Дипломная (вкр): Генерация бесселевых пучков в полихроматическом свете

Генерация бесселевых пучков в полихроматическом свете

РЕФЕРАТ

Генерация бесселевых пучков в полихроматическом свете.// Дипломная работа на соискание квалификационного уровня “специалист“ по специальности “Квантовая электроника”/ Таврический национальный университет - Симферополь, 2010. -43 с., 3 главы, 10 рис., 8 источников.

Предмет исследования - бесселевый пучок нулевого и первого порядка

Объект исследования - коническая линза (аксикон), для генерации полихроматических бесселевых пучков нулевого и первого порядка

Цель работы - генерация полихроматических пучков Бесселя-Гаусса нулевого и первого порядков и исследование их фазовой структуры.

Для реализации поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

. Выяснить условия необходимые для формирования полихроматических пучков Бесселя-Гаусса.

. Собрать и отъюстировать установку для генерации полихроматических пучков Бесселя-Гаусса и исследовать их фазовую структуру.

. Сформировать полихроматический пучок Бесселя-Гаусса первого порядка с единичным зарядом на оси.

Научная новизна - создание новых методов измерения характеристик материалов, а также экспериментальные исследования, проводимые на их основе, позволяют не только расширить знания фундаментальных оптических свойствах, но и открывают перспективы конструирования принципиально новых приборов.

СОДЕРЖАНИЕ

РЕФЕРАТ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.БЕССЕЛЕВЫЕ ПУЧК

1.1 Бесселевы функции с любым индексом

.2 Бесселевы функции первого рода

.3 Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

ГЛАВА 2.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИХ БЕССЕЛЕВЫХ ПУЧКОВ

2.1 Описание полихроматических бесселевых пучков

.2 Теоретическое описание полихроматических бесселевых пучков

ГЛАВА 3. ГЕНЕРАЦИЯ ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИХ БЕССЕЛЕВЫХ

ПУЧКОВ НУЛЕВОГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

3.1 Генерация полихроматических бесселевых пучков нулевого порядка

.1.1 Экспериментальная установка для генерации полихроматических бесселевых пучков нулевого порядка

.1.2 Интерференция полихроматических бесселевых пучков нулевого порядка

.2 Генерация полихроматических бесселевых пучков первого порядка

.2.1 Экспериментальная установка для генерации полихроматических бесселевых пучков первого порядка

.2.2 Интерференция полихроматических бесселевых пучков первого порядка

.3 Техника безопасности

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время после создания аксикона или конической линзы, сильно возрос интерес к исследованию Бессель-Гауссовым пучкам получаемым на аксиконе. В настоящее время хорошо исследованы свойства данного класса пучков для монохроматического излучения. Однако при генерации пучков Бесселя-Гаусса возникает ряд сложностей.

Стимулом для проведения данной работы, послужила статья французских учёных, о возможности генерации Бесселевых пучков в полихроматическом свете. В этой статье показано что поскольку оптический путь всех волн, которые образуют Бесселев пучок одинаков после прохождения аксикона, то для формирования достаточно использовать источники с пространственной когерентностью.

Исходя из выше сказанного, была сформулирована цель моей работы:

Цель работы - генерация полихроматических пучков Бесселя-Гаусса нулевого и первого порядков и исследование их фазовой структуры.

Для реализации поставленной цели были сформулированы следующие задачи: бесселевый пучок генерация интерференция

. Выяснить условия необходимые для формирования полихроматических пучков Бесселя-Гаусса.

. Собрать и отъюстировать установку для генерации полихроматических пучков Бесселя-Гаусса и исследовать их фазовую структуру.

. Сформировать полихроматический пучок Бесселя-Гаусса первого порядка с единичным зарядом на оси.

ГЛАВА 1 БЕССЕЛЕВЫЕ ПУЧКИ

1.1Бесселевы функции с любым индексом

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве[1,2]:

. (1.1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

, , ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

. (1.2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , ,  предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть  есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (1.2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

; ;

; ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

, ;

, .

Таким образом, , ,  должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

, (1.3)

, ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , ,  удовлетворяют уравнениям (1.3), то  есть решение уравнения (1.2). В самом деле, подставляя  в левую часть (1.2) и деля затем на , получим:

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (1.2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , ,  - любые решения уравнений (1.3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений 1.3 в случае ,  называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой  (вместо ), а неизвестную функцию - буквой  (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

. (1.4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

1.2                                                    Бесселевы функции первого рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (1.4) в виде ряда:

.

Тогда

,

,

,

.

Следовательно, приходим к требованию

,

или к бесконечной системе уравнений

 ,

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе  можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если  не является целым отрицательным числом). Взяв

 ,

найдем последовательно:

,

,

,

и в качестве решения уравнения (1.4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (1.4), сходится для всех положительных значений  и, следовательно, является решением уравнения (1.4) в области  (в случае целого  в области ).

Функция

 (1.5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (1.4). В случае целого неотрицательного индекса  получим:

 , (1.6)

и, в частности,

 .(1.7)

1.3 Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть  - положительная функция и  - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись

 при

означает, что найдутся такие числа  и M, что при  имеем

Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если  - положительная функция и  - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись

 при

означает, что найдутся такие числа  и , что  на .

Вспомогательная лемма

          Если  дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление

 при .

Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:

.  (1.8)

Рассмотрим на каком-либо интервале  (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения

, , (1.9)

где  и  - непрерывные функции на