Курсовая работа (т): Итерационный метод вращений Якоби

Итерационный метод вращений Якоби

Реферат

Целью данной работы является изучение метода вращений, применение данного метода для вычисления собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы и реализация этого метода на ЭВМ.

Пояснительная записка к курсовому проекту состоит из двух основных частей: теоретической и практической. В первой части рассматривается сущность метода Данилевского. Практическая часть содержит разработку программного кода для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы на языке программирования С Sharp.

При написании пояснительной записки было использовано 7 литературных источников.

Перечень ключевых слов: собственные значения, собственные вектора, вращение Якоби, симметричная матрица.

Содержание

Введение

. Теоретическая часть

.1 Собственные значения и собственные вектора матрицы

.2 Итерационный метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений

.3 Метод вращений Якоби

.4 Решение обобщенной проблемы собственных значений

. Практическая часть

.1 Пример решения

.2 Реализация на ЭВМ

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Листинг программы

Приложение 2. Пример результата работы программы

Введение

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные вектора характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости. Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы. В данной работе будет рассмотрен метод вращений Якоби. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.

1. Теоретическая часть

.1 Собственные значения и собственные вектора матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка:

Собственные значения l_i  квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию:

,

E - единичная матрица,  - собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению l.

Матрица  называется характеристической матрицей матрицы A. Т.к. в матрице  по главной диагонали стоят l, а все остальные элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид:

Определитель этой матрицы называется характеристическим или вековым определителем и равен:

В развернутом виде он является многочленом n-ой степени относительно l, т.к. при вычислении этого определителя произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом , т.е.

и называется характеристическим многочленом. Корни  этого многочлена - собственные значения или характеристические числа матрицы A. Числа  называются коэффициентами характеристического многочлена.

Ненулевой вектор  называется собственным вектором матрицы A, если эта матрица переводит вектор X в вектор

,

т.е. произведение матрицы A на вектор X и произведение характеристического числа l на вектор X есть один и тот же вектор. Каждому собственному значению  матрицы соответствует свой собственный вектор .

Для определения координат собственного вектора составляется характеристическое уравнение: . Переписав его в векторном виде и выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений:

Определитель этой системы равен нулю, т.к. из этого условия были определены собственные значения матрицы A. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Ее можно решить с точностью до постоянного множителя (как систему однородных уравнений). Решив эту систему, мы найдем все координаты собственного вектора X. Подставляя в систему однородных уравнений поочередно , получаем n собственных векторов.

.2 Итерационный метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений

матрица вектор эрмитовый итерационный

Метод вращений применим к эрмитовым матрицам с комплексными элементами. Для простоты рассмотрим частный случай эрмитовых матриц - действительных симметричных.

Известно, что всякая симметричная действительная матрица  может быть приведена к диагональному виду преобразованием

, (1)

где  - некоторая ортогональная матрица; - диагональная матрица, элементами которой являются собственные числа  матрицы .

Так как для ортогональной матрицы обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей: , то равенство (1) равносильно следующему

. (2)

На основе этого равенства можно построить ряд методов, отличающихся способом вычисления матрицы . Все методы базируются на следующем равенстве:

, (3)

где  - некоторая ортогональная матрица, которая несложно вычисляется;  - квадратная матрица с близкими к нулю недиагональными элементами, так как найти  в общем случае трудоемко:

. (4)

Естественно предполагать, что коэффициенты , , будут близки к собственным числам матрицы .

Введем обозначение для суммы квадратов модулей недиагональных элементов по строкам:

. (5)

За меру близости матрицы  к диагональному виду примем число:

. (6)

Пусть с помощью преобразования подобия с ортогональными матрицами построена последовательность матриц: . Процесс построения этих матриц называется монотонным, если .

Таких процессов может быть построено большое число. Рассмотрим метод вращений. Он достаточно прост по вычислительной схеме и обладает быстрой сходимостью.

.3 Метод вращений Якоби

В методе вращений последовательность матриц строится с помощью ортогональной матрицы вращения:

 (7)

Матрица вращений  получается из единичной матрицы заменой ее элементов на пересечениях - х и - х строк и столбцов записанными элементами.

Предположим, что преобразования доведены до шага номера  и построена матрица . Найдем в ней наибольший по модулю недиагональный элемент . Если таких элементов несколько, то рассматриваем любой из них. По индексам ,  найденного наибольшего по модулю недиагонального элемента строим матрицу вращения , в которой угол  пока не определен. Далее образуем матрицу

. (8)

Введем обозначения:

.

Ввиду особой структуры матрицы  (7) все столбцы матрицы , кроме - го и - го, будут такими же, как и в матрице . Элементы столбцов номеров  и  будут вычисляться по формулам:

;

. (9)

Аналогично строки матрицы , кроме - й и - й, будут такими же, как в матрице , а элементы ее строк - й и - й вычисляется по формулам:

;

. (10)

Равенства (9) и (10) позволяют несложно вычислить коэффициенты

,

которые в силу равенства  преобразуются к следующему виду:

. (11)

Сейчас назначим в выражении (11) такое значение угла , чтобы рассматриваемый элемент  обратился в нуль. Из этого условия получаем выражение:

,

из которого находим значение угла

 (12)

Убедимся, что полученная таким образом матрица  ближе к диагональному виду, чем предшествующая . Для этого вычислим - меру близости матрицы  к диагональному виду. Пусть матрица  имеет меру ее близости к диагональному виду . Матрица  симметрична и на основании выражений (9) - (11) можно показать, что

, (13)

так как  есть наибольший по модулю недиагональный элемент, отличный от нуля, который исключен при получении матрицы .

Тогда на основании выражения (13) верно неравенство:

.

Следовательно, мера  уменьшиться при преобразовании (8).

Оценим скорость стремления к нулю величины  при преобразованиях исходной матрицы согласно выражению (8).

По выбору элемента  как наибольшего по модулю справедливо неравенство

и, следовательно,

. (14)

С помощью этого неравенства из выражения (13) получается

, (15)

где

.

Пусть значение . Тогда величина  и из неравенства (15) вытекает цепочка неравенств