Контрольная работа: Функции Бесселя

Функции Бесселя

Федеральное государственное образовательное бюджетное

учреждение высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

Кафедра «Прикладная математика»

Дисциплина «Дифференциальные уравнения»

Домашнее творческое задание

На тему  «Функции Бесселя»

Выполнила:

Студенка гр. ПМ2-1

Голубева В.И.

Проверил:

Свирщевский Сергей Ростиславович

Москва - 2014

Оглавление

Введение

. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

. Бесселевы функции первого рода

. Общее решение уравнения Бесселя

. Функции Бесселя полуцелого порядка

. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя

. Применения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Свой жизненный путь Бессель начал торговым служащим.  В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г.В. Ольберса. В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И.И. Шрётера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кёнигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни. Бессель является одним из основоположников астрометрии  Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо  дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.

Функции Бесселя в математике - семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

х2 у'' + ху' + (х2 - ν2)у = 0

где ν - произвольное вещественное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя - функции целых порядков.

Хотя ν  и (-ν) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ν). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

1.     

1. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

.         (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

,   ,   ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

.   (2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , ,  предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть  есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

;     ;

;  ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

,    ;

,    .

Таким образом, , ,  должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

, (3)

,     ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , ,  удовлетворяют уравнениям (3), то  есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя  в левую часть (2) и деля затем на , получим:

.

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , ,   - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае ,  называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой  (вместо ), а неизвестную функцию - буквой  (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

.   (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

2.      Бесселевы функции первого рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда ( по теореме о разложении в обобщённый степенной ряд):

.

Тогда

,

,

,

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

           ,

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе  можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если  не является целым отрицательным числом). Взяв  , ( Г-гамма-функция Эйлера) найдем последовательно:

,

,

,

и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений  и, следовательно, является решением уравнения (4) в области  (в случае целого  в области ).

Функция

                                                                     (5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса  получим:

,    (5`)

*Г-функция является гомоморфным продолжением последовательности факториалов для любого натурального n: Г(n)=(n-1)! и, в частности,

.  (5``)

3.      Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса  функции  и  являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

.    (6)

Если  (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что  равно нулю для …), принимает вид:

                      (5```)

или, после замены индекса суммирования  на ,

, (7)

откуда видно, что  удовлетворяет вместе с  уравнению Бесселя

.

Но формула (6) в случае целого  уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

             ( - не целое)      (8)

и дополняя это определение для  (целое число) формулой:

,    (8`)

получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от  (в случае , где  - целое). Функция  называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

.  (9)

4.      Функции Бесселя полуцелого порядка

Хотя в общем случае функции Бесселя не выражаются через элементарные функции, в частном случае полуцелого порядка это возможно:

,   (10)

Остальные порядки могут быть получены с помощью рекуррентного соотношения:

.    (11)

5.      Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя

. Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя, которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой x на −ix. Это уравнение имеет вид: