Реферат: Исследование кинематики движения материальной точки в системе MathCAD

Исследование кинематики движения материальной точки в системе MathCAD

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.О. СУХОГО

ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине «Информатика»

на тему

«Исследование кинематики движения материальной точки в системе MathCAD»

вариант

Выполнил студент гр.ЗТМ-11с

Красовский В.И.

Гомель 2013

Введение

Курсовое проектирование является необходимым этапом подготовки и обучения студентов, становления их как высококвалифицированных специалистов и играет важную роль в формировании самостоятельного творческого мышления студента. Курсовая работа представляет собой комплексную учебно-исследовательскую работу студента, которая выполняется на основе теоретических и практических знаний, накопленных в процессе обучения дисциплине "Информатика". Она является многоцелевым элементом учебного процесса и позволяет привить студентам навыки и умения сбора, анализа, обобщения информации по данной предметной области, решения конкретной прикладной задачи с применением обоснованно выбранной компьютерной системы.

В данной курсовой работе необходимо с использованием системы Mathcad исследовать зависимость движения материальной точки от времени.

Системы MathCAD традиционно занимают особое место среди множества таких систем (Eureka, Mercury, MatLAB, Mathematica, Maple и др.) и по праву могут называться самыми современными, универсальными, и массовыми математическими системами. Они позволяют выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеют чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики.

Создание математических моделей позволяет ускорить и упростить весь процесс разработки, а также предположить закон движения материальной точки в различных условиях.

Курсовая работа призвана реализовать несколько задач, основными из них являются следующие:

углубление и расширение теоретических знаний по математическому моделированию;

приобретение навыков самостоятельного решения прикладной инженерной задачи с использованием компьютерных систем;

умение формулировать выводы по проделанным исследованиям.

Для выполнения курсовой работы была выбрана система MathCAD 2001 Professional, так как она по сравнению с другими системами вычислений достаточно легко позволяет произвести построение математической модели

1. Математическое моделирование технического объекта

1.1 Понятие математической модели, свойства и классификация

Математическое моделирование занимает центральное место в построении эффективной технологии автоматизированного проектирования и исследования.

Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна объекту, процессу или системе. Она строится на основе упрощений и является приближением объекта, процесса или системы. Для любого объекта, процесса или системы можно построить множество математических моделей.

Математическая модель согласно [1,с.59] - это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т. п. Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.

К классификации математических моделей в соответствии с [1 с.86 ] разные авторы подходят по-своему, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.) - это естественно, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке. Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.) - это естественно для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.

Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объектов.

Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.

Аналитические математические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Имитационные математические модели - это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс.

Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне.

Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.

Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.

Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания, ожидаемых объемов выпуска сверхплановой продукции производственным участком, точности размеров в партии деталей с учетом явления рассеяния и т.д.

Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств.

Как методология научных исследований математическое моделирование сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики и системного программирования для решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы - сквозной единый цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей эффективности объекта. Результатом разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной системы в различных условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей эффективности объекта. Поэтому математическое моделирование как методология организации научной экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных решений.

Схема построения математических моделей следующая:

·   Выделение параметра или функции, подлежащей исследованию.

·   Выбор закона, которому подчиняется эта величина.

·   Выбор области, в которой требуется изучить данное явление.

1.2 Численные методы математического моделирования

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач.

С появлением ЭВМ начался период бурного развития численных методов и их внедрения в практику. Только вычислительной машине под силу выполнить за сравнительно короткое время объем вычислений, в миллионы, миллиарды и более операций, необходимых для решения многих современных задач.

Алгебраическими уравнениями согласно [2,с.199] называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn:

(1.1)

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

x1=x'1 , x2 =x'2 , ..., xn=x'n ,

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: (1.2)

где A - матрица системы, b - правая часть, x - искомое решение, Ap - расширенная матрица системы:

 (1.3)

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

(1.4)

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение - нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения <#"722233.files/image005.gif">.(1.5)

Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы, обозначаем r=rg(A)

Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.

Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы e1 , e2 , ..., en-r образуют ее фундаментальную систему решений (Aei =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c1 e1 + c2 e2 + ... + cn-r en-r , (1.6)

где c1 , c2 , ..., cn-r - произвольные постоянные.

Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

модель кинематика алгоритм mathcad

Рисунок 1.1- Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой S = (fi-yi)2 , обращается в минимум.

Отыскание же значений параметров а0, а1, а2,…, аn, которые доставляют min значение функции.

Согласно [2,с.219] Решение выражения сводится к решению системы уравнений

 (1.8)

Наиболее распространен способ выбора функции f(xk; а0, а1, а2,…, аn) в виде линейной комбинации:

 (1.9)

Здесь базисные функции (известные); n << k; а0, а1, а2,…, аn - коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов.

(1.10)

Из системы линейных уравнений определяются все коэффициенты ak. Система называется системой нормальных уравнений, матрица которой имеет вид

 (1.11)

1.3 Характеристика элементов системы Mathcad

Согласно [3,с.12] Система MathCAD является одной из самых мощных и эффективных систем математического направления. Она ориентирована на широкий круг пользователей и позволяет выполнять математические расчеты, как в численном, так и в символьном аналитическом виде. Система имеет очень удобный математико-ориентированный интерфейс и обладает обширными графическими возможностями.

Система MathCAD разработана фирмой MathSoft(CШA) и является на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. В названии системы аббревиатура САД являющаяся сокращением от Computer Aided Design, указывает на принадлежность системы ж системам автоматизированного проектирования.

На рисунке 1.2 приведены основные палитры математических символов и операторов, позволяющие вводить общепринятые математические знаки, операторы программирования, шаблоны графиков и т.д. в месте расположения курсора.

Для вывода с помощью палитр необходимого объекта нужно поместить курсор ввода (красный крестик) в желаемое место окна редактирования и затем активизировать пиктограмму нужного объекта.

Окна с палитрами появляются в окне редактирования документа при активизации соответствующих пиктограмм. Любую палитру можно переместить в удобное место экрана, наведя указатель мыши на заголовок окна палитры и перетаскивая палитру при нажатой левой клавиши мыши. Если палитра больше не нужна, ее можно закрыть с помощью соответствующей системной кнопки в правом верхнем углу окна палитры.

Согласно [4,с.35] MathCAD дает возможность решать системы уравнений и неравенств.

Наиболее распространенным методом решения уравнений в Mathcad является блочный метод. Для решения системы этим методом необходимо выполнить следующее:) задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;