Я. А. Калиновский
72
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2003, Т. 5, № 1 69
УДК 519.68; 620.179.15; 681.3
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
Исследование свойств изоморфизма квадриплексных и бикомплексных числовых систем
Я.А. Калиновский
Постановка проблемы
Система квадриплексных чисел нашла важное применение для повышения эффективности моделирования в различных областях науки и техники: физике, радиотехнике, цифровой фильтрации сигналов, навигации, криптографии и др. Поэтому целесообразно продолжить исследования квадриплексных чисел в направлении расширения геометрической интерпретации квадриплексного пространства с целью повышения эффективности моделирования различных объектов с использованием этой числовой системы.
Анализ последних достижений и публикаций
В настоящее время изучены многие арифметические и алгебраические свойства квадриплексных чисел -- правила сложения, умножения, деления, определения сопряженных элементов, нормы, делителей нуля [1].
Для квадриплексных чисел построены представления таких нелинейных функций как экспонента, логарифм, тригонометрическая и гиперболическая функции, обратные функции [2, 3].
В работах [4, 5] рассмотрены геометрические интерпретации в квадриплексных гиперкомплексных пространствах, предназначенные для конкретных физических задач.
Цель статьи
Целью статьи является разработка метода построения некоторых геометрических образов в гиперкомплексном квадриплексном пространстве на основе его изоморфизма бикомплексному пространству.
Результаты исследований
Как известно, система квадриплексных чисел изоморфна системе бикомплексных чисел. Этот изоморфизм описывается следующими линейными невырожденными взаимообратными преобразованиями базисов: если -- базис квадриплексной системы, а -- базис бикомплексной системы, то
В дальнейшем систему бикомплексных чисел будем обозначать через В, а квадриплексных -- через К.
Так как система бикомплексных чисел есть прямая сумма двух систем комплексных чисел, то все алгебраические операции и вычисления в ней сводятся к вычислениям в двух комплексных системах [6, 7]. Это позволяет строить более эффективные по объему вычислений модели по сравнению с моделями на основе квадриплексных чисел.
Переход от системы квадриплексных чисел к бикомплексным и обратно осуществляется по сравнительно простым алгоритмам (1), (2), требующим только сложения чисел. Деление на 2 осуществляется сдвигом регистра на один разряд и занимает очень мало машинного времени.
С целью повышения эффективности моделирования целесообразно исследовать некоторые свойства изоморфного перехода (1), (2). Рассмотрим, прежде всего, преобразование нормы числа.
Пусть задано число в квадриплексной системе
Его норма
Образ числа в бикомплексной числовой системе в соответствии с
Норма этого бикомплексного числа
Как видно из (4) и (6), в обоих случаях нормы положительны, но они могут быть равны нулю при отличном от нуля числе. Это означает, что и в системе квадриплексных чисел, и в системе бикомплексных чисел существуют делители нуля.
Выполнив преобразования в (4) и (6), можно показать, что
т.е. преобразования (1) и (2) сохраняют норму.
Рассмотрим экспоненциальные представления бикомплексных и квадриплексных чисел.
Пусть . Тогда
Если ввести обозначения
то экспоненциальная форма бикомплексного числа примет вид
Норма этого числа в соответствии с (6) будет равна
а модуль
Разделив (13) на (15), можно получить единичный орт числа
Из (6) и (16) следует, что
Выражения (13) и (16) имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Бикомплексное пространство можно представить как две независимые комплексные плоскости и . На каждой из плоскостей выбрана ортогональная система координат: на первой плоскости система , на второй -- система . Взаимное положение этих систем никак не оговаривается. геометрический квадриплексной пространство изоморфизм
Число (13) представляется парой векторов на плоскостях и , исходящих из начала систем координат и , длина которых и , а углы между векторами и осями и -- и соответственно.
Единичный вектор-орт вектора (13) -- пара векторов на плоскостях и длиной и с углами к осям и -- и соответственно.
Рассмотрим теперь квадриплексное число (3) .
Так как , то
,
где определяются по (9)-(12).
Выражение (17) -- это экспоненциальная форма квадриплексного числа. Она имеет более сложную структуру чем (13) и не допускает такой простой геометрической интерпретации. В работе [4] описана одна из геометрических интерпретаций квадриплексного пространства, которая значительно сложнее описанной выше геометрической интерпретации бикомплексного пространства. В связи с этим целесообразно при рассмотрении различных задач, связанных с геометрическими преобразованиями в пространстве квадриплексных чисел, переходить в пространство бикомплексных чисел.
Выводы
Изоморфный переход из системы квадриплексных чисел в систему бикомплексных чисел позволяет повысить эффективность решения ряда задач, представляющих интерес для моделирования различных процессов в науке и технике. Этот подход позволяет строить такие геометрические объекты как гиперкомплексные углы между векторами в квадриплексном пространстве, что необходимо для построения операторов поворота в квадриплексном пространстве.