Материал: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

§ 8 . 5 І М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я М А Г Н О І -Ю В 447

и диполь-дипольиого взаимодействий (для изотропной среды [231])

=j=0) еще не приводит квадратичные члены гамильтониана к диа­

гональному виду (8.5.3): члены с В к жВ к связывают между собой операторы âk и âk. Необходим еще один переход к некоторым опе­

раторам ск и ск — третье преобразование Холыптейна — При­ макова, которое уже приведет гамильтониан (8.5.38) к диагональ­

в которых ик и ѵк — неизвестные пока функции к и параметров гамильтониана. Для их определения имеются следующие усло­ вия.

1) Операторы ск и ск должны удовлетворять таким же" пере­ становочным соотношениям, как соотношения (8.5.24) для опера­

торов ак и ак . Только при этом условии операторы ск и ск можно будет считать операторами рождения и уничтожения магнонов. Иными словами, преобразование (8.5.40) должно быть унитар­ ным.

2) В новых операторах гамильтониан (8.5.38) должен стать диа­ гональным:

Можно убедиться, что преобразование (8.5.40) является уни­ тарным, если

Для того чтобы учесть требования, накладываемые на коэффициен­ ты ик и ѵк видом гамильтонианов (8.5.38) и (8.5.41), можно посту­ пить, например, следующим образом [3]. Запишем квантовомеха­ ническое уравнение движения [30] оператора âk (не зависящего

х) Общая теория преобразований, диагоналпзпрующих квадратичные гамильтонианы, была развита Боголюбовым (см. [23]).

и следовало ожидать, совпадает с формулой (8.1.14), полученной классическим путем на континуальной модели.

В этом случае, согласно (8.1.20), поляризация спиновых волн при­ ближается к круговой. Тогда приближенно выполняются простые соотношения (8.4.9) — (8.4.15), дающие связь чисел магнонов с со­ ставляющими намагниченности и магнитного момента образца.

~ 1 °К. Однако для когерентных спиновых воли с не очень боль­ шими к пренебрежение В к допустимо лишь при достаточно силь­ ных постоянных магнитных полях.

Термодинамика ферромагнетика с учетом дискретности его структуры. Выясним теперь, как повлияет дискретность струк­ туры ферромагнетика на его термодинамические свойства, в ча­ стности, на температурную зависимость намагниченности, кото­ рая была рассчитана выше на континуальной модели (формула (8.4.28)). Результаты такого расчета зависят от трех факторов:

1)статистики, которой подчиняются элементарные возбуж­

дения,

2)спектра элементарных возбуждений и

3)области к-пространства, по которой производится суммиро­

вание состояний.

Посмотрим, как изменится влияние этих факторов при пере­ ходе от континуальной модели к дискретной. Как мы видели, магноны в дискретной — гейзенберговской модели в пределах при­ менимости спин-волновой теории являются (первый фактор), как и магноны в континуальной модели, бозе-частицами. Суммиро­ вание состояний (третий фактор), т. е. интегрирование в (8.4.25) должно теперь производиться, строго говоря, только по первой зоне Бриллюэна. Однако при достаточно низких температурах роль магнонов с большими к мала, и интегрирование в (8.4.25) можно по-прежнему производить по всему к-пространству (что, конечно, упрощает вычисления).

Что же касается второго фактора, то спектр магнонов для ди­ скретной модели, как мы видели, существенно отличается (кроме области малых ка) от спектра для континуальной модели. Рас­ смотрим, к какому изменению термодинамических характеристик ферромагнетика это приведет. Пренебрежем по-прежнему влиянием постоянного магнитного поля, диполь-дипольного взаимодействия

15 А. Г. Гуревич

и анизотропии, рассмотрим для определенности простую кубическую решетку и ограничимся приближением ближайших соседей. Тогда спектр магнонов будет иметь вид (8.5.32). Подста­ вив его вместо спектра (8.4.26) в формулу (8.4.25), можно получить искомую зависимость М (Т) для дискретной модели. Вычисления оказываются при этом довольно громоздкими, и мы приведем окончательный результат (см., например, [244]):

Су, и т. д.) постоянная решетки а. Таким образом, учет дискрет­ ности структуры ферромагнетика приводит к появлению членов с Ті/г, Т>- и т. д. в температурной зависимости спонтанной на­ магниченности. Аналогичные члены появятся и в температурной зависимости теплоемкости. Оценка показывает, что вклад этих

вопросе о принципиальных трудностях и ограничениях рассмот­ ренной спин-волновой теории Холыптейна — Примакова. Как уже отмечалось, основными допущениями этой теории (кроме вы­ бора модели) являются:

1) возможность замены радикалов в выражениях (8.5.8) на их

разложения в ряды по степеням â] âfl (2S);

2) возможность пренебрежения всеми членами третьей и более

высоких степеней по операторам â} и й,- в гамильтониане (к числу их относятся как члены (8.5.16), так и члены, которые появятся в результате учета более высоких степеней в разложениях (8.5.8)).

Второе допущение представляется довольно обоснованным при достаточно низких температурах. Действительно, высокие члены гамильтониана учитывают столкновения магнонов; при низких температурах, когда средние значения чисел магнонов малы, столкновения маловероятны и их влиянием на спектр можно пре­ небречь *). Конечно, эти рассуждения не являются строгими.

Первое допущение вызывает серьезные сомнения, в особенно­ сти при небольших значениях спина, когда собственные значения

операторов й/ âtl (2S) = üjt (2S) отнюдь не являются малыми. Выше уже отмечалось, что наличие радикалов в выражениях (8.5.8) обеспечивает то, что числа спиновых отклонений на каждом узле

Как мы увидим в следующей главе, столкновения магнонов, учиты­ ваемые высшими члепами гамильтониана, ответственны за процессы релак­ сации.