Реферат: Исследование периода колебаний математического маятника

Однако, ранее уже обсуждалось, что период колебаний математического маятника должен зависеть от амплитуды колебаний (начального угла отклонения ). Поскольку  является безразмерной величиной (напомним, что угол в радианах есть отношение длины соответствующей ему дуги к радиусу, которым она описана), ясно, что в общем случае, для константы гамма из формулы (14) имеем .

Является ли эта функция совершенно произвольной? Во-первых, из общих физических соображений ясно, что период колебаний маятника не должен зависеть от знака . Действительно, достаточно очевидно, что при начальном отклонении на угол  влево или вправо, возникающие колебания должны происходить с одним и тем же периодом. Из этого замечания следует, что гамма () должна быть чётной функцией своего аргумента .

Далее, поскольку можно говорить о периоде малых колебаний (т.е. колебаний с  сколь угодно близких к нулю), ясно, что функция не обладает какой-либо особенностью в точке =0 в силу чего можно разложить в ряд Тейлора в окрестности этой точки:

. (20)

В формуле (20) мы учли тот факт, что функция является чётной (и, стало быть, в ряд Тейлора входят только чётные степени её аргумента), а также то, что в пределе  она должна принимать значение .

Коэффициенты разложения  являются неизвестными, которые подлежат определению с помощью проведения соответствующих вычислительных экспериментов. Очевидно, что для того, чтобы определить k неизвестных коэффициентов формуле (20), необходимо провести как минимум k таких экспериментов, отклоняя в каждом из них маятник на разные углы . При этом выбираемые произвольные углы  (i=1,2,…k) не должны быть слишком большими, ибо можно надеяться только на то, что формула (20) обеспечивает приемлемую точность лишь для достаточно малых .

Если провести k вычислительных экспериментов, то можно найти k коэффициентов в формуле (20), поскольку мы получим k линейных алгебраических уравнений вида

, (21)

где i=1,2…k. Здесь  есть угол начального отклонения подвеса маятника от вертикального положения при проведении вычислительного эксперимента с номером i.

Полученную систему k уравнений с к неизвестными можно всегда решить и найти таким образом формулу (20) в явном виде.

Тем не менее, более разумно поступить несколько иначе. Поскольку каждый вычислительный эксперимент (как и реальный физический) даёт некоторую погрешность, лучше использовать для нахождения неизвестных коэффициентов  метод наименьших квадратов, который обычно используется в таких случаях для анализа результатов реальных физических экспериментов. С его сутью можно познакомиться по стандартным учебникам численного анализа [5]. Сейчас же для нас достаточно будет использовать готовую процедуру, имеющуюся в пакете Maple для реализации метода наименьших квадратов.

Заметим, что в Maple имеются даже две разные такие процедуры и что входные данные для них задаются по-разному.

Воспользуемся процедурой leastsquare, реализующей метод наименьших квадратов из библиотеки stats (см. описание этой процедуры в системе помощи Help). она находится в подразделе этой библиотеки, который имеет название fit (в этом разделе имеются и другие процедуры, используемые для аппроксимации экспериментальных данных).

Пусть имеются два списка хх и уу, котрые содержат аргументы х_i (i=1,2…N) и соответствующие им значения функции y_i=y (х_i) (i=1,2…N), которые были найдены в результате проведения некоторого физического эксперимента. Допустим, что мы хотим найти по этим данным квадратичную функцию y=ax²+bx+c, то есть вычислить коэффициенты a,b,c, при которых эта функция у (х) наилучшим образом (в смысле метода наименьших квадратов!) удовлетворяет вышеуказанному набору экспериментальных данных. В этом случае, можно следующим образом обратиться к процедуре Maple, позволяющей найти требуемую квадратичную функцию.

> with (stats);

> f: =fit (leastsquare [[x,y],y=a*x^2+b*x+c]] ([xx,yy]);

В результате выполнения системой Maple такой процедуры, мы получим в готовом виде функцию y=ax^2+bx+c с конкретными числовыми значениями входящих в него коэффициентов (a,b,c).

Литература

1.      Вирченко Ю.П.: Математические задачи в теории квантовой регистрации электромагнитного излучения. - Белгород: БелГУ, 2009

2.      Галкин В.А.: Анализ математических моделей: системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. - М.: БИНОМ: Лаборатория знаний, 2009

.        И.В. Колоколов и др.: Задачи по математическим методам физики. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009

.        Ильичёв А.Т.: Устойчивость локализованных волн в нелинейно-упругих стержнях. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

.        Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, РАН; Под ред.Г. Г. Малинецкого: Будущее прикладной математики. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009

.        Елизаров А.М.: Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике. - М.: Физматлит, 2008

.        Емельянов В.М.: Уравнения математической физики. - СПб.: Лань, 2008

.        Емельянов В.М.: Уравнения математической физики. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008

.        Хоофт Г.: Избранные лекции по математической физике. - М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008

.        Федоренко Р.П.: Введение в вычислительную физику. - Долгопрудный: Интеллект, 2008

.        Научные ведомости Белгородского государственного университета. - Белгород: БелГУ, 2007

.        Савотченко С.Е.: Уравнения математической физики. - Белгород: БелГУ, 2006

.        Бордовский Г.А.: Физические основы математического моделирования. - М.: Академия, 2005

.        Зайдель А.Н.: Ошибки измерений физических величин. - СПб.: Лань, 2005