Реферат: Исследование кинематики движения материальной точки в системе MathCAD

б) задать ключевое слово Given, которое указывает, что далее следует система уравнений;

в) ввести уравнения и неравенства в любом порядке (использовать кнопку логического равенства на панели знаков логических операций для набора знака «=» в уравнении);

г) ввести любое выражение, которое включает функцию Find.

Решающим блоком называется часть документа, расположенная между ключевыми словами Given и Find.

После набора решающего блока Mathcad возвращает точное решение уравнения или системы уравнений.

Задача регрессии заключается в получении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала облако исходных точек (заданных векторами VX и VY) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Чаще всего используется линейная регрессия, при которой функция у(х) имеет вид

у(х) =а+ Ь*х

и описывает отрезок прямой. Для проведения линейной регрессии в систему встроен ряд приведенных ниже функций:(VX, VY) - возвращает скаляр - коэффициент корреляции Пирсона;(VX, VY) - возвращает значение параметра а (смещение линии регрессии по вертикали);(VX, VY) - возвращает значение параметра b (наклона линии регрессии).

Прямая регрессии проходит в «облаке» исходных точек с максимальным среднеквадратичным приближением к ним. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем точнее представленная исходными точками зависимость приближается к линейной

В MathCAD реализована возможность выполнения линейной регрессии общего вида При ней заданная совокупность точек приближается функцией вида

(x, К1 ,К2, ., Kn)= K1, F1(x)+K2 F2(x)+ +КnFn(x)

Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1(x), F2(x), ., Fn(x), причем сами эти функции могут быть нелинейными, что резко расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции

Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit(VX,VY,F)

Эта функция возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек, если их координаты хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной Вектор F должен содержать функции F1(x), F2(x), Fn(x), записанные в символьном виде.

Введена в MathCAD и функция для обеспечения полиномиальной регрессии при произвольной степени полинома регрессии regress(VX,VY, n)

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи

1.      С использованием системы MathCAD создать таблично заданную функцию по ее графику.

2.      Подобрать аппроксимирующую аналитическую функцию указанного в задании вида к имеющейся табличной функции, получить функцию закона движения материальной точки. Построить график исходной табличной и результирующей аналитической функций.

3.      Рассчитать значения проекций скоростей материальной точки на оси X и Y при заданном значении x=x1.

4.      Рассчитать значения проекций ускорения материальной точки на оси X и Y при заданном значении x=x1.

5.      Вычислить модуль ускорения и радиус кривизны траектории движения материальной точки.

6.      Провести расчеты п.п.3 -5 для значений x, указанных в задании.

.        Построить графики проекций скорости, проекций ускорения, модуля ускорения и радиус кривизны траектории движения материальной точки в зависимости от значений x.

2.2 Описание математической модели

Рисунок 2.1 -График движения материальной точки

Точка движется по плоской кривой Y=Y(X) с постоянной скоростью v. Для нахождения проекций скорости движения точки на оси X и Y (vx, vy) нужно при заданном значении х решить систему уравнений вида:

, (2.1)

где  - первая производная по координате х, y(x) - заданный закон движения точки.

Для нахождения проекций ускорения на оси X и Y (Wx, Wy) нужно при заданном значении х решить систему уравнений вида:

 (2.2)

где - первая производная от функции скорости y1(x) по координате х.

Модуль ускорения вычисляется по формуле:

 (2.3)

Радиус кривизны траектории движения точки вычисляется по формуле:

 (2.4)

2.3 Анализ исходных и результирующих данных

Исходными данными для работы являются:

v - постоянная скорость движения точки;

вид функции закона движения точки, заданный графически;

x1..x7 - значения координаты х, при которых нужно выполнить расчеты.

v=5,1 м/с - постоянная скорость движения точки;

-вид функции закона движения точки, заданный графически;

x1=0,25 х2=0,65 х3=0,98 х4=1,24 х5=1,53 х6=1,88 x7=2 - значения координаты х, при которых нужно выполнить расчеты.

Рисунок 2.2- Закон движения материальной точки

В качестве численного метода выбираем блочный метод для решения систем линейных уравнений при помощи стандартных функций пакета Mathcad

В результате выполнения курсовой работы мы должны получить:,vy - значения скоростей в 7 конкретных моментах времени, wy,W - значения ускорений в 7 конкретных моментах времени- значения радиуса кривизны

Все эти данные должны быть представлены в виде векторов и построены графические зависимости данных векторов от времени.

2.4 Графическая схема алгоритма и ее описание

Графическая схема алгоритма, изображенного на рисунке 2.3 имеет вначале линейный тип зависимости: ввод исходных данных, определение аналитической зависимости заданного графика, аппроксимация функции и нахождение значения коэффициентов, построение графиков исходной и результирующей функции, расчет 1 и 2 производной от полученного закона распределения, а затем циклический тип зависимости - решение системы линейных уравнений и вычисление модуля ускорения для 7 опытов.

Рисунок 2.3 - Графическая схема алгоритма

3. Описание реализации задачи в MathCAD

.1 Описание реализации базовой модели и описание исследований MathCAD

Запускаем математический пакет Mathcad. Задаем исходные данные согласно поставленной задачи при помощи оператора присваивания. Приводим все единицы измерения к системе СИ.

Введем значение скорости и присвоим системной переменной ORIGIN:=1

Векторы и матрицы можно задавать различными способами: с помощью кнопки с изображением матриц на наборной панели математических инструментов; как переменную с индексами перечислением элементов массива с разделение запятой; с помощью аналитического выражения.

Построим графики исходной и результирующей аналитической функции

Рис. 3.1 - Графики функций в MathCAD

Проведем исследования для заданных значений х

Произведем расчеты проекций скорости, проекций ускорения, модуля ускорения и радиуса кривизны траектории движения материальной точки для 7 значений x, указанных в задании, используя ранжированную переменную i:=1.. 7

3.2 Выводы по результатам исследований в MathCAD

В результате исследований мы получили вектора значений проекций скорости, проекций ускорения, модуля ускорения и радиуса кривизны траектории движения материальной точки

Построили графики проекций скорости, проекций ускорения, модуля ускорения и радиус кривизны траектории движения материальной точки в зависимости от значений x (Приложение Б, рисунки Б.1 - Б.3)

После построения графиков можно сделать следующие выводы:

. При увеличении значения координат х от 0,13 до 1 проекции скорости по оси Х - уменьшаются, а по оси У - увеличиваются, модуль скорости остается постоянным =5,1 м/с.

. При увеличении значения координат х проекции ускорения по оси Х и по оси У уменьшаются, модуль ускорения также уменьшается с 12,153 до 3,377 м/с2

. При увеличении значения координат х радиус кривизны траектории движения материальной точки увеличивается по параболическому закону и является величиной обратно пропорциональной модулю ускорения.

Заключение

В результате выполнения данной курсовой работы мы с использованием системы MathCAD создали таблично заданную функцию по ее графику и подобрали аппроксимирующую аналитическую функцию указанного в задании вида к имеющейся табличной функции при помощи метода наименьших квадратов, вычислили коэффициенты регрессии А=0,269, В=1,067 и получили функцию закона движения материальной точки (Приложение А рисунок А.2)

Затем рассчитали значения проекций скоростей, ускорения, модуль ускорения и радиус кривизны траектории движения материальной точки при заданном значении x=0,25 и повторили расчеты для всех значений x, указанных в задании. Расчет проекций произвели при помощи блочного метода решения систем уравнений используя специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом Given , завершаемый функцией find.

Построили графики проекций скорости, проекций ускорения, модуля ускорения и радиус кривизны траектории движения материальной точки в зависимости от значений x по результатам расчетов.

После построения графиков сделали соответствующие выводы.

В процессе выполнения и оформления работы были использованы такие пакеты как MathCAD, Microsoft Word. При решении данной работы были получены соответствующие навыки в использовании этих пакетов.

Построенная модель может бить использована для исследования процессов кинематики движения материальной точки.

Список использованных источников

1        Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов 2-е изд., испр. и доп./В.П. Тарасик - Мн.: Дизайн-ПРО,2004-604с.

2        Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений / Л.И. Турчак, П.В. Плотников.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Физматлит, 2003.- 304 с.

3       Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO: Универсальная система математических расчетов. - М.: СК Пресс, 1998.-320с

4        Трохова Т.А. Практическое пособие к выполнению контрольных работ по теме «Решение задач в среде MathCad» по курсу "Информатика" для студентов технических специальностей заочного отделения / Т.А. Трохова, Т.Л. Романькова, И.В. Стрижак. - Гомель: ГГТУ им.П.О.Сухого, 2005-48с

5        Трохова Т.А. Практическое руководство к курсовому проектированию по одноименному курсу для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения/ Т.А. Трохова, Н.В. Самовендюк, Т.Л. Романькова - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2005-34с.

6       Токочаков В.И. Решение систем алгебраических уравнений в среде MathCAD Windows. - Гомель, ГГТУ, 2000.-28с