Материал: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

442 СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 8

которые вытекают из -периодических граничных условий 134]. Здесь, аналогично (6.3.14),

если âj и â f удовлетворяют соотношениям (8.5.6). В этом можно убедиться непосредственно, используя (8.5.18) и (8.5.21). Таким

Рис 8 5 1. Решетка допустимых значений к (исходя из периодических граничных ус­ ловий на параллелепипеде с ребрами 1,, 12 и ls) в первой зоне Бриллюэна для простой ку­ бической решетки.

образом, преобразования (8.5.17) и (8.5.18) сохраняют неизмен­ ными перестановочные соотношения; такие преобразования на­

зываются унитарными.

Операторы âk и поскольку они удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям (8.5.24), можно считать операто­ рами рождения и уничтожения некоторых квазичастиц, подчи­ няющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Оператор

иперейдем в первом члене (8.5.28) от суммирования по / и /' к сум­ мированию по / и g. Ясно, что интеграл обмена Iff = I g зависит только от r^. Суммирования по / и по g не являются независимыми

уповерхности кристалла. Считая образец достаточно большим, можно этим пренебречь и поменять порядок суммирования по /

иg. Тогда с учетом (8.5.21) и (8.5.25) гамильтониан (8.5.28) примет вид

Напомним, что суммирование здесь производится по всем допусти­ мым значениям к в первой зоне Бриллюэна.

Таким образом, перейдя к операторам рождения âk и унич­ тожения âk магнонов, мы привели гейзенберговский гамиль­ тониан (8.5.1) (без членов четвер­ того и более высоких порядков по опера­

теризующиеся возбуждением квазичас­ тиц — магнонов с законом дисперсии (8.5.31), являются приближенно собст­ венными состояниями гейзенберговско­ го ферромагнетика.

Спектр магнонов. Сравним (8.5.31) с классическим выражением (8.1.15), кото­ рое, так же как и (8.5.31), не учитывает

диполь-дипольного взаимодействия. В обоих случаях энергия магно­ нов является суммой зеемановского члена т^Я 0 и обменного члена. Однако для обменного члена теперь, в отличие от (8.1.15), полу­ чено выражение, в которое входят микроскопические — модель­ ные параметры I g и которое явным образом зависит от магнитной

Обменные интегралы I g, как известно, быстро убывают по мере увеличения расстояния rg между спинами. Поэтому при4 вычис­ лении суммы в (8.5.31) можно ограничиться сравнительно неболь­ шим числом близко расположенных спинов, а при грубых расче­ тах — суммировать лишь по наиболее близко расположенным спинам — по первой координационной сфере (приближение бли­ жайших соседей). В качестве примера рассмотрим в таком при­ ближении простую кубическую решетку спинов (рис. 8.5.2). Непо­ средственное вычисление обменного члена в (8.5.31) дает в этом:

S =5/2 (ионы Fe3+), а среднее расстояние между ионами а = 3,5 X X ІО-8 см. Для оценки величины обменного интеграла используем

Подчеркнем, что выражение (8.5.34), совпадающее с резуль­ татом классической континуальной теории, в микроскопической теории получается лишь при выполнении условия (8.5.33). Этого и следовало ожидать, так как континуальная модель применима лишь в тех случаях, когда длина волны спиновых волн много больше, чем постоянная решетки 2).

С другой стороны, в приведенном выше микроскопическом рас­ чете мы игнорировали влияние поверхности образца, и, таким об­

где d — наименьший размер образца. Иными словами, однородная прецессия и неоднородные длинноволновые (уокеровские) типы колебаний при этом расчете выпадают из рассмотрения. Ограни­ чение (8.5.36) не является принципиальным, и квантовая микро­ скопическая теория длинноволновых типов колебаний может быть построена 3). При построении такой теории, конечно, нельзя пре­ небрегать влиянием поверхности и необходимо учитывать диполь­

446 СПИНОВЫЕ в о л н ы [ГЛ. 8

дипольное взаимодействие. Мы не будем рассматривать этого воп­ роса (см. [23, 3, 244]), так как очевидно, что результаты квантовой теории длинноволновых магнитных колебаний должны полностью совпасть с результатами, полученными макроскопическим путем в предыдущих главах.

Учет диполь-дипольного взаимодействия и анизотропии. Остановимся^кратко на вопросе об учете диполь-дипольного взаимо­ действия и анизотропии в микроскопической теории в том случае, когда условие (8.5.36) выполняется и влияние поверхности образ­ ца несущественно. Прежде всего члены, учитывающие соответ­ ствующие взаимодействия, должны быть введены в гамильтониан. Гамильтониан диполь-дипольного взаимодействия имеет вид (1.1.50). Магнитная кристаллографическая анизотропия в ферро­ магнетике, как отмечалось в главе 2, связана со спин-орбитальным взаимодействием, и поэтому в гейзенберговской модели, имеющей дело только со спиновыми операторами, может быть учтена лишь феноменологически. Так, например, для магнитно-одноосного кристалла гамильтониан магнитной анизотропии, ограничиваясь наинизшими членами и предполагая, что ось анизотропии совпа­ дает с осью z, можно записать в виде [23]

(8.5.37)

t V

где I a ff — некоторые феноменологические параметры, завися­ щие от расстояний между спинами и ориентации спинов относи­ тельно вектора (гf — г/). Следует заметить, что при этом, в отли­ чие от обменного гамильтониана, члены с / = /' не исключаются из суммирования, они могут быть ответственными за так называемый одноионный источник анизотропии (см. главу 2).

Добавляя диполь-дипольный гамильтониан §fd в виде (1.1.50

и Жа, например, в виде (8.5.37) к гамильтониану (8.5.1), мы полу­ чим полный гамильтониан, который необходимо привести к диа­ гональному виду (8.5.3) путем перехода от спиновых операторов

S°f'v'z к новым переменным. Не будем приводить здесь этих пре­

образований. Для случая, когда учитывается только Жа, они про­ ведены в [231] (см. также [3, 13, 20]). Отметим лишь, что после пе­

где An и Bk — некоторые функции параметров исходного гамиль­ тониана и составляющих вектора к, При учете только обменного