Документ: Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения. Колодяжный С.А, страницы 96-100

Научный Вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

e	= u,	r	−kw + 0.5w,2	−zw,	rr	; e =	u	− kw − z	w,r	.	(4)

r			r			ϕ	r		r

Примем оболочку достаточно тонкой, при этом будут использоваться традиционные для данного класса задач технические гипотезы Кирхогфа-Лява:

1)нормаль к срединной поверхности после деформации остается перпендикулярной к этой поверхности в деформированном состоянии;

2)при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных

напряжений σz можно пренебречь.

Вывод разрешающих уравнений. Рассматривается несвязанная задача термоупругости, поэтому она распадается на две независимые задачи: механики сплошной среды и термодинамики. Чтобы получить уравнения, учитывающие температурное воздействие, к уравнениям необходимо добавить соответствующие компоненты температурных деформаций.

В качестве физических зависимостей будем использовать соотношения, предложенные в работе А.А.Трещева [1]. Для конкретизации структурной анизотропии материала оболочки принято ортотропное тело.

С учётом принятых гипотез и при совпадении осей сферической системы координат с главными осями анизотропии физические зависимости запишем в виде:

er = (A1111

+ B1111αr )σr

+ [A1122 + B1122

(αr + αϕ )]σϕ + α1T DT ;

(5)

eϕ = [A1122

+ B1122 (αr + αϕ )]σr

+ (A2222

+ B2222αϕ )σ

ϕ + α2T DT ,

где

Akkkk ,

Bkkkk , Aiijj , Biijj ,

Aijij ,

Bijij –

константы, зависящие

от модулей

упругости и

коэффициентов поперечной

деформации

материала

при

растяжении

и

сжатии;

αr

= σr S ,

αϕ = σϕ S –

нормированные напряжения;

S =

σr2 + σϕ2 – модуль

вектора

полных напряжений; α1Т , α2Т – коэффициенты линейного теплового расширения.

Вычисление констант определяющих соотношений для материалов, обладающих анизотропией, рекомендовано выполнять по результатам простейших экспериментов на одноосное растяжение и одноосное сжатие вдоль главных осей анизотропии, из экспериментов на сдвиг в главных плоскостях или из экспериментов по одноосному растяжению и одноосному сжатию в направлениях, ориентированных под углом 45º к главным осям анизотропии [1]. При этом константы для ортотропного тела вычисляются по формулам:

A = (1/ E + +1/ E − )/ 2;

B = (1/ E +

-1/ E

− )/ 2;

kkkk

k

kkkk

k

A = -(ν +

/ E +

+ν − / E − )/ 2;

B = -(ν +

/ E

+ -ν

−

/ E − )/ 2;

iijj

ij

j

ij

j

iijj

ij

j

ij

j

= (1/ E + +1/ E − )

+

−

A

- 0.25 (1/ Ei

+1/ E j +

1/ Ei

+1/ E j )- ;

ijij

ij

- 2(ν + / E + +ν − / E − )

ji

i

ji

i

+

−

B =

2(1/ E + -1/ E − )- 0.125 ×

2 × (1/ Ei +1/ E j

-1/ Ei

-1/ E j

)- ,

ijij

ij

- 4(ν + / E + -ν − / E − )

ji

i

ji

i

где νij+ / E +j

=ν +ji / Ei+ ; νij− / E −j

=ν −ji

/ Ei−;

Ek± , Ei± ,

E ±j

–

модули упругости при растяжении и

сжатии в

направлениях

соответствующих

главным

осям

анизотропии;

νij± , ν ±ji –

коэффициенты поперечной деформаций при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главным осям анизотропии; Eij± – модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях под углом 45° к соответствующим главным осям анизотропии.

96

Серия «Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения» Выпуск № 2(13), 2016

Преобразовав физические зависимости (5) по типу уравнений, используемых в форме метода упругих решений А.А. Ильюшина [2] и выразив напряжения через деформации, получим:

σr = C11er + C12eϕ − R11 −ϕ1T ;

(6)

σ

ϕ = C12er + C22eϕ − R22 −ϕ2T ,

где С

= A

/ ; С = −A

/

;

С

22

= A / ;

= A

1111

A

− A2

;

11

2222

12

1122

1111

2222

1122

R11 = (A2222T11 − A1122T22 )

;

R22

= (A1111T22 − A1122T11 )

; T11 = B1111αrσr

+ B1122 (αr +αϕ )σϕ ;

T22 = B2222αϕσϕ + B1122 (αr

+αϕ )σr ;

ϕ1T

= C11α1T T + C12α2T

T ; ϕ2T = C12α1T T + C22α2T T .

Принимая за основу те или иные определяющие соотношения, мы не вносим изменений в соотношения статико-геометрической природы. Поэтому остаются справедливыми положения и зависимости геометрически нелинейной теории анизотропных оболочек. Внутренние усилия и моменты приводятся к срединной поверхности z = 0 , и при условии zk <<1 уравнения равновесия для пологих сферических оболочек принимают вид:

M r ,rr −Mϕ ,r r + 2M r ,r r + k(Nr + Nϕ )+ Nr w,rr	= −q;
Nr ,r +(Nr − Nϕ ) r − k[M r ,r +(M r − Mϕ ) r]= 0.	(7)
Nr ,r +(Nr − Nϕ ) r − k[M r ,r +(M r − Mϕ ) r]= 0.

Поскольку переход от напряжений к усилиям и моментам не зависит от физической природы материала, эти характеристики определим обычным способом, с учетом соотношений (4) и (6):

h / 2

σr dz = C11 (u,r

)+ C12

u

∫

2

−ε1T ;

N r

=

h − kwh + 0.5hw,r

h − kwh − I11

−h / 2

r

h / 2

u

2

Nϕ

=

∫

σϕ dz = C12 (u,r h − kwh +

0.5hw,r

)+ C22

h

− kwh

− I

22

−ε2T

;

−h / 2

r

(8)

h / 2

− w,rr h

3

M r

=

∫

− w,r h

σr zdz = C11

12

+ C12

12r

− J11 − χ1T ;

−h / 2

h / 2

− w,rr h

3

M ϕ

=

∫

− w,r h

− J

22 − χ2T ,

σϕ zdz = C12

12

+ C22

12r

−h / 2

h / 2

где Iii = ∫Rii dz;

Jii =

∫Rii zdz; εiT

= ∫ϕiT dz;

χiT =

∫ϕiT zdz.

−h / 2

Подставляя в уравнения равновесия (7) соотношения для усилий (8), получим систему разрешающих дифференциальных уравнений:

97

Научный Вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

2P

P

uh

2

- P w,

rrrr

-

11

w,

rrr

+w,

rr

22

+ C hu,

r

+C

- S w + 0.5C h(w,

r

)

+

2

11

r

11

12

r

11

r

- P22

2

S22

+

3

w,r +0.5S11 (w,r )

- kw(S11 + S22 )+ S11u,r

+

u - w,rr

(I11

+ ε1T

)-

r

1

- J

,

-χ

,

-

(2J

,

-J

,

+2χ

,

-χ

,

)

- k(I

+ I

+

ε

+ ε

)= -q;

11

rr

1T

rr

11

r

22

r

1T

r

2T

r

11

22

1T

2T

r

(9)

P k

k

h(C - C

)

2

P kw,

+w,

C hw,

+

11

+ w,

- S

- P

+

0.5

11

12

(w,

)

+

11

rrr

rr

11

r

11

22

r 2

r

(S

22

- S

)

C h

C

22

h

+

11

w + C hu,

+

11

u,

-

u -

r

r 2

11

rr

r

1

[I11 - I 22 + ε1T - ε2T - k(J11 - J 22 + χ1T - χ2T )]= 0,

- I11 ,r +kJ11 ,r -ε1T ,r +kχ1T ,r -

r

где P = C

h3

;

S = kh(C

+ C

);

S

= kh(C

+ C

).

12

ij

11

12

22

12

Полученную систему разрешающих уравнений необходимо дополнить граничными условиями. Так как оболочка по периметру имеет жесткую заделку, то принимаем на контуре оболочки радиальные перемещения, прогибы и угол поворота срединной поверхности в радиальном направлении равными нулю ( u = 0, w = 0 , w,r = 0 ), а в центре

оболочки поворот нормали к срединной поверхности, радиальные перемещения и градиент

радиального

момента

по

радиусу

равными

нулю

( w,r = 0, u = 0,

M

,

= C

- w,rrr

h

3

+ C

- w,rr h

3

- J

,

-χ

,

= 0 ).

r

11

r

1T

r

11

12

12r

Температурная составляющая задачи. Разница температур на внутренней и внешней поверхности оболочки вносит значительную корректировку в результаты расчета НДС конструкций [3 – 6]. Для определения температурных компонент в уравнении (9) следует отдельно рассмотреть задачу о передаче тепла через поверхность оболочки. Процесс теплопередачи описывается классическим уравнением теплопроводности:

∂T	= a ×T ,		+a		×T ,		+a		×T ,		,
		rr		2		ϕϕ		3		zz
¶t	1

где a1 , a2 , a3 – коэффициенты температуропроводности, характеризирующие

теплоинерционные свойства тела.

Наиболее часто встречающиеся на практике задачи связаны со стационарным одномерным температурным полем с температурным перепадом по толщине конструкции. В этом случае температура зависит только от одной координаты (например z) – нормали к изотермическим поверхностям.

В компактной форме для одномерного случая уравнение теплопроводности запишется в виде: T ,t = a3T , zz , где t – текущее время; a3 = λс – коэффициент температуропроводности;

λ – коэффициент теплопроводности; с – удельная объемная теплоемкость тела.

Так как оболочка достаточно тонкая и коэффициент температуропроводности рассматриваемых материалов относительно велик, то установление линейного распределения температуры по толщине оболочки наступает достаточно быстро в течение короткого промежутка времени. В связи с этим целесообразно рассматривать момент времени, когда распределение температуры установилось.

98

Серия «Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения» Выпуск № 2(13), 2016

В определенный момент времени, когда будет наблюдаться установившееся температурное распределение по толщине оболочки, для вычисления перепада температур T в любой точке по толщине можно воспользоваться линейным законом распределения

температуры:

T (z )= (T2 −T1 )z h + (T1 +T2 )2 −T0 ,

где T1 – температура на внутренней поверхности оболочки; T2 – температура на внешней поверхности оболочки; T0 – начальная температура оболочки.

Заключение. Для рассматриваемой несвязанной термоупругой задачи о деформировании пологой сферической оболочки из анизотропных разносопротивляющихся материалов была выведена система разрешающих уравнений. Так как задача является нелинейной как физически, так и геометрически, планируется провести линеаризацию полученных разрешающих дифференциальных уравнений, следуя методике последовательных нагружений В.В.Петрова [7], а затем с помощью метода конечных разностей получить систему линеаризованных алгебраических уравнений. Решать систему предполагается дважды на каждом этапе нагружения согласно двухшаговому методу последовательного возмущения параметров В.В.Петрова [7]. Это позволит многократно сократить погрешность линеаризации методом последовательных нагружений и уменьшить требуемое количество шагов по нагрузке и затраты машинного времени.

Список литературы

1.Трещёв А.А. Теория деформирования и прочности материалов с изначальной или наведенной чувствительностью к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. – М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2016. 328 с.

2.Ильюшин А.А. Пластичность. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.

3.Трещёв А.А., Спасская М.В. Решение задачи термоупругости для цилиндрической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося материала // Известия ТулГУ.

Технические науки. 2014. Вып. 11: в 2 ч. Ч. 2. С. 567-575.

4.Трещёв А.А., Спасская М.В. Термоупругое деформирование цилиндрической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. №1(23). С. 65-74.

5.Делягин М.Ю. Исследование НДС сферической оболочки из разносопротивляющегося материала в условиях термомеханического нагружения с помощью МКЭ // Научно-технический вестник Поволжья. 2013. №4. С. 40-45.

6.Трещёв А.А., Делягин М.Ю. Моделирование оболочки из изотропного разносопротивляющегося графита с помощью объемных конечных элементов с учетом связанности напряжений и температур // Materials Physics and Mechanics. 2013. Vol. 17. No 1. P. 59-70.

7.Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно деформируемого материала : учеб. пособие. – М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. 208 с.

________________________________________________________________________________

Трещёв Александр Анатольевич - д.т.н., профессор, заведующий кафедрой ССМиК Тульского государственного университета. Email: taa58@yandex.ru. Тел.:+79056229058

Спасская Мария Владимировна - аспирант кафедры ССМиК Тульского государственного университета. Email: ma71ruska@mail.ru. Тел.:+79207767160

99

M7( ) = H´(C) .

M

Научный Вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

УДК 536.75

Б.Л. Павлов, А.И. Никишина, Е.Г. Давыдова

ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ВЫРОЖДЕННОГО ИДЕАЛЬНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА

Показано, что в интервале температур			0 < C < C6 (C0 –	температура вырождения)
идеальный электронный газ распадается на два компонента: первый состоит из Dос					частиц,
«осевших» на самых	нижних	уровнях	энергии электрона	согласно принципу	Паули
(«конденсат»), второй –	из Dсв	«свободных» частиц, имеющих химический потенциал = 0.

Переход частиц из второго компонента в первый трактуется как конденсация ФермиДирака. Предлагается модель полностью вырожденного идеального электронного газа.

.

Ключевые слова: открытые и закрытые равновесные системы, температура вырождения, двухкомпонентный вырожденный идеальный электронный газ, конденсация Ферми-Дирака

B.L. Pavlov, A.I. Nikishina, E.G. Davydova

TWO-COMPONENT MODEL OF A DEGENERATE IDEAL ELECTRON GAS

It is shown that in the temperature range 0 < C < C6 (C0- degeneracy temperature) ideal electron gas breaks down into two components: the first consists of Dос particles "settled" on the lowest electron energy levels, according to the Pauli principle ("condensate"), the second - Dсв of "free" particles having a chemical potential = 0. Transition of particles from second component in the first is considered as the condensation of Fermi-Dirac. It is proposed model of completely degenerate ideal electron gas.

Keywords: open and closed equilibrium systems, the degeneration temperature, two-degenerate ideal electron gas, the Fermi-Dirac condensation

Введение. Термодинамика открытых равновесных систем (систем с переменным числом частиц D) была впервые развита в работе [1], а её применение к различным разделам физики в [2] и, наконец, в монографии [3]. Краткое содержание монографии изложено в обзор-рецензии [4]. В этих работах показано, что условием открытости однокомпонентной системы является равенство нулю химического потенциала её частиц ( = 0). Введен единственный термодинамические параметр открытой однокомпонентной системы: абсолютная температура C. Вместо таких обычных термодинамических характеристик закрытой системы, как свободная энергия G, внутренняя энергия 2, энтропия H, постоянное число частиц D6, для открытой системы введены её термодинамические характеристики,

которые представляют собой объёмные плотности этих физических величин: 9 = G´ = #,

2´ = J, H´ = K, D´ = L, являющиеся функциями только одной абсолютной температуры C. В

открытой системе существует только один равновесный процесс 9 = 9(C), связанный с изменением числа частиц в ней при изменении температуры. Получено уравнение состояния в неявной форме (последнее одновременно является и уравнением равновесного процесса, происходящего в них)

(1)

________________________________________________________________________________

100

Материал: Физико-химические проблемы и высокие технологии строительного материаловедения. Колодяжный С.А

Смотрите также: