Реферат: Исторический обзор экономико-математических методов и моделей

Исторический обзор экономико-математических методов и моделей

Исторический обзор экономико-математических методов и моделей

1. Описание Евклидом

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» - эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

. Математика в древнем Египте

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. К сожалению, египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов - известно, что греческие математики учились у египтян.

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса или папирус Ринда (84 математические задачи) и московский математический папирус (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры - это копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

. Математика Вавилона

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров - клинописное письмо, счётная методика и т. п.

Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc - объёмом, и т.д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора.

Как и в египетских текстах, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была.

. Экономико-математические методы и модели

Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

Описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей базируется на использовании одного из экономико-математических методов. Обобщающее название комплекса экономических и математических дисциплин - экономико-математические методы - ввел в начале 60-х годов академик В.С. Немчинов. С известной долей условности классификацию этих методов можно представить следующим образом.

. Экономико-статистические методы:

· экономическая статистика;

· математическая статистика;

· многофакторный анализ.

. Эконометрия:

· макроэкономические модели;

· теория производственных функций

· межотраслевые балансы;

· национальные счёта;

· анализ спроса и потребления;

· глобальное моделирование.

. Исследование операций (методы принятия оптимальных решений):

· математическое программирование;

· сетевое и планирование управления;

· теория массового обслуживания;

· теория игр;

· теория решений;

· методы моделирования экономических процессов в отраслях и на предприятиях.

. Экономическая кибернетика:

· системный анализ экономики;

· теория экономической информации.

. Методы экспериментального изучения экономических явлений:

· методы машинной имитации;

· деловые игры;

· методы реального экономического эксперимента.

В экономико-математических методах применяются различные разделы математики, математической статистики, математической логики. Большую роль в решении экономико-математических задач играют вычислительная математика, теория алгоритмов и другие дисциплины. Использование математического аппарата принесло ощутимые результаты при решении задач анализа процессов расширенного производства, матричного моделирования, определения оптимальных темпов роста капиталовложений, оптимального размещения, специализации и концентрации производства, задач выбора оптимальных способов производства, определения оптимальной последовательности запуска в производство, оптимальных вариантов раскроя промышленных материалов и составления смесей, задачи подготовки производства методами сетевого планирования и многих других.

Для решения стандартных проблем характерны четкость цели, возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

Существуют следующие предпосылки использования методов экономико-математического моделирования.

Важнейшими из них являются, во-первых, высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа; во-вторых, высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами.

Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, ввести систему обозначений, и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

. Теория воспроизводства К. Маркса

Своей теорией воспроизводства во II томе «Капитала» Маркс продолжил дело, начатое Экономической таблицей Ф. Кенэ: моделирование кругооборота общественного продукта.

Основу теории составляют схемы воспроизводства - абстрактные теоретические модели, построенные на целом ряде упрощающих предпосылок.

Во-первых, Маркс оперирует «естественными» величинами, пользуясь стандартной для классической политэкономии предпосылкой о соответствии рыночных цен стоимостям, что эквивалентно условиям долгосрочного рыночного равновесия при неизменности технического уровня производства и потребительских предпочтений. В то же время в самом способе определения стоимости заключается первая принципиальная особенность теории. Стоимость товара (q) распадается, по Марксу, на три части:

= с + v + m                                                                            (1)

где с - затраты постоянного капитала, соответствующие затратам средств производства, израсходованным при производстве данного товара;- затраты переменного капитала, соответствующие затратам на заработную плату рабочих;

т - прибавочная стоимость, составляющая конечный доход самих капиталистов.

Структура капитала по Марксу. В то время как стандартное деление капитала на основной и оборотный связано со способом возмещения капитальных затрат в цене продукта (путем амортизационных отчислений, т.е. по частям - в случае основного капитала; и полностью - в случае оборотного), деление капитала на постоянный и переменный вытекает из теории прибавочной стоимости Маркса. Постоянный капитал - это часть капитала, стоимость которого воспроизводится в цене продукта в неизменной величине («переносится» на цену продукта) - речь идет о капитальных затратах на средства производства, будь то оборудование (элемент основного капитала) или сырье и материалы (элементы оборотного капитала). Переменный капитал - это часть капитала, авансируемая для найма рабочей силы; именно эта часть капитала вовлекает в производство живой труд рабочих - источник всей вновь создаваемой стоимости, и тем самым обеспечивает не только покрытие соответствующих капитальных затрат (на зарплату), но и приращение первоначальной капитальной стоимости.

Таким образом, для стандартного капитала в сфере производства (например, фермерского) будет справедливо следующее соотношение:

Рисунок

Во-вторых, экономика разделена на два сектора (подразделения): производство средств производства (подразделение - Q1,) и производство предметов потребления (II подразделение - Q2), в рамках которых создается весь общественный продукт. Таким образом, стоимость общественного продукта может быть представлена как сумма стоимости продуктов двух подразделений:

=C1 + V1 + М1                                                                      (2)= C2+V2 + M2                                                                  (3)

В-третьих, Маркс лишь в особо важных для него случаях проводит различие между авансированным капиталом (запасом) и потребляемым капиталом (потоком капитальных затрат). Как правило, он исходит из предположения, что годовые затраты постоянного и переменного капитала совпадают по величине с их запасом по состоянию на начало соответствующего периода. Наконец, Маркс предполагает закрытую экономику (без внешней торговли) и «чистый капитализм» - общество, состоящее только из двух классов: капиталистов и рабочих. При этом в соответствии с классической традицией подразумевается, что рабочие целиком используют свой доход на потребление. Что касается способа расходования дохода капиталистов (прибавочной стоимости), то Маркс пользуется двумя гипотезами на этот счет и, соответственно, строит два варианта своих схем воспроизводства. Схема простого воспроизводства моделирует повторяющийся кругооборот общественного продукта в неизменном масштабе - в этом случае предполагается, что чистые инвестиции отсутствуют и вся прибавочная стоимость идет на личное потребление капиталистов. Схема расширенного воспроизводства, напротив, строится на предположении, что часть прибавочной стоимости сберегается от потребления и становится источником накопления капитала.

Главной темой исследования Маркса было накопление капитала, так что абстракция простого воспроизводства была для него не более чем промежуточным логическим этапом на пути к более важной цели - анализу расширенного воспроизводства. Однако выигрывая в реалистичности, схема расширенного воспроизводства заметно уступает в наглядности. Здесь нет четкой увязки между подразделениями и видами доходов: прибавочная стоимость обменивается на продукцию обоих подразделений, а чистый продукт охватывает не только фонд потребления, но и фонд накопления.

Механизм расширенного воспроизводства Маркс иллюстрировал условными численными примерами, приняв ряд дополнительных допущений: инвестиции осуществляются внутри каждого подразделения, структура дополнительного капитала (его деление на постоянный и переменный) воспроизводит сложившиеся пропорции, в накопление идет половина прибавочной стоимости I подразделения, тогда как норма накопления во II подразделении пассивно приспосабливается к условиям воспроизводства.