Дипломная (вкр): Генерация бесселевых пучков в полихроматическом свете

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (1.9). Заменяя  на , найдем:

,

но, заменив на , получим:

.

Если  положительна, убывает и стремиться к нулю при , то  и , а следовательно, и  есть  при , поэтому

 при ,

откуда

 при .

Итак, получаем асимптотическое представление:

 при  .(1.10)

Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (1.9). Имеем:

,

.

Очевидно,  дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют  и , поэтому  становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:

,

где первое слагаемое правой части  есть  при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом

,

который сходится, так как

 при ;

Итак, имеем:

 при . (1.11)

Из (1.8), (1.9), (1.10) получаем искомое асимптотическое представление:

 при .(1.12)

Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:

 при .(1.13)

Формулы (1.12) и (1.13) верны и для комплекснозначных функций .

Вывод асимптотической формулы для J_n(x)

Заменяя  на , получим:

(учитывая, что  есть четная функция от , а  есть нечетная функция от ). Подстановка  дает:

,

где  есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что  есть полином n-й степени относительно . Но

и, заменяя в первом из этих интегралов  на , получим:

Так как  и  на  имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (1.12) и (1.13), и мы получаем:

;

но ; , следовательно,

.

Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:

 при  .(1.14)

Эта формула показывает, что  с точностью до слагаемого порядка  является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.

В частности,

 при ; (1.15)

 при . (1.16)

Графики этих функций изображены ни рис1.

Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.

. Найти решение уравнения Бесселя при

,

удовлетворяющее начальным условиям при ,  и .

Решение.

На основании формулы 5 находим одно частное решение:

.

. Найти одно из решений уравнения:

, .

Решение.

Сделаем замену

.

При  получим:

.

При  будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:

.

Уравнение на  имеет вид ;

, , , , поэтому

,

, .

Рис.1.1 График распределения интенсивности функции бесселя 0,1и2 порядков.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИХ БЕССЕЛЕВЫХ ПУЧКОВ

.1 Описание полихроматических бесселевых пучков

Распространение инвариантных световых полей, таких как бесселевые световые пучки, представляют интерес в широкой области текущих предложений таких, как микроманипуляция атомами и мезоразмерными частицами, генерация плазмы при помощи лазерного излучения, и изучение оптического углового момента. Рассматривая оптические поля, как суперпозиции конических волны, мы обсудим как когерентное свойство света играют ключевую роль в их формировании. В качестве примера мы покажем, что пучки Бесселя могут быть созданы из временно некогерентных широкодиапазонных источников света, включая галогенную лампу. Используя суперконтинуальный источник света мы поясним, как световые пучки зависят от функции ширины спектра падающего светового поля [3].

Хорошо известно, что дифракция является характерной волновой природы света, который возникает, когда любой волновой фронт точечно модулированным по амплитуде и/или по фазе. Части волнового фронта, которые распространяются после модуляции, интерферируют и возникают дифракционные порядки. С точки зрения квантовой механики, дифракция является центром понимания Гейзенбергского принципа неопределённости и напрямую связана с понятием де Бройлевским представлением о частице, которой можно приписать длину волны, которая обратно пропорциональна моменту частицы. В этой связи решения уравнения Гельмгольца, которые являются инвариантными распространения или "псевдо-недифрагирующими" получили значительный интерес и применение в последние годы. Дурнин был первым, кто указал, что набор решений скалярного волнового уравнения может быть недефрагируемым. Бесселевый пучок нулевого порядка является одним из таких решений, представляя из себя пучок с узкой центральной областью, окружённой ряда концентрических колец.

Фаза плоской волны распространяющейся на расстоянии ∆z вдоль оси z претерпевает сдвиг k_z∆z, k_z будучи компонентом волнового вектора который направлен вдоль направления распространения. Результатом этого является изменение интерференционной картины при наложении плоской волны. Существуют, однако, оптические элементы, которые устанавливают тот же самый фазовый сдвиг на все наложенные плоские волны, если свет распространяется, например, по конусу. В этом случае интерференционная картина не изменяется с расстоянием, поэтому эти лучи являются инвариантами распространения. Такой конус может быть легко сформирован при помощи освещения аксикона, что создаёт приближение к Бесселевому пучку в лаборатории. Этот пункт также подразумевает, что свет, формирующий центральный максимум этого луча, прошёл равноудаленные (эквидистантные) пути, которые в свою очередь означают, что мы может рассмотреть использование временно- некогерентных световых пучков для их образования. В действительности, до определения бесселевого пучка, Мак Леод создал фокальную линию в белом свете, используя аксикон в качестве фокусирующего элемента.

Бесселевые пучки изучались в режимах от ультрафиолетовых импульсов, до режима непрерывного излучения. Они нашли важные применения в атоме оптике, оптических микроманипуляциях, лазерной плазмы, нелинейной оптике и интерференции. Изучение фемтосекундных лазеров показало важную роль которую оказывает длительность импульса на создание бесселевых пучков, и, фактически, это связано с , так называемыми Х-волнами, которые поддерживают их с точечно-временной локализацией при распространении. В этой работе мы подробно обсудим, как когерентные свойства падающего светового поля влияют на формирование беселевых пучков в отсутствие дисперсии для непрерывного и фемтосекундного режимов. Наши исследования показывают, что источники чисто белого света действительно могут генерировать бесселевые пучки и что мы можем использовать формирование таких пучков, чтобы интерпретировать информацию о свойствах временной и пространственной когерентности падающего светового поля. Ключевым критерием длины распространения бесселевых или недифрагирующих световых полей является требованием пространственной когерентности источника света, и мы реализовали псевдо недифрагирующее световое поле, используя источник света, обладающий пространственной когерентности, но с отсутствием временной когерентности. Мы сравним свойства недифрагирующих световых полей созданных с использованием различных источников света. В представленной работе мы предлагаем новые применения этих пучков в частности при построении изображений и микроманипуляциях.

.2 Теоретическое описание полихроматических бесселевых пучков

Во-первых, мы разработаем простую теорию широкодиапазонных бесселевых пучков описывающую наши наблюдений. В частности, мы рассмотрим, распространений импульсного бесселевого пучка несшего порядка через воздух, для которого хроматическая дисперсия пренебрежимо мала. Электрическое поле описывается в скалярном медленно изменяющимся приближением при помощи огибающей E(r,z,t), где исключается несущая exp(iω₀ (z-ct)/c) с центральной частотой ω₀, и мы предполагаем наличие радиальной симметрии вдоль оси z. Тогда профиль интегральной плотности потока, с интенсивностью, интегрируемой по времени импульса может быть записан:

 (2.1)

где было использовано приближение Парсеваля, а также получено спектральное разрешение огибающей E (r,z,Ω) из E (r,z,t) при помощи Фурье - преобразований, где Ω описывает отстройку по частоте от несущей

Ω=ω-ω₀. Для описанного случая импульс на входе z=0 имеет коллимированный Гауссовый профиль, и мы можем описать спектральную часть огибающей как

E(r, z=0, Ω) =E₀^{, (}2.2)

где w₀ - это размер Гауссова пятна на входе, S(Ω) - нормированный спектр импульса, Φ(Ω)- частотно зависимая фаза, и E₀- амплитуда поля. Входящее поле сначала проходит через аксикон, с коэффициентом преломления n и углом γ, а затем распространяется вдоль оси z. Хорошо известно, что входящий Гауссовый пучок трансформируется в пучок Бесселя на длине распространения в окрестности z=z_max/2, где z_max=w₀/θ, а θ=(n-1)γ . Тогда, спектрально представленное поле в плоскости наблюдения может быть описано как

E(r, z=z_max/2, Ω)= E₀ f (z,Ω)J₀ (k_r(Ω)r), (2.3)

где f(z, Ω)≈f(z,0)- медленно меняющаяся функция частоты и z окрестность z_max /2 и k_r (Ω)=(ω₀+ Ω)(n - 1) γ/c - это радиальная компонента волнового вектора. Подставляя приближённое решение для бесселевого пучка (2.3) в (2.1), мы получаем нормированный профиль интегральной плотности потока

, (2.4)

где                         .

Профиль интегральной плотности потока F(r) в уравнении (2.4), должен быть сравнён с экспериментальным интегральным профилем потока для импульсных бесселевых пучков с различными спектрами S (Ω). В качестве простой модели мы рассмотрим Гауссов спектр:

 (2.5)

где Δω - ширина импульса. Отметим, что в формуле (2.4) для профиля интегральной плотности потока и спектр S (Ω), и аргумента функции Бесселя ₀(k_r (Ω) r) зависит от Ω, вот каким образом спектр импульса влияет на профиль интегральной плотности потока пучка. В основном, профиль флюенса - сумма по полосе пропускания импульса Бесселевых пучков J₀(k_r (Ω) r) , которые изменяются как cos² (k_r (Ω) r - π/4) = [1+cos (2k_r (Ω) r - π/2)]/2 для k_r (Ω)r>> 1. При среднем прохождении импульса Δω выполняется колебания cos² (k_r (Ω) r - π/4) от Бесселевых пучков в значительной степени будет отменен по радиусам, что π разность фаз или больше существует между спектром край Ω = Δω и в центре Ω=0,2(k_r (∆ω)-(k_r (0))r≥π, которая определяет критический радиус π разности фаз