзаимодействующих электронов. По определению [6] число структурных элементов
(атомов, молекул, ионов и т.д.) в			1 мP одного моля вещества, находящегося в состоянии
идеального	газа при нормальных		условиях (9 = 1,01325 · 10‘ Па = 760 мм рт. ст., (f =
2,2414·10−2 м3моль−1		есть число Лошмидта		DЛ=2,68·1025 м−3. Будем с помощью
изохорического процесса ((f = const) в данном невырожденном идеальном электронном газе
приближаться к температуре его вырождения.				В этом случае D6΄ = DЛ,	так как в
невырожденном идеальном газе			D6 = const,	r = 1,38 · 10 ZP Дж К ),	= 6,626 ·
10 P¡ Дж с.	Подставляя в (10) все данные, получим температуру вырождения идеального
электронного газа C6 = 976К.
Однокомпонентный вырожденный идеальный электронный газ. Перепишем
уравнения (4) – (7) в терминах открытых систем,				учитывая, что для открытых систем (при
C < C6) = 0, а D → D΄,		2 → 2΄,	G → G΄ и ( = (f


m		M
D΄ = 6(f ) l6				,
	abc(~ ) j )
m		oM
2΄ = 6•rC(f ) l6					,
		abc(~ ) j )
		m	oM
G΄ = − 9 = − 4•rC(f ) l6						.
			abc(~ ) j )

(11)

(12)

(13)

где • =	T	. В интеграле из (13) введём новую переменную	? = QZ. Тогда согласно

	Z £ !g
	¤

[5]

m	oM
l6
l6	abc(~ ) j )

!

¥h

M€

¥ ¥

=

) m

€ M€

) m

€

=

Г( )ƒ„ …

(1 − 2 · 2

¥

)

, (14)

abc(~€) j )

Z l6

= Z l6

¥

Z~

102

Серия «Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения» Выпуск № 2(13), 2016

	¥	¥	P√‡		= 0, будем считать
где	†„ … ≈ 1,341,	Г„ … =	¡	. Электроны, у которых	= 0, будем считать

принадлежащими одному компоненту. Припишем им название «свободных». Смысл этого названия выяснится дальше. Таким образом, построена однокомпонентная модель вырожденного идеального электронного газа. Подставляя (14) в соответствующие уравнения (11) – (13), получим для вырожденного однокомпонентного идеального электронного газа

!

Dсв΄ = 3

¦

(√

2 − 1) ƒ„!…(g £ )

,

(15)

√

T!

ƒ„¥…(g £

!

2св΄ = 9 ¦

rC(2√

2 − 1)

)

,

(16)

√

¡T!

5

3

†R2U(rQ§C)

Gсв΄ = − 9св = − 3√¦rC(2√2 − 1)

2

.

(17)

2 3

Lсв΄( )

!

= R

U

(f = const, а

D(C6) = D6.

Из уравнения (15) следует, что

, учитывая, что

Lсв΄( )

Как известно [6], число структурных элементов (в нашем случае электронов) в единице количества вещества (в одном моле) есть число Авогадро DА = 6,022 · 10ZP моль ). Если все

идеальные газы брать в количество одного моля, то согласно закону Авогадро D6 = D" ≈ 6,0 · 10ZP. Тогда получим следующий закон уменьшения числа «свободных» электронов в вырожденном идеальном электронном газе при понижении в нём температуры

					!
Dсв(C) = D" R				U .		(18)
Dсв(C) = D" R				U .		(18)
Можно показать, что		3(2√2−1)†R5UrC
2св΄(C) =		3(2√2−1)†R5UrC			Dсв΄(C) .
		2				(19)
		3				(19)
		4(√2−1)†R U
		2
9св(C) =	(Z√Z ))ƒ„¥…g		Dсв΄(C) .
9св(C) =		!	Dсв΄(C) .			(20)
		Z(√Z ))ƒ„ …

Уравнение (20) представляет собой уравнение состояния вырожденного идеального электронного газа, состоящего из «свободных» электронов. Очевидно, оно справедливо в интервале температур (0 < C ≤ C6). Согласно [3] это уравнение в то же время описывает один единственный процесс в открытой равновесной системе – убыль в ней числа частиц с уменьшением в ней абсолютной температуры по закону в (18). Плотность энтропии вырожденного идеального электронного газа как открытой системы можно получить из уравнения (1)

Hсв΄(C) = M7св( ) =	5(2√2−1)†R25Ur	Dсв΄(C) ,	(21)
	3
M	4(√2−1)†R U
	2

а плотность теплоёмкости вырожденного идеального электронного газа получим, используя формулу в (2)

103

Научный Вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

Nсв΄(C) = MJсв΄ ( ) =	)‘(Z	√	Z ))ƒ„¥…g	Dсв΄(C) .
Nсв΄(C) = MJсв΄ ( ) =		√	!	Dсв΄(C) .	(22)
M	:(√Z ))ƒ„ …

Недостатки однокомпонентной модели вырожденного идеального электронного газа. Полученный выше вырожденный идеальный электронный газ представлен только одним компонентом, состоящим из «свободных» электронов, химический потенциал которых равен нулю. Нетрудно убедиться, что все термодинамические характеристики этого компонента при абсолютном нуле обращаются в нуль:

Dсв΄(0) = 0, 2св΄(0) = 0, Gсв΄(0) = 0, 9св΄(0) = 0, Hсв΄(0) = 0, Nсв΄(0) = 0, (23)

Это означает, что, если вырожденный идеальный электронный газ считать однокомпонентным, то он при абсолютном нуле исчезает. Очевидно, что это просто


абсурдно. Нетрудно видеть, что такие результаты получены вследствие того, что идеальный
электронный газ рассматривался в квазиклассическом приближении (квантовое число Q
изменяется от 0	до	∞), которое противоречит квантовой механике [3]. Введём другое
приближение: а именно, будем считать, что квантовое число									Q	является непрерывной
величиной, которое		изменяется уже	от	1		до		∞. Такое		приближение назовём
квазиквантовым	(как	бы квантовым)	[3]. При			таком		приближении наименьшая энергия
			n) =			T
частицы согласно (9)		имеет значение					. Теперь скапливающиеся на уровне

энергии n) ≠ 0					Z !
	частицы с учётом принципа Паули уже должны									вносить свой вклад в

энергию и давление вырожденного идеального электронного газа. Совокупность таких частиц можно рассматривать как новый компонент этого вырожденного электронного газа («конденсат» вырожденного идеального электронного газа).

Понятие о двухкомпонентной модели вырожденного идеального электронного газа. Следуя терминологии, развитой в работе [3], введём два компонента вырожденного идеального электронного газа: один состоит частиц, «осевших» на самых нижних уровнях

энергии с учётом принципа Паули («конденсат»), другой состоит из «свободных» частиц.
Этим компонентам припишем различные температуры: «конденсату»	C = 0, а другому

компоненту температуру C. Термодинамические характеристики компонента, состоящего из

«свободных» частиц, найдены выше при квазиклассическом приближении. При рассмотрении этих компонентов в квазиквантовом приближении необходимо в уравнениях (11) – (13) производить интегрирование по квантовому числу Q уже в пределах от 1 до ∞.

Однако можно показать, что такое изменение пределов интегрирования не влияет на результаты, полученные ранее. Найдём химический потенциал частиц «конденсата». По определению [7]

						ос = Dос)„2ос + 9ос(f… = n) + 9ос©f ,		(24)
где ©f =	¤	, n)	=	T		. Здесь учтено, что для частиц «конденсата»		C = 0. Очевидно, что
	Lос
				Z £ !
n) > 0 ,	9ос©f		> 0 .		¤		> 0 , т.е. ≠ 0. Таким образом, «конденсат»
					Следовательно, и

представляет собой закрытую систему. Отметим, что в любой замкнутой закрытой термодинамической системе должен выполняться закон сохранения её частиц. В невырожденном идеальном электронном газе как закрытой системе таких частиц D". При переходе этого газа в вырожденный газ это число частиц должно сохраняться ввиду замкнутости термодинамической системы. Для вырожденного идеального электронного газа, состоящего только из одного компонента («свободных» частиц) этот закон не выполняется: при понижении температуры число частиц в нём уменьшается по закону (18), так как он представляет собой открытую систему. Поэтому для того, чтобы закон сохранения частиц в

104

Серия «Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения» Выпуск № 2(13), 2016

замкнутой системе выполнялся и для вырожденного идеального электронного газа необходимо введение второго компонента, в который переходили бы частицы из первого компонента. Для двухкомпонентной модели вырожденного идеального электронного газа

этот закон сохранения частиц запишется так [3]	!

D" = Dос + D" R		U .	(25)

Из (25) следует, что при понижении температуры в вырожденном двухкомпонентном идеальном электронном газе происходит переход «свободных» частиц из одного компонента в другой («конденсат»). Процесс накопления фермионов на самых нижних уровнях энергии с учётом принципа Паули при понижении температуры идеального электронного газа ниже его температуры вырождения C6 будем называть «конденсацией Ферми-Дирака». Это понятие было впервые введено в работе [8]. Сделаем одно важное замечание, Так как компонентам приписаны различные температуры, то между ними не может быть никакого термодинамического равновесия: химический потенциал частиц компонента, представляющего «конденсат», ос ≠ 0, а химический потенциал частиц компонента, состоящего из «свободных» электронов, св = 0. Таким образом, ос ≠ св. Равновесное состояние между числом частиц каждого из компонентов при любой температуре из интервала температур (0 < C ≤ C6) устанавливается с помощью закона сохранения частиц в замкнутой системе (уравнение (25)).

Понятия граничного квантового числа, граничной энергии и граничного импульса для «конденсата». Отметим, что самый нижний уровень энергии фермиона согласно квазиквантовому приближению n) ≠ 0. Согласно принципу Паули при абсолютном нуле все D" фермионов полностью заполняют все нижние состояния (в каждом состоянии только один фермион) от Q = 1 до некоторого граничного значения Q# в случае

квазиквантового приближения. Согласно [3] для идеального ферми-газа это математически запишется так

D" = 3Y l) « Q2[Q ,				(26)
где для электронов Y = 2. После интегрирования получим:			D" = 2(Q#P − 1) ≈ 2Q#P . Из
этого уравнения находим значение граничного квантового числа				Q# или квантовое число
Ферми для идеального электронного газа при абсолютном нуле

Q# = R	L¬	U! .		(27)
	Z

Впервые понятие граничного квантового числа для идеального ферми-газа при абсолютном нуле Q# = RL-¬U! было введено в работе [9]. Тогда граничная энергия или энергия Ферми


для идеального электронного газа, находящемся при абсолютном нуле. Равна

n# = n(Q#) =	T	®	L¬		¯! .		(28)
	Z £		Z ¤
Величина

O# = (2Q‹n#))⁄Z = ®				L		¯! .	(29)
				Z ¤

носит название граничного импульса или ферми-импульса идеального электронного газа при абсолютном нуле.

Термодинамические характеристики «конденсата». Пусть в вырожденном идеальном электронном газе на самых нижних уровнях энергии согласно принципу Паули

105

Материал: Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения. Колодяжный С.А

Смотрите также: