,
Причем
m
Это один из основных законов, регулирующих все волновые движения. Предположение о классической волновой теории очень общее: существует «медленная» переменная функция, такая, что мы можем написать комплексное представление волнового движения, приведенное в уравнении (1). Если частоту и волновое число можно определить, как в уравнениях (2), они должны быть дифференцируемыми функциями временных и пространственных переменных для уравнения (3). Таким образом, для любого волнового движения, отличного от тривиального типа с постоянным частотным синусоидальным движением, частотное представление должно иметь мгновенные значения. Поэтому не должно быть никаких сомнений в математическом значении существования МЧ.
Физически также существует потребность в МЧ для понимания механизмов, лежащих в основе нестационарных и нелинейных процессов. Очевидно, что здесь нестационарность является одной из ключевых особенностей, но понятие МЧ также имеет важное значение для физической интерпретации нелинейных процессов: для нестационарного процесса частота должна постоянно меняться, следовательно, требуется временное представление данных, или чтобы значение частоты было функцией времени.
Для нелинейных процессов изменение частоты как функции времени еще более радикально. Чтобы проиллюстрировать необходимость МЧ в нелинейных случаях, рассмотрим типичную нелинейную систему:
m
где параметр е не обязательно малый, а справа -- функция вынуждающий силы величины г и частоты щ. Это кубическое нелинейное уравнение можно переписать как
m
где член в круглой скобке можно рассматривать как одну величину, представляющую пружинную константу нелинейного осциллятора (или длину нелинейно построенного маятника). Поскольку эта величина является функцией координаты, частота этого осциллятора также изменяется даже в пределах одного колебания. Эта частотная модуляция с широтно-частотным диапазоном является единственной уникальной характеристикой нелинейного осциллятора.
Геометрическими последствиями этой частотной модуляции являются искажения формы волны. Традиционно такие нелинейные явления представлены гармониками. Поскольку искажение формы волны может быть описано гармониками основной волны в анализе Фурье, оно рассматривается как гармонические искажения. Этот традиционный взгляд, однако, является следствием наложения линейной структуры на нелинейную систему: суперпозицию простых гармонических функций, каждая из которых является решением линейного осциллятора. Можно только предполагать, что сумма линейной суперпозиции дадут точное представление полной нелинейной системы, потому что понадобится бесконечно много членов для представления точки каустики, что было бы непрактичным.
Естественным и логичным подходом должен быть тот, который может фиксировать физический смысл: физическая сущность этой нелинейной системы -- это осциллятор, предполагающий разные значения частоты в разное время (даже в течение одного периода). Чтобы описывать такое движение, мы должны использовать МЧ для представления этой физической характеристики нелинейных осцилляторов. На самом деле, частотная модуляция является физически значимым и эффективным способом описания искажений формы волны.
В реальных экспериментальных и теоретических исследованиях постоянно меняющееся частота -- явление не редкое. Частоты в речи также постоянно меняются, и многие из согласных производятся с помощью высоко нелинейных механизмов, таких как взрыв или трение. Кроме того, для любой нелинейной системы частота определенно модулируется не только между разными периодами колебаний, но и в течение одного периода, как обсуждалось выше. Чтобы понять основные механизмы этих процессов, мы больше не можем полагаться на традиционный анализ Фурье с компонентами постоянной частоты. Мы должны исследовать истинные физические процессы с помощью мгновенной частоты из методов, не основанных на Фурье. инициирование молния микроразряд земной
Преобразование Гильберта
Важным шагом в анализе реальных данных было представление преобразования Гильберта для создания уникального аналитического сигнала от действительных данных, тем самым устраняя неоднозначность бесконечного числа возможных комбинаций амплитуд и фаз. Данный подход объясняется следующим образом: в любой момент времени, для ряда X(t) всегда можно применить преобразование Гильберта Y(t):
,
где P -- главное значение Коши. Это преобразование существует для всех функций класса . Согласно такому определению, X (t) и Y (t) образуют комплексную сопряженную пару, поэтому мы имеем аналитический комплексный сигнал Z(t):
,
Производная мгновенной фазы по времени есть мгновенная частота:
,
В общем случае, для стохастических данных фазовая функция является функцией времени, поэтому МЧ также является функцией времени. Это определение частоты имеет поразительное сходство с определением МЧ методом классической волны.
Поскольку преобразование Гильберта (ПГ) существует для любой функции класса Lp, существует ошибочное представление о том, что эту операцию можно применить к любым данным и получить физически значимый результат для МЧ. Такой подход создал большую путаницу в отношении значения МЧ в целом, и омрачил подход использования ПГ для вычисления МЧ.
Возьмем запись данных голоса «Hello», приведенной на Рис. 10, в качестве примера. Через ПГ мы имеем аналитический сигнал, построенный в сложной фазовой плоскости, приведенной на Рис. 11, где показан только набор случайных циклов.
Рис. 11: Аналитический сигнал на комплексной плоскости, получившийся в результате преобразования Гильберта. Источник: [19]
Рис. 10: Запись слова "Hello" с частотой дискретизации 22,050 Гц. Источник: [19]
Если обозначить производную фазовой функции как МЧ (согласно уравнению (4)), результат показан на Рис. 12. Ясно, что значения частоты рассеиваются в широком диапазоне с положительными и отрицательными значениями.
Кроме того, любая речь может иметь многокомпонентные звуки, но это представление дает только одну частоту в любой момент времени и игнорирует множественность сосуществующих компонентов. Следовательно, эти значения не являются физически значимыми вообще (ни мгновенно, ни иначе). Трудности, встречающиеся здесь, на самом деле можно проиллюстрировать гораздо более простым примером, используя простую функцию:
,
где а -- произвольная константа. ПГ для данной функции:
,
следовательно, МЧ, определенная по формуле (4), будет иметь следующий вид:
,
Уравнение (5) может давать любое значение для МЧ, в зависимости от значения a. Чтобы восстановить частоту входного синусоидального сигнала, константа a должна быть равна нулю. Этот простой пример иллюстрирует некоторые важнейшие необходимые условия для аналитического сигнала, чтобы дать физически значимый МЧ:
Источник: [19]
Функция должна быть монокомпонентной;
1. Функция локально должна иметь нулевое среднее значение;
2. Волна должна быть симметричной относительно нулевого среднего.
Все эти условия удовлетворяются для метода Эмпирической Модовой Декомпозиции, рассматриваемой ниже.
Декомпозиция. EMD и CEEMDAN
Рис. 12: Мгновенная частота, полученная как производная фазы.
При рассмотрении реальных процессов, с которыми приходится сталкиваться на практике, чаще всего имеют место сложные процессы, состоящие из большого количества компонент. Например, при анализе количества выпавших осадков. Мы должны помнить, что перед нами график, отражающий взаимодействие большого количества разнообразных процессов. Таких, как смена времен года, глобальные процессы потепления/похолодания, изменения в океанических течениях, динамика развития циклонов и антициклонов, количество выбросов углекислого газа в атмосферу, циклы солнечной активности и так далее.
Поэтому анализировать непосредственно такой график достаточно сложно, так как составляющие его компоненты, взаимодействуя друг с другом, маскируют и искажают те закономерности, которые мы хотели бы выявить. В этом случае возникает законное желание разделить наблюдаемый нами процесс на отдельные составляющие и анализировать каждую из компонент по отдельности. Анализируя отдельные компоненты и изучая вклад каждой из них в исследуемый процесс, можно лучше понять происходящее и, например, повысить достоверность прогноза.
Термин "декомпозиция" формально означает разложение на какие-то функции, которые при процессе формирования исходных данных реально не присутствовали. Эти функции как бы искусственно формируются в процессе разложения исходных данных, но, несмотря на их "искусственное" происхождение, позволяют произвести более глубокий анализ этих данных, помогая выявлять скрытые закономерности.
EMD (англ. Empirical Mode Decomposition) -- метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод». В отличие от гармонического анализа, где модель (дискретного или непрерывного) сигнала задаётся заранее, эмпирические моды вычисляются в ходе процесса, что и подчёркивается в названии метода.
Прежде чем говорить о методе, необходимо ввести несколько определений.
1. Огибающая сигнала -- это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала. В EMD используются локальные максимумы и локальные минимумы. В результате можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локального минимума, и верхнюю огибающую, построенную по точкам локального максимума. В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.
2. Среднее значение -- функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.
3. Эмпирическая мода (англ. intrinsic mode functions, IMF) -- эта такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:
1) Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.
2) Среднее значение, которое определяется по двум огибающим -- верхней и нижней, должно быть равно нулю.
Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.
4. Просеивание -- процедура выделения эмпирических мод (англ. Sifting).
Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод и остатков . В результате получается разложение сигнала вида
,
где n -- количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.
В общем виде алгоритм метода выглядит следующим образом.
1. Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.
2. Строятся две огибающие сигнала: нижняя и верхняя . При этом можно использовать сплайн (например, кубический).
3. Вычисляются среднее значение и разность между сигналом и его средним значением:
4. Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученное среднее значение и будет эмпирической модой. В противном случае необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности :
.
Рис. 13: Алгоритм метода Эмпирической Модовой Декомпозиции
В результате выполнения последовательности итераций необходимо получить функцию , которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая , выделена, итерации прекращаются.
5. Вычисляется остаток , и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции .
6. Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя будет выделить эмпирическую моду.
При просеивании последовательно вычисляются функции , поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.
Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа величину
,
тогда итерации прекращаются, как только число станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.
Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля и количества экстремумов : процесс просеивания обрывается, если . Или же если имеет место на протяжении S итераций. Число S выбирается заранее. Описанная процедура эмпирической модовой декомпозиции, как видно, базируется не на строгих математических выкладках, а, полностью оправдывая свое название, действительно является эмпирической. Несмотря на простоту и ясность предложенного Хуангом описанного выше алгоритма, он содержит ряд моментов, которые можно отнести к его недостаткам. Однако существует множество модернизаций данного метода, которые расширяют область применимости эмпирической декомпозиции, улучшают результаты и избавляют от некоторых существенных недостатков метода EMD.