Контрольная работа: Функции полезности

Функции полезности

Введение

Сегодня финансовый анализ стал активнее и активнее использовать сложный математический инструментарий, используемый в различных точных науках, например, физике. Дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, математический анализ - все это используется, чтобы еще точнее прогнозировать случайные процессы на финансовых рынках.

Данное исследование находится на стыке количественных финансов и поведенческой теории, которая описывает различные психологические особенности поведения человека, которые можно математически формализовать. Темой этой работы является получение субъективной функции полезности, которая бы могла описывать состояние рынка ценных бумаг, и могла описывать поведение рынка в зависимости от тех или иных сигналов, влияющих на ценовой процесс. Актуальность этого исследования обусловлена практической направленностью, поскольку результат можно будет использовать при принятии решений на финансовых рынках.

Объектом исследования является формализм Йенса Якверта, связывающий функцию полезности с наблюдаемым ценовым процессом. Субъектом является функция полезности Дэниэля Канемана, выведенная эмпирически, но не имеющая явного вида.

Данное исследование является логическим продолжением предыдущих работ, где рассматривалось решение формализма Якверта с целью обнаружить эмпирическую функцию полезности с заданными свойствами, отличающимися от традиционных вариантов функций полезности, описанных в научных работах. В рамках данной работы были рассмотрены различные варианты поиска эмпирической функции полезности, которая присуща фондовому рынку, где были учтены предыдущие ошибки и методы, которые не смогли дать необходимого результата ввиду ограниченности используемого математического аппарата.

Принципиальным отличием данного исследования является отказ от получения функции полезности напрямую из уравнения Якверта. Проблема заключалась в том, что мы должны знать 2 из трех слагаемых уравнения такие, чтобы они имели одинаковую природу с точки зрения разрешимости с помощью математического аппарата. Приняв неизвестной функцию полезности, мы были вынуждены использовать эмпирическую субъективную функцию плотности вероятности и риск-нейтральную функцию плотности вероятности, которые имеют разную природу, что приводило к неразрешимым известным методам дифференциальному уравнению.

Таким образом, мы можем выбрать неизвестной одну из функций плотности вероятности. Для данной работы были рассмотрены несколько подходов, где в качестве известных были приняты вид эмпирической функции и функции полезности. Это было сделано для того, чтобы иметь возможность оценивать параметры на наблюдаемых доступных рыночных данных.

Рассмотрим общую методологию решения поставленной задачи.

В главе 1 мы проанализируем вывод формализма Якверта, который базируется на идее стохастического ядра ценообразования и меры неприятия риска Пратта-Эрроу.

В главе 2 мы будем оценивать получение вида эмпирической функции плотности вероятности, как ее называл сам Якверт «субъективной», а поиску соответствующих параметров это функции на эмпирических данных.

В главе 3 мы обсудим метод оценки премии опционов на покупку с помощью одних лишь рыночных данных, как альтернативу модели Блэка - Шоулза. Данный подход маловероятно возможно использовать как метод прогнозирования рынка, однако он может служить неким ориентиром для оценки априорной премии опциона.

Глава 4 будет посвящена параметризации риск-нейтральной функции плотности вероятности, полученной при решении формализма Якверта. Параметризация будет проведена на нескольких горизонтах для исполнения опционов.

В пятой главе мы рассмотрим «теорию перспектив», разработанную Дэниэлем Канеманом и Амосом Тверски. Это исследование является ключевым для данной работы, так как описывает свойства функции полезности, которые мы хотим использовать для анализа склонности/несклонности к риску субъективного рынка.

Глава 6 посвящена описанию подхода для обнаружения свойств функции полезности Канемана-Тверски на финансовом рынке, а также их использования для построения торгового правила.

Для произведения расчетов и обработки данных использовалось программное обеспечение MathCAD 15.

1. Формализм Якверта

В первой части работы мы рассмотрим, как Якверт связывает между собой меру абсолютного избегания риска, которая находится из формулы Пратта-Эрроу:

,

риск-нейтральную плотность вероятности и эмпирическую плотность вероятности.

Она выводится из максимизации функции полезности от будущего уровня богатсва:

W - будущее богатство- субъективное распределение- функция полезности, независящая от возможных состояний рынка

λ - теневая цена- 1+безрисковая процентная ставка- временной горизонт- риск-нейтральное распределение

Дифференцируя по уровню богатства, находятся условия первого порядка равновесия. Якверт говорит, что в условиях равновесия инвестор склонен удерживать портфель, тогда, если S - приходящие дивиденды от портфеля между состояниями рынка, условие равновесия будет устанавливаться следующим равенством:

Основная трудность дальнейшего поиска функции избегания риска заключается в поиске λ, однако Якверт находит простое решение этой проблемы с помощью использования риск-нейтрального распределения. Для этого нужно еще раз продифференцировать функцию полезности:

Как уже было установлено, функция полезности по Канеману которые будут рассматриваться далее являются возрастающей и вогнутой. Естественно, что свойство вогнутости функции полезности не может быть гарантировано уравнением (8). Теперь можно записать функцию избегания риска по Якверту:

Теперь, когда функция избегания риска не зависит от теневой цены рынка, можно оценить ее только с помощью доступных рыночных данных.

2. Оценка физической плотности вероятности для оценки риск-нейтральной плотности

Для начала мы должны получить форму физической плотности. В данной главе мы рассмотрим такое решение, которое не только даст нам функцию плотности вероятности, но и функцию полезности. Для этого мы используем задачу вариационного исчисления. Чтобы ее решить, необходимо составить функционал, куда входит финансовая переменная, функция ее распределения в форме первой производной, ограничения на первые три центральных момента этого распределения, ограничение на форму функции полезности, а также стохастическое ядро ценообразования:

Здесь  есть функция распределения финансовой переменной x,

- функция плотности вероятности для переменной,

 - имеют природу множителей Лагранжа,

u - первая производная функции полезности,

ν - вторая производная функции полезности,

ρ - ставка дисконтирования,

θ - доля безрискового актива в портфеле,

 - основа информационной энтропии по Клоду Шеннону:

,

здесь логарифм плотности вероятности представляет собой количество информации, получаемое от i-ого сообщения. Здесь мы используем натуральный логарифм для упрощения дальнейших выкладок, в работах Шеннона же использовался логарифм по основанию 2, так как в программировании сообщения зашифрованы двоичным кодом. Минус означает уменьшение энтропии с каждым новым сообщением хi или увеличение определенности.

Множитель альфа означает ограничение на матожидание функции плотности вероятности, бета - на стандартное отклонение, хота - на асимметрию. Оставшиеся ограничения обозначают формализм Стиглица, связывающий абсолютное и относительное неприятие риска.

Идея стохастического ядра ценообразования уходит в микроэкономику, а точнее в модель межвременного выбора. Она заключается в том, что потребление в текущий момент времени должно приносить тот же уровень полезности, что и отложенное потребление. В рамках нашей задачи подразумевается, что агент имеет две альтернативы: получить ликвидационную стоимость портфеля сейчас в момент времени t0 или находиться в позиции еще один период и получить ликвидационную стоимость в момент времени t1.

Решение вариационной задачи представляет собой ответ на вопрос, существует ли дважды дифференцируемая функция распределения, минимизирующую интеграл функционала, и какой она имеет вид? Чтобы ответить на него необходимо решить уравнение Эйлера-Лагранжа в частных производных. Полное решение вариационной задачи находится в приложении 1.

Итоговая форма функции полезности будет иметь следующий вид:

,

а функция плотности вероятности равна

Функция λ(x) является технической и не несет никакого финансового смысла, поэтому мы не будет доводить это решение до конца.

В дальнейшем мы также будем использовать упрощенную версию функции плотности, для нахождения которой использованы только ограничения на первые три момента.

. Получение риск-нейтральной функции плотности вероятности

Риск-нейтральную функцию плотности вероятности мы будем оценивать по теореме Бридена-Литценбергера, пользуясь статьей Figlevski, где описан практичесий подход к оценке риск-нейтрального распределения с помощью цен опционов.

Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования. Покупая акции и одновременно продавая опционы колл на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.

Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход, равный безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью.

Как уже было сказано выше, в этой работе мы не будем оценивать риск-нейтральную плотность с помощью формулы Блэка - Шоулза, так как плотность будет иметь другую природу. Во-первых, она предполагает использование нормального распределения, во-вторых, полученный в результате преобразований вид дифференциального уравнения не имеет решения с помощью известных методов, что было обнаружено в предыдущем исследовании данной проблемы. Вместо этого, воспользовавшись формализмом Якверта, найдем общий вид риск-нейтральной функции плотности вероятности:

Где K - нормировочная постоянная, p(x) - наблюдаемая субъективная функция плотности вероятности.

. Оценка риск-нейтрального распределения

Алгоритм оценки параметров риск-нейтрального распределения следующий:

)        Оценить параметры наблюдаемой субъективной плотности вероятности на эмпирической выборке

)        Подставить полученные параметры в уравнение для риск-нейтральной плотности вероятности

)        Оценить с помощью метода Фиглевски параметры функции полезности, подставив наблюдаемые значения опционов на покупку и на продажу

Принципиальным отличием данной работы от выполненных ранее является отказ от поиска явной функции полезности Канемана. Вместо этого, мы будем различными методами искать проявлении свойств этой функции на рынке ценных бумаг.

В качестве выборки мы используем дневные котировки акций компании Goldman Sachs. Напомним, что в качестве финансовой переменной мы будем использовать нормированные цены безрисковая ставка по 10-летним американским казначейским облигациям, премии опционов от 08.05.2016 с различными ценами исполнения, для которых торговались как опционы на покупку, так и на продажу. Для опционов мы исключаем те, которые находятся далеко вне денег, имеют слишком низкое значение премии.

Параметр Q в контексте исследования означает долю безрискового актива в портфеле, поэтому он будет определяться на интервале (0;1), хотя сами психологи вкладывали в него иное значение, допускающее значения больше единицы.

Такое значение обусловлено условиями Канемана - Тверски, которые будут рассмотрены ниже.

Параметризация будет осуществляться методом моментов. Его суть заключается в том, что мы минимизируем квадрат отклонения моментов распределения от моментов выборки. Так как мы используем нормированные цены, то область определения будет находиться в интервале [0;2].

Предварительно задав начальные значения параметров для оценки, приравняв площадь под интегралом к единице, а также задав ограничения на высоту хвостов, получим вектор значений параметров:

Несмотря на то, что визуально плотность выглядит почти симметрично, нельзя говорить о равном распределении увеличений и уменьшений нормированной цены. Так как рост и падение в два раза равны увеличению цены на 1 и уменьшению на 0,5. Важно будет учитывать этот нюанс, когда мы будем говорить о неодинаковом отношении к риску при росте и падении стоимости актива. Кроме того, выборка содержит 487 точек, когда стоимость актива была выше начальной цены и 848 - ниже.

5. Оценка опционов на покупку по теореме Бридена - Литценбергера

Теорема Бридена - Литценбергера говорит о том, плотность риск-нейтрального распределения равна второй производной премии оциона по цене исполнения. Если это верно, логично предположить обратное - премия опциона равна двойному интегралу риск-нейтральной функции плотности, продисконтированному к настоящему времени:

Подставив все параметры и упростив вид функции получим:

В качестве значения доли безрискового портфеля мы также, как и при параметризации, мы берем 0,8. Так как функция имеет экспоненциальный вид, то она, согласно «проклятью Эйлера», не интегрируема. Поэтому необходимо привести ее к интегрируемуму виду. Для этого воспользуемся разложением на характеристические многочлены по Гамбургеру - Ганкелю. В данной работе мы использовали 11 векторов. В результате получим следующую плотность, которая почти неотличима от исходной. Наблюдаются небольшие отклонения в хвостах распределения. Чтоб их ликвидировать, можно увеличить количество векторов. Однако нам необходимо лишь приблизительное решение, поэтому ограничимся таким видом.Так как вид функции плотности вероятности представляет собой экспоненциальную функцию (или многочлен), зависящий только от финансовой переменной, параметра Q, использовать его для оценки опционов невозможно, так как отсутствует цена исполнения.