Курсовая работа (т): Итерационный метод вращений Якоби

.

Так как , то для меры близости матрицы  к диагональному виду  будем иметь оценку

Отсюда следует, что  со скоростью не меньшей, чем скорость сходимости геометрической прогрессии со знаменателем .

Рассмотренный метод преобразования подобия с ортогональной матрицей требует выбора среди недиагональных элементов преобразуемой матрицы наибольшего по модулю. Для этого необходимо выполнить приблизительно  операций.

Существуют и другие методы выбора наибольшего по модулю элемента, предназначенного для исключения. Например, можно выбрать наибольшую из сумм (5). Если это есть , то в качестве элемента  можно выбрать наибольший по модулю элемент из найденной строки . При таком правиле выбора элемента  необходимо выполнить примерно  операций. Отметим, что оценка (16) для такого метода выбора наибольшего по модулю элемента, предназначенного для исключения, сохраняется.

.4 Решение обобщенной проблемы собственных значений

Определение 1. Пусть  и  некоторые квадратные матрицы. Тогда задача нахождения чисел  и ненулевых векторов , в общем случае комплексных, являющихся решениями уравнения , называется обобщенной проблемой собственных значений. Искомые числа  называются собственными числами проблемы, а ненулевые векторы  - собственными векторами, соответствующими этим собственными числам .

Определение 2. Матрица  называется матричным пучком и обозначается .

Если матрица  невырожденная, то обобщенная проблема собственных значений эквивалентна стандартной проблеме собственных значений  с матрицей .

Решение ряда задач сводится к обобщенной проблеме собственных значений с симметричными действительными положительно определенными матрицами , :

. (1)

Тогда все собственные числа обобщенной проблемы положительны (неотрицательны).

Сведение обобщенной проблемы собственных значений с симметричными матрицами к стандартной проблеме собственных значений  невыгодно, так как в ней матрица  несимметричная. Как известно, симметричные матрицы имеют ряд полезных свойств, которые позволяют построить эффективные методы различных вычислений. Поэтому сознательно терять полезные свойства исходной проблемы невыгодно. В связи с этим для решения обобщенной проблемы собственных значений с симметричными матрицами разработаны специальные методы, которые, по сравнению с общими методами, позволяют решать проблему более эффективно.

Отметим, что обобщенная проблема собственных значений с симметричными действительными положительно определенными матрицами возникает, например, при определении собственных частот линейных колебательных систем с распределенными параметрами вариационными методами математической физики, в том числе методом конечных элементов. При анализе частот собственных колебаний конструкции необходимо решать уравнение (1), в котором искомая величина  явно выражена через частоту собственных колебаний конструкции;  - общая матрица жесткости конструкции;  - матрица масс;  - форма собственных колебаний.

Среди методов решения обобщенной проблемы собственных значений с симметричными матрицами одно семейство методов состоит в сведении проблемы к стандартной проблеме собственных значений с симметричной матрицей. Рассмотрим два метода этого семейства, в которых применяются теоретические результаты вычислительной математики, изложенные ранее.

Рассмотрим первый метод. С помощью преобразования подобия представим в уравнении (1) матрицу  в виде разложения на множители:

, (3)

где  - ортогональная матрица;  - диагональная матрица, ненулевые элементы которой равны: , ; ,  - собственные числа матрицы , при этом , ; ;  - диагональная матрица, ненулевые элементы которой равны: , .

Единственное и решающее использование этого свойства в рассматриваемом методе - свойство положительной определенности матрицы , состоящее в том, что все ее собственные числа положительные. Следовательно, можно получить вещественную матрицу .

Матрицы  и  могут быть найдены, например, с помощью процедуры метода вращений, изложенной ранее.

Согласно формуле (3) подставим матрицу  в уравнение (1), получим

.

Умножая полученное равенство слева на матрицу , получим:

. (4)

Представим

 (5)

и, подставляя это выражение в уравнение (4), приведем его сначала к виду

,

а затем запишем так

. (6)

Уравнение (6) можно представить в стандартном виде

, (7)

где  - симметричная матрица.

Так как в уравнении (7) матрица  симметричная, то для нахождения ее собственных чисел и собственных векторов можно второй раз применить метод вращений. В результате применения метода вращений получаются множители разложения для матрицы  в виде:

 (8)

где  - ортогональная матрица;  - диагональная матрица.

На основании выражений (7), (8) запишем равенство

,

из которого следует

, (9)

где  - ортогональная матрица, равная произведению обратимых матриц.

Результат двойного применения метода вращений можно представить в виде преобразования подобия пары исходных матриц ,  (пучка матриц ) с помощью ортогональной матрицы , которое дает  - матрицу собственных чисел исходной проблемы (1).

Собственные векторы проблемы (7) связаны с векторами исходной проблемы (1) соотношением (5).

Рассмотрим второй метод. Представим матрицу  в виде произведения двух треугольных матриц, полученных по схеме метода квадратных корней

, (10)

Подставляя выражение (10) для матрицы  в уравнение (1) и умножая его слева на матрицу , получим

.

Затем, подставляя в это уравнение , получим

, (11)

где  - симметричная матрица.

Так как в уравнении (11) матрица  симметричная, то для решения получившейся стандартной проблемы собственных значений  можно применить метод вращений.

Замечания. 1. Если собственные числа или собственные векторы матрицы найдены недостаточно точно, то их можно уточнить существующими методиками уточнения отдельного собственного значения и соответствующего собственного вектора.

. Разработаны методы уточнения приближенного решения полной проблемы собственных значений.

. Разработаны методики ускорения сходимости при решении проблем собственных значений как частичных, так и полной.

2. Практическая часть

.1 Пример решения

Найти собственные значения и собственные вектора для матрицы

. Положим .

. Выделим максимальный по модулю элемент в над диагональной части: . Так как , то процесс продолжается.

3. Находим угол поворота:

. Сформируем матрицу вращения:

. Выполним первую итерацию:

Положим  и перейдем к пункту 2.

(1). Максимальный по модулю над диагональный элемент

Так как , процесс продолжается.

(1). Найдем угол поворота:

(1). Сформируем матрицу вращения:

(1). Выполним вторую итерацию:

Положим  и перейдем к пункту 2.

(2) Максимальный по модулю над диагональный элемент

.

(2). Найдем угол поворота:

(2). Сформируем матрицу вращения

(2). Выполним третью итерацию и положим  и перейдем к пункту 2:

(3). Максимальный по модулю над диагональный элемент

(3). Найдем угол поворота:

(3). Сформируем матрицу вращения:

(3). Выполним четвертую итерацию и положим  и перейдем к пункту 2:

(4). Так как , процесс повторяется

(4). Найдем угол поворота

(4). Сформируем матрицу вращения:

(4). Выполним пятую итерацию и положим  и перейдем к пункту 2:

(5). Так как наибольший по модулю над диагональный элемент удовлетворяет условию , процесс завершается.

Собственные значения:

Для нахождения собственных векторов вычислим

отсюда

или после нормировки

.2 Реализация на ЭВМ

Алгоритм метода вращений

1) Положить  и задать .

) Выделить в верхней треугольной над диагональной части матрицы максимальный по модулю элемент .

Если  для всех , процесс завершить. Собственные значения определяются по формуле

.

Собственные векторы  находятся как i-e столбцы матрицы, получающейся в результате перемножения:

Если , процесс продолжается.

) Найти угол поворота по формуле.

) Составить матрицу вращения .

) Вычислить очередное приближение

Положить  и перейти к пункту 2.

Используя обозначение

,

можно в пункте 3 алгоритма вычислять элементы матрицы вращения по формулам

,

Контроль правильности выполнения действий по каждому повороту осуществляется путем проверки сохранения следа преобразуемой матрицы.

Заключение

При выполнении данной курсовой работы был изучен метод вращения Якоби решения симметрически полной проблемы собственных значений.

Этот метод при небольших размерах матриц дает неплохие результаты, и позволяет с большой точностью вычислять собственные пары. При больших размерах матриц реализация метода наталкивается на существенные потери машинных ресурсов (из-за необходимости поиска максимального элемента матрицы, и перемножения матриц большой размерности). Так же резко сужает возможность применить данный метод на практике то, что он может быть применен только к симметрическим, вещественным матрицам. Ввиду вышесказанного, этот метод на практике применяется редко, чаще применяется циклический метод Якоби с барьерами. Скорость сходимости которого так же асимптотически квадратичная.