Контрольная работа: Функции полезности

Из-за озвученных выше проблем сложно дать разумное финансовое объяснение этой зависимости. На данном графике мы видим, что при росте цены актива выше текущей цены, мы видим экспоненциальный рост премии опциона. Этот результат требует дальнейшего изучения, так как при понимании, как оценивать таким методом опционы на конкретную цену исполнения, можно получить достаточно простой метод оценки.

Данная проблема решена в работе Стивена Фиглевски. Он дает следующее определение премии опциона:

Здесь St - текущая цена подлежащего активаx - цена исполнения опциона

r - безрисковая ставка

thau - время до исполнения

Используя рыночные данные по опционам на акции Goldman Sachs, мы можем оценить параметры риск-нейтральной функции плотности вероятности. Для этого оценим все параметры используемой функции на опционах на покупку и на продажу методом наименьших квадратов:

Данная процедура выполнена на опционах с разными датами до погашения в приложении 5.

Где y1 - вектор параметров для опционов с датой исполнения на 20.01.2017, y2 - на 21.10.2016 и y3 - 20.05.2016.

Мы видим, что плотность эволюционирует со временем, что позволяет оценить, как отношение к риску зависит от временного горизонта.

Теперь, когда мы имеем необходимую методологию для решения поставленной задачи, рассмотрим теорию перспектив, а также свойства функции полезности.

. Теория перспектив Дэниэля Канемана

Чтобы оценить функцию полезности, мы должны вменить ей какие-то свойства, иначе оценить константы в решении дифура не представляется возможным. Для этого мы рассмотрим теорию перспектив Дэниэля Канемана, где с помощью эмпирического исследования он выявил определенные свойства для функции полезности экономических агентов.

Она исходит из того, что традиционная теория ожидаемой полезности не выдерживает эмпирической проверки. Это было доказано Морисом Алле, когда он выдвинул свой парадокс Алле.

Тогда Дэниэль Канеман и Амос Тверски с помощью опросов провели эксперимент, который должен был определить способы принятия решений в условиях неопределенности. Рассмотрим некоторые задачи, рассмотренные в их работе, которые дают нам определенные свойства функции полезности:

Таблица 1

	Игра на плюс	Игра на минус
Задача 1 N=95	(4000;0,80)<(3000;1) [20] [80]	(-4000;0,80)>(-3000;1) [92] [8]
Задача 2 N=95	(4000;0,20)>(3000;0,25) [65] [35]	(-4000;0,20)<(-3000;0,25) [42] [58]
Задача 3 N=66	(3000;0,90)>(6000;0,45) [86] [14]	(-3000;0,90)<(-6000;0,45) [8] [92]
Задача 4 N=66	(3000;0,002)<(6000;0,001) [27] [73]	(-3000;0,002)>(-6000;0,001) [70] [30]

Количество респондентов обозначено за N, в квадратных скобках дано процентное количество, выбравшее ту или иную лотерею.

Как видно из таблицы, предпочтения в левой части являются зеркальным отражением правой. Исходя из этого, делаются три главных вывода:

·        избегание риска в случае игры на плюс заменяется склонностью к риску в случае возможных убытков;

·        как в правой части таблицы, так и в левой нарушаются принципы теории ожидаемой полезности;

·        эффект отражения отвергает идею о том, что избегание неуверенности объясняет эффект уверенности, скорее уверенность усиливает избегание потерь в той же степени, что и стремление к выигрышу.

Теперь рассмотрим процесс принятия решений согласно Канеману и Тверски:

Теория разделяет весь процесс принятия решения на две стадии: редактирование и оценка. Стадия оценки заключается в предварительном анализе предложенных альтернатив, который направлен на их упрощение. Далее отредактированные возможности оцениваются, и выбирается наиболее ценная.

Стадия редактирования состоит из 4 основных операций:

.        Кодирование. Как было сказано выше, агент делает выбор, основываясь на изменении его благосостояния, а не на конечном его уровне. Следовательно, сначала определяется некая отправная точка, относительно которой измеряется изменение. Затем возможные исходы лотереи кодируются как доходы или убытки. Естественно, что на это влияет формулировка лотереи и ожидания агента, принимающего решение.

.        Комбинирование. Лотереи иногда могут упрощаться комбинированием возможностей с одинаковыми исходами. Например, лотерея (200, 0,25 ;200, 0,25) будет упрощена до (200, 0,50) и будет оцениваться в такой форме.

.        Сегрегация. Если игра содержит одновременно рисковый и безрисковый компонент, то они будут отделены друг от друга. Например, лотерея (300, 0,80; 200, 0,20) будет преобразована в лотерею с безрисковой составляющей 200 и рисковой - (100, 0,80). Аналогично для игр с отрицательными исходами.

.        Отклонение. Респонденты склонный игнорировать некоторые альтернативы или стадии выбора, если в альтернативах есть схожие компоненты. Например, выбор между (200, 0,20;100, 0,50; -50, 0,30) и (200, 0,20;150, 0,50; -100, 0,30) уменьшается до (100, 0,50; -50, 0,30) и (150, 0,50;-100, 0,30).

. Получение свойств функции ценности (полезности)

Существенная особенность теории перспектив заключается в том, что акцент делается на важность изменения благосостояния агента, а не на конечное благополучие. Это предположение совместимо с основными принципами восприятия и суждения. Наш аппарат восприятия намного более чувствителен к изменениям, чем к оценке абсолютных значений величин. Например, при похолодании с +20С до +5С, человек будет ощущать холод сильнее, чем при похолодании с +5С до 0. Здесь снова стоит вспомнить о важности исходной точки: агент адаптируется к начальным условиям, а затем весь полученный опыт, все изменения текущего состояния и прочее сравнивает с исходным состоянием. Тоже самое и для финансового благосостояния: для кого-то потеря 1000$ является шагом в бедность, а для кого-то - лишь незначительным убытком. Все зависит от отправной точки. Важным является и отношение к размеру изменений. Очевидно, что разница в ценности получения 100$ и 200$ значительно выше, чем между 1100$ и 1200$, аналогично для убытков. Видно, что субъективная ценность изменений выше, чем модальное изменение. Отсюда получается форма функции изменения стоимости: она вогнутая, когда богатство увеличивается относительно исходной точки (υ’’(x)<0, для x>0), и выпуклая для убытков (υ’’(x)<0, для x<0). Такой вывод делается исходя из ответов респондентов на безрисковые альтернативы. Пример ниже покажет, что те же свойства характерны и в случае принятия решений в условиях риска.

Таблица 2

	A	B
	6000 с вероятностью 0,25	4000 с вероятностью 0,25 или 2000 с вероятностью 0,25
N=68	[18]	[82]
	C	D
	-6000 с вероятностью 0,25	-4000 с вероятностью 0,25 или -2000 с вероятностью 0,25	[70]	[30]

Подставляя эти условия в уравнение:

π(0,25)υ(6000)<π(0,25)[ υ(4000)+ υ(2000)] и

π(0,25) υ(-6000)>π(0,25)[ υ(-4000)+ υ(-2000)].

Сокращая π(0,25) получается, чтоυ(6000)<υ(4000)+υ(2000) и υ(-6000)>υ(-4000)+υ(-2000). Таким образом, получается, что функция ценности в условиях риска обладает теми же свойствами, что и без риска.

Здесь нужно сделать оговорку. Канеман и Тверски делают разграничение между функцией ценности и функцией полезности в силу неоднозначного отношения агентов к денежному богатству. Для упрощения это предположение не будет играть роли в дальнейшем исследовании, так как для получения рискофобного распределения с помощью теоремы Пратта-Эрроу необходимо использовать функцию полезности.

Еще раз запишем свойства функции ценности:

·        Дважды дифференцируема

·        непрерывна

·        y=0

·        υ(x)<-υ(-x)

·        υ’(x)<υ’(-x)

·        υ’’(x)<0

·        υ’’(-x)>0

Таким образом, функция ценности, согласно теории перспектив будет выглядеть следующим образом:

8. Использование свойств функции полезности Канемана - Тверски для прогнозирования финансовых рынков

Ранее мы использовали свойства функции полезности, в качестве ограничений для дифференциального уравнения второго порядка, чтобы получить ее в явном виде. Так как такой цели перед нами больше не стоит, мы попробуем обнаружить эти поведенческие особенности принятия решения на финансовом рынке. Для этого выдвигается следующая гипотеза: из-за несимметричного отношения к риску при росте и при падении цены, позиции закрываются при меньшем изменении стоимости позиции в первом случае и большем - во втором. Иными словами, мы для закрытия позиции в случае увеличения ее стоимости необходимо меньшее изменение цены, чем при ее падении.

Чтобы проверить подлинность этой гипотезы мы можем придумать вид функции полезности, состоящий из суммы элементарных функций. Однако такой метод непрактичен с той точки зрения, что построение такого многочлена возможно лишь случайным образом методом подбора. Поэтому необходим способ, который бы позволил описать наблюдаемый процесс с помощью традиционных функций.

Чтобы решить эту задачу мы разобьем нашу выборку на две части. В первую часть будут входить только такие точки, в которых значение цены было выше, чем в t0, они будут принадлежать интервалу [1;2], во вторую часть войдут оставшиеся точки, принадлежащие промежутку [0;1). Такой подход ссылается на понятие upside/downside beta из технического анализа. К тому же, он логически подходит нашей задаче, где мы стремимся связать разную скорость изменения стоимости финансовой переменной при движении вверх и вниз с поведенческими особенностями человека. Кроме того, Канеман и Тверски в своей работе также изучали особенности принятия решений только на задачах с одинаковым направлением изменения благосостояния. Таким образом, этот шаг является полностью обоснованным.

Алгоритм для изучения присутствия свойств функции полезности Канемана будет следующий:

)        оценить наблюдаемое распределение на новых выборках; для упрощения задачи мы будем пользоваться наиболее простой формой функции плотности вероятности, полученной только с ограничениями на первые три момента

)        Разложить полученные плотности по Гамбургеру - Ганкелю, чтобы избавиться от экспоненциального вида

)        Подставить полученную в виде многочлена плотность вероятности в решение для риск-нейтральной плотности, полученной через формализм Якверта

)        Выбрать соответствующие каждой выборке специфические функции полезности, которые своей формой отражали бы отношение к риску на каждой выборке: рискофобного вида для роста и рискофильного для потерь

)        Оценить параметры функции полезности по методу Фиглевски на опционах на покупку и на продажу. Здесь нет очевидного решения использовать ли для параметризации оба типа опционов или разделить для разных выборок.

)        Проверить возможность сосуществования полученных функций полезности для двух выборок.

. Параметризация функции полезности с помощью риск-нейтральной плотности

Прежде чем приступить к параметризации, необходимо выбрать функции вид функции полезности, по которому будет осуществляться параметризация. Нужно подобрать функции, общий вид которых будет соответствовать свойствам функции полезности Канемана - Тверски. Таким образом, для функции убытков мы воспользуемся параболической функцией, а для роста - функцией вида a*x^(b/n), где n<b. Сама параметризация выполнена в приложениях 10 и 11, по методу, описанному в главе 5. Параметризация сделана на опционах со сроком исполнения 20.01.2016.

Рисунок 1

В целом, полученный результат отражает необходимые свойства, однако точность параметризации и метод подбора параметризуемых функций требует дальнейшего совершенствования. Тем не менее, основной задачей исследования стоял метод обнаружения соответствующих свойств на рыночных данных, что и было выполнено.

Дальнейшее исследование должно быть посвящено поиску наиболее оптимального вида функций полезности для параметризации. Необходимо придумать некий генератор функций полезности, способный выдавать нужный вид при заданных свойствах.

Также требуется разработка способа перехода от нормированных цен, т.е. финансовой переменной как запаса, к показателям потока - доходностям. На данный момент мы имеем лишь один формализм (Якверта), связывающий функцию полезности с наблюдаемым ценовым процессом. Так как этот формализм базируется на идее стохастического ядра ценообразования, мы не можем напрямую перейти к доходностям. Эта задача может быть решена либо выводом нового формализма, либо поиску существующей теоремы, позволяющей без серьезных ограничений переходить от потока к запасу и обратно.

Еще один важный этап - правильный выбор данных и области определения для параметризации.

Наконец, на это уже было обращено внимание выше: Канеман и Тверски в своих экспериментах предлагали задачи с увеличением или неизменением и потерями и неизменением. Однако на исследуемых финансовых рынках безрисковая ставка является величиной положительной. Для более чистого эксперимента необходимо выбрать рынок, где субъект принятия решения может выбирать не только между рисковым и безрисковым активом, но и между рынками с положительным и отрицательным значением ставок по безрисковому активу.

Заключение

В данной работе был рассмотрен новаторский подход к измерению склонности/несклонности к риску. Была разработана методология и алгоритм оценки функции полезности на финансовых рынках с помощью наблюдаемых рыночных данных. Были обнаружены свойства функции полезности Канемана - Тверски на изучаемых рыночных данных. На сегодняшний день «Теория перспектив» является единственным исследованием, которое дает нам информацию о свойствах функции полезности субъекта рынка. Так эти свойства получены эмпирически на выборке из большого количества опрошенных, мы можем говорить, что эти свойства могут быть в той или иной степени присущи всему рынку. Поэтому дальнейшее совершенствование рассмотренного в данной работе метода представляет собой высокую значимость для развития как поведенческих, так и прикладных финансов.

полезность формализм якверт финансовый

Список использованной литературы

1.       Будылин А. М. Вариационное исчисление (Москва, 2001)

.        Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике (Книжный Дом, 2009)

.        Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей (Успехи математических наук, в.5, 1932)

.        Abel A.B. Equity Premia with Benchmark Levels of Consumption: Closed-Form Results. Cambridge (June, 2006).

.        Breeden D.T.; Litzenberger R.H. Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices. The Journal of Business, Vol. 51, No. 4 (Oct., 1978), 621-651.

6.       Borda, M.: Fundamentals of Information Theory and Coding (Springer, 2011) - p 11

.        Copeland T.E.; Weston F.J. Financial Theory and Corporate Policy. Third Edition (1992).

.        Courant S. Implied Risk Aversion in Option Prices Using Hermite Polynomials. Paris (June, 1999).

.        Figlewski S. Estimating the Implied Risk Neutral Density for the U.S. Market Portfolio (July, 2008).

.        Hull J. Options, Futures and Other Derivatives. Issue 8 (2012).

.        Kahneman D.; Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk. Econometrica, Vol. 47, Issue 2 (Mar, 1979), 263-292.

.        Jackwerth J.C. Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized Returns. The Review of Financial Studies, Vol. 13, No. 2 (Summer, 2000), 433-451.

.        Tversky A. Elimination by Aspects: A Theory of Choice. Psychological Review, 79 (1972), 281-299.