Контрольная работа: Функции Бесселя

22+v2) =0   (12)

Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода:

  (13)

где Iv(x) и Kv(x) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода.

2. Дифференциальное уравнение Эйри, известное в астрономии и физике, записывается в виде:

   (14)

Его также можно свести к уравнению Бесселя. Решение уравнения Эйри выражается через функции Бесселя дробного порядка :

(15)

. Дифференциальное уравнение вида

   (16)

отличается от уравнения Бесселя лишь множителем a2 перед x2 и имеет общее решение в следующем виде:

(17)

. Похожее дифференциальное уравнение

   (18)

также сводится к уравнению Бесселя

   (19)

с помощью подстановки

  (20)

Здесь параметр n2 обозначает

(21)

В результате, общее решение данного дифференциального уравнения определяется формулой

    (22)

6.      Применения

дифференциальный уравнение лаплас бессель

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

·              электромагнитные волны <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B> в цилиндрическом волноводе <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4>;

·              теплопроводность <http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&action=edit&redlink=1> в цилиндрических объектах;

·              формы колебания тонкой круглой мембраны

·              распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.

·              скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

·              волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Заключение

Сегодня в качестве математического аппарата во многих отраслях современной прикладной математики, математической физики и технических приложениях широко используются функции Бесселя и цилиндрические функции. Области приложения этих функций крайне разнообразны. Они обеспечивают очень быструю и корректную сходимость решений целого ряда прикладных задач, которые могут быть так  или иначе сведены к уравнению Бесселя. Интерес математиков и инженеров к специальным функциям матфизики не угасает.

Список использованной литературы:

1.      Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, Москва 2002

.        Балакин А.Б. Лекции по теории функции Бесселя, Казань 2009.

.        http://www.math24.ru/bessel-equation.html

.        http://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_Бесселя

5.      Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики т.1 <http://page-book.ru/search/?sb=4&q=%D0%9A%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D0%A0.%20%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%20%D0%94.%20%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D1%82.1> <http://page-book.ru/i46486>

.        И.Г. Араманович, В.И. Левин. Уравнения математической физики. 1969.