Материал: Формирование готовности к самообразованию у старшеклассников

Решение: пусть < АВС = Х, тогда дуга АMС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается). <АОС - <АВС = 30 гр. (по условию), 2х-х =30, х=30

< АВС = 30, <АОС = 2×30 = 60

Ответ: < АВС = 30 гр., < АОС = 60 гр.

№ 3. Доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Дано: ∆ АВС - прямоугольный (<С = 90 гр.), вписан в окружность

Доказать: О - центр окружности

Доказательство: все углы, опирающиеся

на диаметр прямые → если < С = 90 гр., то АВ - диаметр, но АВ - гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине гипотенузы АВ.

№ 4. Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3,5. Найдите все углы четырехугольника.

Дано: АВСД - четырехугольник, вписанный в окружность, < А: <В: <С = 4: 3: 5

Найти: <А =?, <С=?, < В=?, < Д=?

Решение: < А + < С = 180 гр., < В + < Д = 180 гр.,

(т. к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 гр.), обозначим: Х - Общая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х< А + < С = < В + < Д, < А + < С = 180 гр., < А = 4 Х<А= 80 гр.

Х + 5 Х = 3Х +<Д

Х + 5 Х = 180 гр.,

< В = 3 Х <В = 60 гр.

< Д = 6 Х

Х = 180 гр.

<С = 5Х

<С = 100 гр.

Х = 20 гр.

< Д = 6 Х

< Д = 120 гр.

Ответ: <А= 80 гр., <В = 60 гр., <С = 100 гр., < Д = 120 гр.

№ 5. В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О - точка их пересечения. Доказать, что около четырехугольника ВDОЕ можно описать окружность.

Дано: ∆ АВС, О - точка пересечения СD и АВ

Доказать: Около ВДОЕ можно описать окружность

Доказательство: рассмотрим четырехугольник ВDОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180гр. (n - 2) = 180 гр. (4 - 2) = 360⁰

< В + < D + < О + < Е = 360, но < D = 90 гр. и < Е = 90 гр. (по условию) < D + < Е = 90 гр.+ 90 гр. = 180, < D + < Е = 180 гр., <В + 90 гр.+ < О + 90 гр. = 360 гр.,< В + < О + 180 гр. =360 гр.,

< В + < О = 180 гр.

< В + < О = < D + < Е

В четырехугольнике ВDОЕ сумма противоположных углов равна 180. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность.

№ 6. Найдите радиус окружности к задаче № 5, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см.

Дано: ВDОЕ вписан в окружность

<ВDО = 90 гр., <ВЕО = 90 гр.

Найти: R =?

Решение: все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО - диаметр окружности.2R = 10, R = 5 см.

Ответ: R = 5 см.

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ступень.

1.      Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет с её хордой угол в 37гр.23'? (ответ: 105 гр.14')

2.      Дуга содержит 117 гр.23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги. (ответ: 148 гр.41'30'')

.        АВС - секущая; ВД - хорда; U ВД содержит 43 гр.; U ВДС содержит 213 гр.41'. Определить <АВД. (ответ: 94 гр.39'30'')

4.      Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую 17/32 окружности.

(ответ: 84 гр.22'30'')

.        Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37 гр.21'? (ответ: 285 гр.18')

6.      Дуга содержит 84 гр.52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда? (ответ: 137 гр.34')

.        Хорда делит окружность в отношении 5: 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду. (ответ: 123 гр.45'; 56 гр.15')

.        АВ и АС - две хорды, U АВ содержит 110 гр.23'; U АС содержит 38 гр.. Определить <ВАС. (ответ: 105 гр.48'30'' или 36 гр.11'30'')

.        Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130 гр., а большая делится хордой АС в отношении 31: 15 (начиная от А). Определить <ВАС. (ответ: 37 гр.30')

.        Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72 гр.30'; U АВ: U АС = 19: 24. Определить эти дуги.

(ответ: 95 гр. и 120 гр.)

2 ступень

1.      Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5: 2.

2.      Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117 гр.23'; и U АВД содержит 42 гр.37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД

.        В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51 гр.20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ?

.        АВ - диаметр; С, Д и Е - точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = < ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60 гр. и дуга ВЕ содержит 20 гр.

.        Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части.

.        Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность - сторонами треугольника?

.        Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником.

.        Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.

.        Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.

.        Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3: 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Углы в окружности

.        На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.

2.      Две окружности пересекаются в точках А и В, САД - секущая. Доказать, что величина угла СВД не зависит от положения секущей.

.        Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС.

4.      АВ - диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д радиуса ОС проведена хорда ЕК гр. АВ. Доказать, что угол АВЕ в два раза меньше угла СВЕ.

5.      Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС I АО. Через точку С проведена касательная до пересечения с продолжением ОА в точке Е. Доказать, что прямая СА - биссектриса угла ВСЕ.

.        В треугольнике АВС АА₁ и ВВ₁ - высоты. Доказать, что точки А, В, А₁, и В₁ лежат на одной окружности.

.        Доказать, что геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, диаметр которой в два раза меньше диаметра данной.

.        В треугольнике АВС сторона ВС меньше стороны ВА. Из В, как из центра, описана окружность радиусом ВС, которая пересекла сторону СА в точке Е и сторону ВА - в точке Д. Доказать, что угол ДЕА в два раза меньше угла АВС.

.        В окружности проведены хорды АВ ⃦ ЕД и АС ⃦ КД. Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.

Приложение 2

Лист учета знаний, умений и навыков по теме: "Вписанный угол"