Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО Уральский Федеральный Университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Институт материаловедения и металлургии
Кафедра "Термообработка и физика металлов"
Проект по модулю
"Свойства современных материалов"
Тема: "Использование решения второго уравнения Фика для управления процессами термической и химико-термической обработок металлов и сплавов"
Преподаватель, проф., д.т.н. Лобанов М.Л.
Екатеринбург 2019
Задача
Прогнозирование времени полного насыщения пластины технического сплава (электротехническая анизотропная сталь) состава 97 мас.% Fe - 3 мас.% Si, кремнием до концентрации 6 мас.% в зависимости от ее толщины.
Исходные данные:
Температура силицирования ; концентрация кремния на поверхности пластин, создаваемая силицирующей средой - 6,0 мас.% Si; толщина пластин: 0,15, 0,23, и 0,27мм.
Процесс считается завершённым, когда концентрация кремния в центре отличается от поверхности не более чем на 1%.
Физическая модель процесса
1 - концентрация в момент времени ф0; 2 - концентрация в момент времени ф1; 3 - концентрация в момент времени ф2; 4 - концентрация в момент времени ф3, при условии, что ф3> ф2> ф1> ф0
Рисунок 1. Физическая модель процесса силицирования изделий из сплава совстава 97 мас.% Fe - 3 мас.% Si
Математическая модель процесса
Пусть х - расстояние от центра до краев пластины. Тогда краевая задача будет выглядеть следующим образом:
Начальные условия:
С ([0, х), 0) = 3 мас. %
С(х, 0)=6 мас. %
Граничные условия:
C (х, ф) = 6 мас. %.
Алгоритм расчетов
Для расчетов используем решение второго уравнения Фика методом конечных разностей. Заменим непрерывное пространство х, ф в котором изменяется функция на дискретное (решетку). Расстояние по одной оси , а по другой . Пронумеруем все узлы данной решетки, через индексы j и i, производные при этом заменяются их конечно-разностными аналогами.
Полученную формулу используем для вычисления концентрации при каждом хj в каждый отрезок времени, за исключением х 0 и хj=х. Для хj=х концентрация постоянна и равна 6 мас. % в течении всего процесса диффузии. В центре частицы
Cj+1,i=Cj-1,I, вследствие чего исчезает симметричный член и расчетное уравнение принимает вид:
При расчете считаем коэффициент диффузии постоянным. По закону Аррениуса:
,
Где D0 = 1,75·10-5 м 2/с, Q =175500 Дж/(моль·К) - взято из справочника [1]; R = 8,314 Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, Т = 1223К - заданная температура отжига. Тогда:
Рассчитаем элементарные приращения ?х и ?.
Где х - расстояние от центра до края пластины, n принимаем равным 16. Для заданных диаметров имеем:
Процесс считается завершённым, когда концентрация кремния в центре отличается от поверхности не более чем на 1%.
Необходимые вычисления производим при помощи программы Microsoft Exel. сплав уравнение силицирование
Результат расчетов
В результате расчетов было рассчитано время полного насыщения пластины технического сплава (электротехническая анизотропная сталь) стостава 97 мас.% Fe - 3 мас.% Si, кремнием до концентрации 6 мас.% в зависимости от ее толщины.
Таблица 1 - Время полного насыщения
|
Толщина, мм |
0,15 |
0,23 |
0,27 |
|
|
Время, с |
148,4858 |
349,1066 |
481,094 |
По данным таблицы 1 построен график зависимости времени полного насыщения от размера пластины представленный на рисунке 2.
Рисунок 2. Зависимости времени полного насыщения от толщины пластины
Выводы
По данной работе можно сделать следующие выводы:
1) При размере пластин 0,15 мм; 0,23 мм и 0,27 мм время полного насыщения 148,4858 с; 349,1066 с и 481,094 с соответственно;
2) Зависимость времени полного насыщения пластин от их размера близка к экспоненциальной.
Список использованных источников
1. Смитлз К. Дж. Металлы: справочник / Под ред. С.Г. Глазунова. - Москва: Металлургия. - 1980. - с. 380. [1].
2. Лобанов М.Л. Методы определения коэффициентов диффузии: учеб. пособие / М.Л. Лобанов, М.А. Зорина. Екатеринбург: Издательство Уральского университета, - 2017. - 100 с.