Материал: Компендиум

Как видно из формулы для амплитуды вынужденных колебаний, она будет зависеть от собственной частоты колебаний, частоты внешней периодической силы и коэффициента затухания. Частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной, называется резонансной частотой; она определяется из условия

Явление достижения амплитудой вынужденных колебаний своего максимального значения называется резонансом.

4. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой и во взаимно перпендикулярных направлениях

Тело может принимать участие одновременно в нескольких колебательных движениях. Рассмотрим простейшие случаи сложений колебаний.

Тело принимает участие в двух колебательных движениях, совершаемых вдоль одной прямой и с одной частотой:

11

изменяться по закону: x Acos t (рисунок 3).

Изобразим на векторной диаграмме вектора, соответствующие колебаниям для x1 и x2 (рисунок 4). Так как

частота колебаний одинакова, то углы между векторами будут постоянными. Угол может быть

антипараллельно, тогда амплитуда будет минимальной. Обобщая, можно сказать, что разность фаз и амплитуды

складываемых колебаний определяют амплитуду результирующего колебания.

Фаза результирующего колебания будет определяться по формуле:

arctg A1 sin 1 A2 sin 2 .

A1 cos 1 A1 cos 1

При сложении колебаний с примерно равными частотами в результате образуются колебания с медленно гармонически изменяющейся амплитудой – биения.

Тело принимает участие в двух колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, с одинаковой

частотой: x Ax cos( t x ) и y Ay cos( t y ). В результате колеблющееся тело будет описывать в пространстве кривую –

12

эллипс, определяемый уравнением:

В зависимости от соотношения фаз и амплитуд суммируемых колебаний получают частные случаи эллипса: окружность, отрезок прямой.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с разными частотами получают сложные траектории движения колеблющегося тела – т.н. фигуры Лиссажу.

5. Сложные колебания. Гармонический спектр сложных колебаний, теорема Фурье. Разложение колебаний в гармонический спектр

Колебание, отличное от гармонического, будем считать сложным. Согласно теореме Фурье, сложное колебание может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с кратными частотами – т.н. гармоник:

x(t) A0 A1 cos( t 1 ) A2 cos(2 t 2 ) A3 cos(3 t 3 ) ...A0 Ak cos(k t k )

13

известными характеристиками (амплитудами, частотами, фазами) называется спектром. А сам процесс нахождения гармоник

6. Механические волны, их виды и скорость распространения

Под механической волной понимают механическое колебание, распространяющееся в среде. Также механическую волну определяют как перенос энергии в среде без переноса частиц среды. Механические волны возникают из-за того, что частицы среды связаны друг с другом силами упругости, и выведение из положения равновесия одной частицы вызывает смещение соседних частиц.

Механические волны можно разделить на продольные и поперечные, а также поверхностные. В продольных волнах колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны (волны сжатия и разрежения). В поперечных волнах колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения. Поверхностные волны являются своеобразной комбинацией из продольных и поперечных волн, быстро затухающими вглубь среды.

Звуковые волны в воздухе являются примерами продольных волн, поперечные и поверхностные волны в металлах и на их поверхности являются примерами, соответственно, поперечных и поверхностных волн.

14

Скорость, с которой возмущение распространяется в среде, называют скоростью волны. Если волна монохроматическая (т.е. может быть представлена одним гармоническим колебанием), то корректнее её скорость называть фазовой скоростью, т.е. скоростью распространения фиксированной фазы колебания в среде. Если в некоторой среде возможно образование продольных и поперечных волн (например в металле), то в таком случае для данной среды скорость продольных волн больше скорости поперечных.

7. Уравнение волны. Энергетические характеристики волны

Уравнение волны описывает смещение s(x,t) в некоторой

точке среды с координатой x в момент времени t . Простейшим уравнением волны является уравнение плоской бегущей монохроматической волны, имеющее вид:

круговая частота колебаний в волне, v – фазовая скорость волны.

Множество точек волны, имеющих одну фазу (или колеблющихся в одной фазе), называют волновым фронтом. Длиной волны называют расстояние между двумя точками волны, разность фаз для которых равна 2 . Также длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время, равное одному периоду колебаний: vT .

Как уже упоминалось ранее, механическая волна есть процесс переноса энергии в среде без перемещения частиц среды, поэтому волна имеет энергетические характеристики;

проходящей через некоторую площадку, ко времени, в течение которого она через эту площадку проходила.

15