Реферат: Исследование периода колебаний математического маятника

Исследование периода колебаний математического маятника

Реферат

Исследование периода колебаний математического маятника

Содержание

1. Постановка задачи

2. Обезразмеривание задачи

3. Постановка прямого вычислительного эксперимента

4. Нахождение аналитической зависимости

Литература

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение движения математического маятника, которое имеет вид

, (1)

где

. Там уже отмечалось, что период его колебаний Т зависит не только от g и l (как это известно из "школьной" формулы ), но и от угловой амплитуды колебаний, которую мы обозначаем через . Говоря о больших значениях угловой амплитуды , мы имеем в виду, что она может принимать и значения близкие к , что соответствует 180 градусам в угловых единицах. Для того, чтобы можно было говорить о столь больших значениях , будем считать, что математический маятник представляет собой материальную точку не на нити, а на жёстком невесомом стержне (физически это означает, что масса груза m много больше массы стержня). Уравнения маятника (1) остаётся справедливым и в этом случае, что с очевидностью следует из метода его вывода (см. модуль 2). Итак, нам нужно исследовать период колебаний математического маятника в случае, когда угловая амплитуда может принимать любые значения на интервале

. (2)

Мы будем исходить в дальнейшем при решении дифференциального уравнения (1) из начальных условий

 (3)

Выбор таких начальных условий означает вполне определённый способ возбуждения колебаний: мы отводим маятник в начальный момент времени на угол  и свободно его отпускаем (то есть не придаём ему искусственно отличной от нуля начальной скорости). Значение  является, очевидно, особым случаем: при отклонении на такой угол (при условии ) система находится в состоянии неустойчивого равновесия. Действительно, любое, сколь угодно малое отклонение от вышеуказанного угла приходит к выходу из этого состояния за счёт возникновения бесконечно малой возвращающей силы. В самом положении равновесия, учитываемые нами законы механики, не могут обеспечить детерминированное описание динамики системы: нельзя предсказать, в какую сторону начнётся движение маятника к своему нижнему положению равновесия - в сторону отрицательных углов или в сторону положительных углов (в последнем случае маятник "переворачивается"). Более того, уравнение движения (1) может описывать не только колебательное, но и вращательное движение маятника, что зависит не от этого уравнения, а от соответствующих начальных условий.

При численном исследовании колебаний маятника ситуация оказывается более сложной. Действительно, любой численный метод решения дифференциального уравнения является не точным, а лишь приближённым, в силу чего возникают некоторые вычислительные ошибки (вспомним, например, формулу (47) в случае применения четырёхточечного метода Рунге-Кутты).  При задании начальных условий  маятник должен был бы через период Т описать полную окружность и прийти в своё верхнее (неустойчивое) положение равновесия. Однако, за счёт вычислительных ошибок, через точное значения периода маятник может или не дойти или, наоборот, слегка перейти точку верхнего положения равновесия. В первом случае характер его движения будет колебательным, а во втором - вращательным. Далее, при моделировании движения маятника с помощью постановки соответствующих компьютерных экспериментов, этот вопрос будет исследован более подробно.

Итак, перед нами стоит задача нахождения периода колебаний  математического маятника как функции начального отклонения  от нижнего положения равновесия, что сводится к следующей задаче Коши:

 (4)

при условии .

2. Обезразмеривание задачи

В дифференциальное уравнение входит параметр . Это означает, что маятники разной длины (l) будут иметь разные периоды колебаний и что периоды одного и того же маятника на Луне, Земле и Марсе также будут различными (за счёт разных значений ускорения свободного падения g). Возникает вопрос: нужно ли нам, проводя вычислительные эксперименты, перебирать разные значения параметра ? В таких ситуациях обычно стараются уменьшить число свободных параметров в исходной математической модели за счёт соответствующего выбора единиц измерения (на этом принципе основаны методы "теории размерностей", играющие существенную роль при исследовании многих сложных задач физики (см., например [7])). В нашем случае без ограничения общности рассмотрения можно положить  за счёт масштабирования временной переменной. Действительно, пусть

, (5)

где t - "старое время",  - "новое время", а  - некоторый, пока что неопределённый масштабный множитель. Тогда имеем

. (6)

Подставляя в выражение для второй производной в дифференциальное уравнение математического маятника, получим

. (7а)

или

 (7b)

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по новому временному аргументу , в отличие от точки, которая отвечает дифференцированию по старому аргументу t.

Поскольку  - произвольный множитель, выберем его таким образом, чтобы удовлетворить условию

. (8)

В этом случае дифференциальное уравнения маятника приводится к некоторому "стандартному" виду:

 (9)

а масштабный множитель , то есть

. (10)

Таким образом, в единицах измерения, ответствующих формуле (10), уравнение математического маятника приобретает простой вид и в него уже не входят величины g и l.

Из этого следует, что для каждого значения  достаточно поставить лишь один вычислительный эксперимент и найти соответствующее значение периода колебаний . Таким образом, можно построить некоторую универсальную таблицу, перебирая значения  с некоторым, достаточно маленьким шагом на заданном интервале, указывая тем самым для каждого значения  величину периода .

В результате мы получим табличное представление функции зависимости периода от начального угла отклонения  (вспомним, как представлены элементарные функции в известных четырёхзначных математических таблицах Брадиса).

С помощью такой универсальной таблицы можно найти период колебаний  маятника любой длины (l) на любой планете (g) при его начальном отклонении :

. (11)

колебание математический маятник период

Фактически, переход от исходного уравнения (4) к уравнению (9) является обезразмериванием задачи ( является безразмерным временем, поскольку [T] =с, [] =).

3. Постановка прямого вычислительного эксперимента

Как говорилось во введении к настоящему пособию, при исследовании математических моделей будет использоваться математический пакет Maple. Мы предполагаем лишь самое общее и поверхностное знакомство с ним и надеемся, что освоение его богатых возможностей будет происходит в процессе практического решения различных задач.

Первым нашим шагом на этом пути является задача о колебаниях математического маятника и мы начнём с постановки вычислительного эксперимента, который по своей сути аналогичен постановке некоторого реального физического эксперимента в рамках проведения физического практикума.

Maple легко позволяет решать дифференциальные уравнения численными методами и строить их графики. Воспользуемся этой возможностью для решения задачи коши (4) при .

Для решения дифференциального уравнения в аналитической форме, построения его приближённого решения в форме степенного ряда или нахождения численного решения в пакете Maple используется один и тот же оператор (точнее, процедура - функция) dsolve c различными спецификациями, которые определяют, каким образом мы хотим решать данное уравнение. Для построения численного решения необходимо задать спецификацию numeric, а для построения в форме степенного ряда - series. При отсутствии же спецификации такого рода Maple пытается найти аналитическое решение (что, как уже говорилось, ему удаётся весьма редко).

При использовании оператора dsolve необходимо указать, что мы решаем, то есть задать дифференциальное уравнение или их систему и, если это необходимо, соответствующие дополнительные условия (в нашем случае - начальные). Далее указывается способ решения (построение решения в численном виде в форме степенного ряда, или в аналитического виде).

Оператор dsolve должен иметь как минимум два аргумента, оба из которых являются множествами. Первое множество определяет совокупность решаемых ОДУ и дополнительных условий, выделяющих некоторое частное их решение из общего, а второе множество определяет совокупность переменных, относительно которых решаются заданные дифференциальные уравнения.

Напомним, что на языке Maple множество представляет собой последовательность элементов, заключённую в фигурные скобки, а список представляет собой последовательность, заключённую в квадратные скобки. В свою очередь, последовательность есть совокупность элементов, отделённых друг от друга запятыми. Напомним также, что элементы множества считаются неупорядоченными (могут задаваться в любом порядке) и все они должны быть разными (повторения исключаются). В отличие от множества, элементы списка строго упорядочены и к ним можно обращаться по номеру. Один и тот же элемент в списке может повторяться в нем на разных местах сколь угодно много раз.

Уравнения и дополнительные условия (в случае решения задачи о математическом маятнике таковыми являются начальные условия) можно задавать в операторе dsolve в явном виде - они будут элементами множества, которое является первым аргументом этого оператора.

Лучше, однако, ввести отдельные переменные, которые определяют решаемое дифференциальное уравнение и переменные, задающие начальные условия.

Тогда в операторе dsolve указываются просто имена этих дополнительных переменных, а не соответствующие им объекты в явном виде.

Рассмотрим простейший фрагмент программы, который решает задачу Коши (4) для математического маятника и строит на мониторе компьютера график решения

Программа 1

> restart;

> with (plots);

> phi0: =1.3;

> Eq: = diff (phi (t), t$2) + sin (phi (t)) = 0;

> Nach: = phi (0) = phi0, D (phi) (0) = 0;

> Resh: = dsolve ({Eq,Nach},{phi (t) },numeric);

> odeplot (Resh, [t, phi (t)], [0.5], labels = [t, phi]);

Прокомментируем кратко приведённую программу.

Restart - оператор, с которого следует начинать любую программу и который осуществляет начальное восстановление (очистку памяти, отводимой Maple для хранения переменных).

Во второй строке стоит оператор, подключающий графическую библиотеку, которая, в частности, содержит необходимый нам далее оператор odeplot.

В третьей строке переменной  присваивается начальное значение угла отклонения  - 1.3.

В четвёртой строке программы переменной Eq присваивается дифференциальное уравнение математического маятника. Заметим, что переменная phi (t) (при выполнении программы Мaple пишет греческую букву ) указывается обязательно со своим аргументом t во всех местах, где она встречается!  Первым аргументом оператора diff является дифференцируемая функция phi (t), а второй аргумент этого оператора определяет, по какой переменной она дифференцируется и сколько раз (после знака $).

В пятой строке переменной Nach присваивается последовательность из двух элементов. Этими элементами являются равенства phi (0) =phi0 (оно соответствует первому начальному условию =) и D (phi) (0) =0 (оно соответствует второму начальному условию =0). Обратите внимание, что здесь использован оператор дифференцирования D (его можно было бы использовать и при задании дифференциального уравнения), а также и на несколько необычную запись аргументов этого оператора. В первых круглых скобках указано имя дифференцируемой функции, а во второй скобке - значение её аргумента, при котором вычисляется производная.

В шестой строке программы "переменная" Resh представляет собой процедуру решения нашего дифференциального уравнения (по умолчанию используется метод Рунге-Кутты-Фельдберга). В скобках после имени оператора dsolve указаны три аргумента, отделённые друг от друга запятыми. Два первых аргумента представляют собой множества: {Eq, Nach} и {phi (t) }. Первый из этих аргументов определяет нашу задачу Коши. Он задаёт решаемое уравнение и соответствующие начальные условия (их можно задавать в любом порядке, поскольку они являются элементами множества!). Второй аргумент определяет переменную, относительно которой решается наше уравнение (в общем случае здесь может стоять набор переменных, отделённых друг от друга запятыми). Наконец, третий аргумент оператора dsolve представляет собой спецификацию, которая определяет способ решения рассматриваемой задачи Коши - мы заказываем построение численного решения.