Вологодский государственный технический университет (ВоГТУ),
К расчетно-экспериментальному определению энергетических параметров и балансовой модели теплообмена в приемнике лучистой энергии
В.И. Игонин, Д.А. Белянский
Аннотация
теплопроводность энергетический приемник источник
Исследуются энергетические параметры системы «источник - приемник энергии» путем натурного и численного экспериментов. В качестве приемника лучистой энергии выбрана ограждающая поверхность из красного керамического кирпича. В ограждающей поверхности с помощью источника формируется экспериментальное температурное поле. Путем численного эксперимента исследуются его силовые и потоковые характеристики, определяются свойства материала, подбирается тип дифференциального уравнения в частных производных типа теплопроводности, даются рекомендации к классификации и решению подобного рода задач.
Ключевые слова: термодинамическая неравновесная система, источник - приёмник лучистой энергии, нелинейные свойства, силы, потоки.
Основная часть
В последнее время возрастающая экологическая нагрузка на природу ведет к энергетической интенсификации технически организованных систем жизнеобеспечения и в целях безопасной и экологичной их эксплуатации требует уточнения, а в некоторых случаях - пересмотра моделей переноса теплоты и массы в ограждающих поверхностях технологических систем и конструкций различного типа [1-5].
Увеличивающаяся плотность энергообмена во вновь организованных системах создает условия для развития полевой неоднородности в термомеханических структурах, меняющих свое энергетическое состояние под действием локальных проявлений термодинамических движущих сил, которые, в свою очередь, создают потоки энергии положительного или отрицательного координатно-временного направления.
Уточнение балансовых потоковых соотношений при различных уровнях температур в координатно-временном энергетическом пространстве системы позволяет находить условия для создания и роста оптимального количества аккумулирующих структур, которые могут при определенных условиях переходить в диссипативные, и наоборот [1].
Система управления технологическим процессом требует наличия моделей, позволяющих воспроизводить нужные свойства структуры и ее элементов. Воспроизводство нужных свойств возможно путем реализации алгоритмов, написанных для самоорганизационных систем, в которых идут синергетические процессы. Это справедливо также и для объемного наноконструирования материалов с целью создания в них аккумуляционных или диссипативных свойств [3].
Для определения полевых термодинамических свойств и потоков энергии за счет воздействия термических сил в материалах формируемых изделий следует знать их распределение в пространстве и во времени. С целью получения этой информации необходимо решать краевые задачи тепло- и массопереноса. Методы решения краевых задач разные. Одни методы дополняют другие - в смысле оценки правильности полученных результатов. Например, в [8], [9] авторы, в результате исследований приходят к выводу, что при бесспорной важности численных математических моделей последние нуждаются в надежном тестировании. Поэтому не снижается ценность получения новых точных аналитических и экспериментальных решений. С другой стороны, для осмысления результатов решения численными методами требуется аналитическая форма их представления.
Характерным признаком для аналитических исследований (например, в работах Е.В. Кирсанова, В.А. Кудинова, Б.В. Аверина, Е.В. Стефанова и других ученых) является то, что решение задач теплопроводности с переменными граничными условиями не зависит от вида решаемого уравнения (гиперболического или параболического типа [11]); результаты исследований чаще всего сравниваются с данными, полученными численными методами, и наоборот [12], [13], [14]. Причем, как правило, сравнение осуществляется на уровне решений задач, имеющих упрощенные граничные условия. Такой подход при проведении исследований подразумевает, что если для простых классических случаев решения совпадают, то и для сложных явлений результат будет правильным.
Учитывая все вышесказанное, рассмотрим систему, состоящую из источника теплоты (инфракрасный излучатель) и приемника (преобразователь энергии) [15], [16]. Система позволяет экспериментальными методами изучать синергетические самоорганизованные процессы тепломассообмена в телах разной конфигурации, которые в основе своей формируют свойства материала и потоки при заданных в эксперименте конечных разностях температур [14, 15].
Для эксперимента выбрана композитная система в виде керамической кирпичной стенки, для которой, как следует из предыдущего обзора, очень важно знать температурное состояние в каждой точке пространства и времени, поскольку от знания функции энергетического состояния зависит локальное формирование зон с аккумулирующими или диссипативными свойствами. Свойства материала зависят от силовых характеристик, типа и вида энергетического переходного процесса, создаваемого регулированием мощности источника излучения. Проблема воспроизводства функции энергетического нагружения связана с видом математической модели и краевой задачи, которую должна решать система управления [16].
Рассмотрим задачу выбора балансового дифференциального уравнения теплопроводности под полученное из эксперимента температурное поле. Тогда справедлива следующая постановка.
Дано распределение температуры по толщине кирпичной стенки в виде некоторой функции (1). В начальный момент времени имеем равномерное распределение температуры (2). В некоторый момент времени на одной из поверхностей при х = 0 выполняется условие (3), на другой при х = - условие (4).
, (1)
, (2)
, (3)
. (4)
Из обзора литературы следует, что баланс теплоты в каждой точке стенки в условиях нестационарной смешанной краевой задачи может быть описан тремя типами уравнений:
при ярко выраженной нелинейности [7], когда :
; (5)
линейной задачи [12], когда = const:
; (6)
гиперболического линейного уравнения теплопроводности [11], [14]:
. (7)
Схема экспериментальной установки, реализующая модельное силовое состояние процесса теплопроводности через условие лучистого теплообмена, представлена на рис. 1.
Р и с. 1 Схема экспериментальной установки: 1 - источник инфракрасного излучения, 2 - приемник (кирпичная стенка), 3 - термопары по толщине стенки, 4 - система преобразования аналогового сигнала в цифровой, 5 - компьютер
Установка состоит из источника инфракрасного излучения, энергию которого принимает поверхность керамической кирпичной стенки. Регулирование мощности излучателя позволяет реализовывать условия переключения с одного силового режима на другой и тем самым формировать переходные и нестационарные процессы в материале изделия.
На монитор компьютера с помощью специального программного обеспечения выводятся графики изменения температур в заданных точках по толщине стенки (рис. 2).
Температурные зависимости аппроксимируются функциями в виде полиномов, а также с помощью конечно-разностного представления с приращением температуры T с шагом x по координате и по времени.
Силовые температурные представления в виде производных, взятых по координатам и времени, получены обработкой исходного поля в среде MathCAD.
Анализ графика (см. рис. 2) показывает существование локальных энергетических зон в материале при подводе теплоты. Из графика видно, что при равных начальных условиях нагрева поверхности приемника функции имеют экстремум, указывающий на понижение температуры.
Р и с. 2 Экспериментальная температурная функция (1)
В работах [16-20] описываются варианты определения энергетического состояния изучаемой системы через силы, свойства и потоки. Потоки и силы связаны между собой через свойства материала. Из (5) - (7) видно, что энергетическое состояние системы описывается вектором
. (8)
Поэлементно векторы формируются следующим образом.
, (9)
где а - коэффициент температуропроводности, ; сp - теплоёмкость, ; - плотность, ; r - время релаксации, с; - коэффициент теплопроводности, . Силовые характеристики поля температур описываются вектором
, (10)
где элементами являются темп и градиент их изменения. Для определения балансовых соотношений в виде уравнений типа теплопроводности требуется знать матрицу производных
(11)
от элементов матриц П4 и П2.
. (12)
Комбинации, полученные от произведения, сложения и взятия производных от элементов в матрицах П1, П2, П3, П4, позволяют определить параметры перестройки температурного поля в виде темпа накопления и плотности потока теплоты для элементарного объема материала с заданными плотностными свойствами, а также сформировать слагаемые в правых и левых частях уравнений теплопроводности (5) - (7). Обозначив через F1 и F2 левую и правую части уравнений, получим невязку . Сопоставляя F1 и F2 между собой и выполняя итерационное условие путем подбора элементов вектора П1, имеем возможность получить то уравнение, которое подходит под температурное поле (1).
Р и с. 3 Полевая невязка баланса для уравнений (5), (6), (7): а - уравнение (7) при ; b - уравнение (7) при ; c - уравнение (5); d - уравнение (6)
Чтобы найти области температурного поля, в которых справедливо то или иное уравнение теплопроводности, проведен расчет невязок от разницы правых и левых частей уравнений с учетом анализа зависимостей элементов вектора М от времени и температуры. Анализ графиков для составляющих всех трех уравнений позволяет получить первое приближение пространственно-временного поля невязок. Для функции первого приближения найдены максимальные и минимальные значения. По текущим максимальным и минимальным значениям балансовой энергетической невязки для каждого из уравнений теплопроводности рассчитываются ее безразмерные значения по формуле
, (13)
где - левая и правая части уравнений, для которых сводится баланс; - минимальное значение разности ; - максимальное значение разности .
Тёмные области представляют наибольшую сходимость баланса.
Численный эксперимент показал, что регулирование абсолютных безразмерных значений невязок путем подбора элементов матрицы свойств П1 для каждого из уравнений невязки в каждой точке дают изменение температурного поля (5), (6) и (7).
Р и с. 4 К выбору уравнения теплопроводности в координатно-временном представлении температуры. Регулирование коэффициентами тепло- и температуропроводности:
Р и с. 5 Регулирование поля невязок коэффициентами релаксации в уравнении (7)
На рис. 3 b, c, d видна общая зона сходимости в центре стенки при от 2000 до 9000 с, далее с течением времени невязка баланса при x = 0.05 м начинает увеличиваться до 40%. На рис. 3 a, начиная с 3000 с и до конца процесса нагрева, при x =0.023 м невязка баланса уравнения (7) колеблется в пределах 0-10%.
Области определения каждого из уравнений показаны на температурном графике экспериментальных данных (рис. 4).
При x = 0.023 м и = 3000 - 30.000 с удовлетворяется уравнение (7) с невязкой 10% (см. рис. 4, область 1). При x =0.023, 0.078 м и = 0 - 2000 с удовлетворяется уравнение (6) (рис. 4, область 2). При координате x = 0.05 м и для промежутка времени = 2000 - 9000 с удовлетворяются уравнения (5), (6), (7) с погрешностью 10% (рис. 4, область 3). Зоны определения температурной функции, не отмеченные на рис. 4, удовлетворяют исследуемым уравнениям с погрешностью в невязке от 40 до 100 %.
В работе [19] применяется метод искусственной гиперболизации уравнения теплопроводности при решении граничной обратной задачи (рис. 5).
Автор указывает, что при выборе наилучшего приближения к искомому граничному условию параметр времени релаксации играет роль некоторого фиксированного времени, за которое происходит явление релаксации в исследуемом материале. Изменяя коэффициент релаксации до величины 16000 с, получаем уменьшение невязки баланса во всей толще стенки начиная с времени 4000 с до значений 2-5%.
Уточненное время релаксации довольно близко приближается к реальному, когда плотность термодинамических сил для всех координатных точек системы сходится в одну точку, а темп их изменения во времени становится одинаковым.
Выводы
1. Разработана методика настройки термодинамической модели на экспериментальное температурное поле с целью изучения силовых и потоковых характеристик, которые меняются в зависимости от координатно-временной температурной перестройки поля под влиянием принуждающего воздействия потока лучистой энергии.
2. Построена экспериментальная установка (источник - приемник энергии) с аналогово-цифровым комплексом получения и компьютерной обработки экспериментальной информации.
3. Проведены натурный и численный поисковый и аппроксимационный эксперименты [6].
4. Установлено, что для определения функции переходного процесса управления и для восстановления и настройки на необходимую функцию температурного поля (1) для данного потребителя лучистой энергии требуется решать гиперболическое уравнение теплопроводности (7) при граничных условиях (2) - (4).