Контрольная работа: Функции принадлежности. Нечеткие деревья решений

Функции принадлежности. Нечеткие деревья решений

ЧАСТЬ 1

Дать описание основных положений нечеткой логики: функций принадлежности, лингвистические переменные, база правил нечетких высказываний, механизм (алгоритм) нечеткого логического вывода, фазификация, дефазификация и др.

Функции принадлежности - Введенное определение нечеткого множества не накладывает ограничений на выбор функции принадлежности. Однако, на практике целесообразно использовать аналитическое представление функции принадлежности μ A x нечеткого множества A с элементами x, нечетко обладающими определяющим множество свойством R. Типизация функций принадлежности в контексте решаемой технической задачи существенно упрощает соответствующие аналитические и численные расчеты при применении методов теории нечетких множеств. Выделяют следующие типовые функции принадлежности.

Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности:

Прямые методы (наиболее известны методы относительных частот, параметрический, интервальный) целесообразно использовать для измеримых свойств, признаков и атрибутов, таких как скорость, время, температура, давление и т.п. При использовании прямых методов зачастую не требуется абсолютно точного поточечного задания μ A x . Как правило, бывает достаточно зафиксировать вид функции принадлежности и характерные точки, по которым дискретное представление функции принадлежности аппроксимируется непрерывным аналогом - наиболее подходящей типовой функцией принадлежности.

Косвенные методы (наиболее известен метод парных сравнений) используются в тех случаях, когда отсутствуют измеримые свойства объектов в рассматриваемой предметной области. В силу специфики рассматриваемых задач при построении нечетких систем автоматического управления, как правило, применяются прямые методы. В свою очередь, в зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые. Наиболее грубую оценку характеристических точек функции принадлежности можно получить путем опроса одного эксперта, который просто задает для каждого значения x ∈ X соответствующее значение μ A x .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «расход теплоносителя небольшой». Объект x - расход теплоносителя, X 0;x max - множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Эксперту предъявляются различные значения расхода теплоносителя x и задается вопрос: с какой степенью уверенности 0 ≤ μ A x ≤ 1 эксперт считает, что данный расход теплоносителя x небольшой. При μ A x= 0 - эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x небольшой. Приμ A x = 1 - эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x нельзя классифицировать как небольшой.

Метод относительных частот. Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m - n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A x = n 1 n 1 + n 2 = n 1 m .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x - скорость изменения температуры, X - x max ; x max - множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты

Лингвистические переменные - понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Определение 1. Нечеткая переменная характеризуется тройкой (a, X, A),

где a - наименование переменной;

Х - универсальное множество (область определения a);- нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. mA(x)) на значения нечеткой переменной a.

Определение 2. Лингвистической переменной(ЛП) называется набор (β, Т, Х, G, М),

где β - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющее собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым термом - множеством лингвистической переменной;- синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества Т, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество ТÈ G(T), где G{Т} - множество сгенерированных термов, называется расширенным термом - множеством лингвистической переменной;- семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Пример. Пусть эксперт определяет толщину изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм. Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей ЛП

(β, Т, Х, G, М),

где β - толщина изделия;

Т - {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

Х - [10, 80];- процедура образования новых термов с помощью связок «и» «или» и модификаторов типа «очень», «слегка», «не» и т.п. Например: «Малая или средняя толщина». «Очень большая толщина»;- процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств: A1 = «Малая толщина», A2 = «Средняя толщина» и A3 = «Большая толщина», а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и» «или» «не» «очень» «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: A Ç B, A ÈB.

База правил нечетких высказываний - Правила преобразований нечетких высказываний. Правило преобразования конъюнктивной формы. Справедливо выражение:

<α есть α' и β есть β'>⇒<(α, β) есть (α'∩β')>.

Здесь ⇒ - знак подстановки, α'∩β' - значение лингвистической переменной (α, β), соответствующее исходному высказыванию <α есть α' и β есть β'>, которому на X×Y ставится в соответствие нечеткое множество ∩ c функцией принадлежности

(x,y) = (x,y)Λ(x,y) = μA(x)ΛμB(y).

Механизм (алгоритм) нечеткого логического вывода - это процесс получения нечетких заключений на основе нечетких условий или предпосылок.

Применительно к нечеткой системе управления объектом, нечеткий логический вывод- это процесс получения нечетких заключений о требуемом управлении объектом на основе нечетких условий или предпосылок, представляющих собой информацию о текущем состоянии объекта.

Логический вывод осуществляется поэтапно.

)Фаззификация(введение нечеткости) - это установка соответствия между численным значением входной переменной системы нечеткого вывода и значение функции принадлежности соответствующего ей терма лингвистической переменной. На этапе фаззификации значениям всех входным переменным системы нечеткого вывода, полученным внешним по отношению к системе нечеткого вывода способом, например, при помощи статистических данных, ставятся в соответствие конкретные значения функций принадлежности соответствующих лингвистических термов, которые используются в условиях (антецедентах) ядер нечетких продукционных правил, составляющих базу нечетких продукционных правил системы нечеткого вывода. Фаззификация считается выполненной, если найдены степени истинности (a) всех элементарных логических высказываний вида « ЕСТЬ », входящих в антецеденты нечетких продукционных правил, где - некоторый терм с известной функцией принадлежности µ(x), - четкое численное значение, принадлежащее универсуму лингвистической переменной .

)Агрегирование- это процедура определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода. При этом используются полученные на этапе фаззификации значения функций принадлежности термов лингвистических переменных, составляющих вышеупомянутые условия (антецеденты) ядер нечетких продукционных правил.

Если условие нечеткого продукционного правила является простым нечетким высказыванием, то степень его истинности соответствует значению функции принадлежности соответствующего терма лингвистической переменной.

Если условие представляет составное высказывание, то степень истинности сложного высказывания определяется на основе известных значений истинности составляющих его элементарных высказываний при помощи введенных ранее нечетких логических операций в одном из оговоренных заранее базисов.

)Активизация в системах нечеткого вывода - это процедура формирования функций принадлежности m(y) консеквентов каждого их продукционных правил, которые находятся при помощи одного из методов нечеткой композиции:

где µ(x) функция принадлежности термов лингвистических переменных консеквента продукционного правила, c - степень истинности нечетких высказываний, образующих антецедент нечеткого продукционного правила.

)Аккумуляция (или аккумулирование)в системах нечеткого вывода - это процесс нахождения функции принадлежности выходной лингвистической переменной. Результат аккумуляции выходной лингвистической переменной определяется как объединение нечетких множеств всех подзаключений нечеткой базы правил относительно соответствующей лингвистической переменной.

(Объединение функций принадлежности всех подзаключений проводится как правило классически  (max-объединение).

5)Дефаззификация в системах нечеткого вывода - это процесс перехода от функции принадлежности выходной лингвистической переменной к её четкому (числовому) значению. Цель дефаззификации состоит в том, чтобы, используя результаты аккумуляции всех выходных лингвистических переменных, получить количественные значения для выходной переменной, которое используется внешними по отношению к системе нечеткого вывода объектам менеджмента.

Переход от полученной в результате аккумуляции функции принадлежности µ(y) выходной лингвистической переменной к численному значению y выходной переменной производится одним из следующих методов:

· метод центра тяжести заключается в расчете центроида площади:

,

где []- носитель нечеткого множества выходной лингвистической переменной;

метод центра площади заключается в расчете абсциссы y, делящей площадь, ограниченную кривой функции принадлежности µ(x), так называемой биссектрисы площади

метод левого модального значения=;

метод правого модального значения=.

Рассмотренные этапы нечеткого вывода могут быть реализованы неоднозначным образом: агрегирование может проводиться не только в базисе нечеткой логики Заде, активизация может проводиться различными методами нечеткой композиции, на этапе аккумуляции объединение можно провести отличным от max-объединения способом, дефаззификация также может проводиться различными методами. Таким образом, выбор конкретных способов реализации отдельных этапов нечеткого вывода определяет тот или иной алгоритм нечеткого вывода. В настоящее время остается открытым вопрос критериев и методов выбора алгоритма нечеткого вывода в зависимости от конкретной задачи. На текущий момент в системах нечеткого вывода наиболее часто применяются алгоритмы Мамдани, Цукамото, Ларсена, Сугено.

ЧАСТЬ 2

Описать нечеткие деревья решений

Нечеткие деревья решений

. Деревья решений и типы решаемых задач

Стремительное развитие информационных технологий, в частности, прогресс в методах сбора, хранения и обработки данных позволил многим организациям собирать огромные массивы данных, которые необходимо анализировать. Объемы этих данных настолько велики, что возможностей экспертов уже не хватает, что породило спрос на методы автоматического исследования (анализа) данных, который с каждым годом постоянно увеличивается.

Деревья решений - один из таких методов автоматического анализа данных. Первые идеи создания деревьев решений восходят к работам Ховленда (Hoveland) и Ханта(Hunt) конца 50-х годов XX века. Однако, основополагающей работой, давшей импульс для развития этого направления, явилась книга Ханта (Hunt, E.B.), Мэрина (Marin J.) и Стоуна (Stone, P.J) "Experiments in Induction", увидевшая свет в 1966г.

Терминология

Деревья решений - это способ представления правил в иерархической, последовательной структуре, где каждому объекту соответствует единственный узел, дающий решение.

Под правилом понимается логическая конструкция, представленная в виде "если ...то ...".